高級中學數理與資訊學科能力競賽 試題 1 參考解答

104 學年度台灣省第六區(台南區)

高級中學數理與資訊學科能力競賽 試題 1 參考解答

1. 設x ,,y z是三個相異的自然數使得 xyz 是 (xy1)(yz1)(zx1) 之因數。試 求所有可能的數對(x,y,z)。

【參考解答】：

不失一般性，設x y z。

因為 (xy1)(yz1)(zx1)x²y²z² x²yzxy²zxyz² xyyzzx1 且 xyz 是其因數

所以 xyz 是 xy yzzx1 之因數 即

xyz(xy yzzx1) (*) 由 xyz xy yzzx1xy yzzxxzyzzxz(2x y) 可得 xy2x y3y

所以得 x3

(i) 若x1，由(*)知 yz(yyzz1) 又 yz2yz

故得 yz(yzyz1)

因為yzyz1(y1)(z1)0 且 yz yz1 yz 所以知 yz yz1(y1)(z1)0

但 1x yz 此為矛盾！

(ii) 若x2，由(*)知 yz2 (2yyz2z1) 因為 2yz2y yz2z1

得 yz2y2z12y2z4z

所以得 2 x y4 所以知 y3

再由(*)得 z6 5(z1) 所以可推得 z5 因 z1，所以 z5

由(i)和(ii) 知(x,y,z)(2,3,5)是當x y z假設下的唯一解。

最後，我們由對稱性可知所有可能數對為

) 2 , 3 , 5 ( ), 3 , 2 , 5 ( ), 2 , 5 , 3 ( ), 5 , 2 , 3 ( ), 3 , 5 , 2 ( ), 5 , 3 , 2 ( ) , ,

(x y z  共 6 個。

2. 設數列{𝑎_𝑛}的前𝑛項和為𝑆_𝑛，已知 𝑎₁ = 1 且

(5𝑛 − 8)𝑆_𝑛+1− (5𝑛 + 2)𝑆_𝑛 = −20𝑛 − 8，

試求



 

150

101 1

1

k akak 之值。

解：

∵ (5𝑛 − 8)𝑆_𝑛+1− (5𝑛 + 2)𝑆_𝑛 = −20𝑛 − 8

∴ 𝑆_𝑛+1 =5𝑛 + 2

5𝑛 − 8𝑆_𝑛−20𝑛 + 8

5𝑛 − 8 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (∗) 令^ℎ(𝑛+1)_ℎ(𝑛) =^5𝑛+2_5𝑛−8⟹ ℎ(𝑛 + 1) =^5𝑛+2_5𝑛−8ℎ(𝑛)

由上式可得

ℎ(𝑛 + 1) =^5𝑛+2_{5𝑛−85𝑛−13}^5𝑛−3 _5𝑛−18^{5𝑛−8 5𝑛−13}_5𝑛−23⋯¹²_{2 −3}⁷ ℎ(1) = −(5𝑛+2)(5𝑛−3) 6 ℎ(1)

∴ ℎ(𝑛) = −(5𝑛 − 3)(5𝑛 − 8)

6 ℎ(1) ⟹ℎ(𝑛 + 1)

ℎ(𝑛) =(5𝑛 + 2)(5𝑛 − 3) (5𝑛 − 3)(5𝑛 − 8) 因此(∗)可以改寫成

𝑆_𝑛+1 =(5𝑛 + 2)(5𝑛 − 3)

(5𝑛 − 3)(5𝑛 − 8)𝑆_𝑛−20𝑛 + 8 5𝑛 − 8 等式兩邊同除以(5𝑛 + 2)(5𝑛 − 3)可得

𝑆_𝑛+1

(5𝑛 + 2)(5𝑛 − 3)= 𝑆_𝑛

(5𝑛 − 3)(5𝑛 − 8)− 4

(5𝑛 − 3)(5𝑛 − 8) = 𝑆_𝑛

(5𝑛 − 3)(5𝑛 − 8)−4 5( 1

5𝑛 − 8− 1 5𝑛 − 3) 由上式可得

𝑆_𝑛

(5𝑛 − 3)(5𝑛 − 8)= 𝑆₁ 2(−3)−4

5(−1

3− 1

5𝑛 − 8) = 1

10+ 4 5(5𝑛 − 8) 所以

𝑆_𝑛 =(5𝑛 − 3)(5𝑛 − 8)

10 +4(5𝑛 − 3)

5 =5𝑛²− 3𝑛 2 由此關係式可得

𝑎_𝑛 = 𝑆_𝑛− 𝑆_𝑛−1 = 5𝑛 − 4 (𝑛 ≥ 2)

因此，數列{𝑎_𝑛}為一等差數列，其公差𝑑 = 5 於是求值式=¹₅(^𝑎_𝑎^{102−𝑎101}

101𝑎₁₀₂ +^𝑎_𝑎^{103−𝑎102}

102𝑎₁₀₃ + ⋯ +^𝑎_𝑎^{151−𝑎150}

150𝑎₁₅₁) =1

5(( 1

𝑎₁₀₁− 1

𝑎₁₀₂) + ( 1

𝑎₁₀₂− 1

𝑎₁₀₃) + ⋯ + ( 1

𝑎₁₅₀− 1 𝑎₁₅₁))

=1 5( 1

𝑎₁₀₁− 1

𝑎₁₅₁) =1 5( 1

501− 1

751) = 50 376251

3. 已知ABC中， ¹

BCCA2AB，若P點在AB上使得PA3BP，試證：

2

CAP CPA

   。

【參考解答】

令 BPx，AC y AB4x，BC2xy

2 2 2 2 2

(4 ) (2 ) 12 4 3

cos 2 4 8 2

x y x y x xy x xy

CAP x y xy xy

    

    

  又

2 2 2

cos (3 )

2 3

x y CP

CAP x y

 

 

 

2 2 2 2

3 (3 )

2 2 3

x xy x y CP

xy x y

  

 

 

2 2

3

CP y xy

  

2 2 2 2

2 2

( 3 ) (3 ) 3

cos

2 3 3 2 3

y xy x y xy x

CPA

y xy x x y xy

   

  

   

2

3 3 3

2 4

2 3

y x

y x y x

y y y xy

  

  

 則

2

2 3 3

cos 2 cos 1 2 1

2 4

x xy y x

CAP CPA

xy y

 

       

3 3

2 2 1 0

x y y x

y y

 

   

即cosCAP2cos²CPA1 CAP 2 CPA，故得證

O

D A

B C

E

4. 在一個正圓錐體內部放入一內切球，設此正圓錐體的表面積和體積分別為 A 和 B，此內切球的表面積和體積分別為 m 和 n，試求

2

log3 



 



 Bm

An 之值。

【參考解答】：

不失一般性設正圓錐母線長 AC 為 1，如右圖，

令ACOBCO

則正圓錐體的底面半徑 CD 為cos2， 高 AD 為sin2

易知內切球的半徑為cos2tan 因為





















2 2

2

2

t a n 2 c o s 4

2 c o s 1 t a n

2 c o s 4

2 c o s 2

c o s   



 內切球表面積

正圓錐體表面積 m

A

2t a n (1 t a n ) 1

t a n ) s i n ( c o s

4

c o s 2

2 2

2 2

2

2





 









 

















3 3 3

2

t a n 4

2 t a n t a n

2 c o s 3 4

2 s i n 2 c o s 3 1





 內切球體積

正圓錐體體積 n

B

2t a n (1 t a n ) 1

t a n 4

t a n 1

t a n 2

2 2

3 2





 











n B m

A 



Bm An

所以 log log₃1 0

2

3   



 



 Bm

An