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110 學年度臺北市 (陽明高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（二）試題
編號：
（學生自填）注意事項：
1. 本試卷共七題填充題，每題 3 分，滿分為 21 分。
2. 考試時間：1 小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷繳回。
4. 將答案填寫在答案欄內。
1. 設x=sinθ +cosθ。已知sin6θ +cos6θ 可以表成x的多項式 f x( )，則
( )
f x 除以x2的餘式為 (一) 。
2. 設a b, 均為正整數且b≤10。若方程式
(
log (2 x2−2ax b+ ))
2−log (2 x2−2ax b+ )3+ =2 0恰有兩個相異實根及兩個虛根，則a b× 的最大可能值為 (二) 。
3. 若實數x y, 滿足 xy=2，則分式
(
2)(
2)
2 2
( ) 6 ( ) 8
4
x y x y
x y
+ − − +
+ − 的最小值為 (三) 。
4. 在所有的正整數中，將含有數字3或6或9的數全部刪除後，剩下 來
的數由小而大排成一列，則第2021個數為 (四) 。
<背面尚有試題>
8
5. 若實數a b c d, , , 滿足a2 +b2+c2 =1，則(a− −d 11)2+(b−2d)2+ −(c 3d−1)2 的最小值為 (五) 。
6. 如下圖，第一個圖是由12根火柴棒組成的一個正立方體，第二個圖 是在第一個圖的下方增加3個正立方體；第三個圖是在第二個圖的下 方增加5個正立方體，依此類推，其中銜接處的火柴棒都是共用的，
例如：第二個圖是由36根火柴棒所組成。若n為正整數，則第n個圖 是由 (六) 根火柴棒所組成。(以n的數學式表示)
圖一 圖二 圖三
7. 若x>0且滿足 33x+14−33x−14=1，則 x= (七) 。
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110 學年度臺北市 (陽明高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（二）解答
注意事項：
1. 本試卷共七題填充題，每題 3 分，滿分為 21 分。
2. 考試時間：1 小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷繳回。
4. 將答案填寫在答案欄內。
答 案 欄
( 一 ) ( 二 ) ( 三 ) ( 四 )
1
4
14
18
7817
( 五 ) ( 六 ) ( 七 )
109 12 3− 5n2+9n−2
5 37
3
