九十八學年度台灣省第四區(新竹高中)
高級中學數理及資訊學科能力競賽
(數學科筆試一參考解答)
【問題一解答】
(1) 整數 a b, 滿足 a2 b2 為偶數，表示 a b, 有相同的奇偶性，因此，
a b 與 a b 都是偶數，故 a2 b2 (a b a)( b) 為 4 的倍數。
(2) 利用反證法，假設 f( ) ,1 f( ) ,2 f( ) ,3 f( )4 四數都是有理數，那 麼， f(), (), (), ()1 f 2 f 3 f 4 都必須是正整數且為完全平方數(這是因為
( )
f x 是整係數多項式)。又對每一整數 k，
2 6 2 12 4 8 4 2
( ) ( )
f k f k ak ak bk a b c
都是偶數，由(1)， f k( 2) f k( ) 恆為 4 的倍數，其中 k 1 2, 。 (i) 當 k 1 時，
0 f( )3 f( )1 6a 12a 4b 8a 4b 2c 2(a c) (mod )4
得 a c 是偶數。但 a 為奇數，故 c 必為奇數。
(ii) 當 k 2 時，
0 f( )4 f( )2 24a 24a 8b 8a 4b 2c 2c (mod )4 ， 得 c 必為偶數。
由於(i)與(ii)矛盾，故 f( ) ,1 f( ) ,2 f( ) ,3 f( )4 四數之中至少 有一數不是有理數。
P
R
Q E D F
H A
B
C
【問題二解答】
(1) 連 HD 交 ABH 外接圓於P點，連 HE 交 BCH 外接圓於 Q 點，連
HF 交 CAH 外接圓於 R 點。因為 HCQ HCR 90，故 Q C R, , 三 點共線。同理， R A P, , 三點共線， P B Q, , 三點共線。又
HQC HBC HAC HRC
，
於是， HQ HR；同理可得 HP HR。因此，1 1 1
2 HP 2 HQ 2 HR， 即 HD HE HF，故 H 為 DEF 的外心。
(2) 由於 B 為 PQ 中點， C 為 QR 中點，得 1
BC 2 PR。再由 D 為 HP
中點， F 為 HR 中點，得 1
DF 2 PR。因此， BC DF ；同理可得
AB EF、 AC DE。故 ABC EFD。
【問題三解答】
(1) 利用和角公式 sin y cosx sin xcos y sin(y x)，可得
sin sin sin cos sin cos
tan tan
cos cos cos cos
y x y x x y
y x
y x x y
sin( ) cos cos
y x
x y
。
當 2 x y 2
時， cos x 0,cos y 0，且 sin(y x) 0；於 是可得： sin( ) 0
tan tan
cos cos y x
y x
x y
。
(2) 對任意 7 個相異實數 y1 y2 y7 ，我們可以取出對應的 7 個 實 數 1 2 7
2 2
, , , ,
x x x ， 使 得 yk tan xk 。 由 (1) 可 知
1 2 7
2 x x x 2
；於是，根據鴿籠原理，至少有接連 的兩個數 x xi, i1 滿足 0 1 1
6 2 ( 2) 6
i i
x x
。因此，
1
0 0 3
6 3
tan tan(xi xi) tan
。
又
1 1
1
1 1
1 1
tan tan
tan( )
tan tan
i i i i
i i
i i i i
x x y y
x x
x x y y
，
於是可得 1
1
3 3
0 3
1
i i
i i
y y
y y
。但以下 6 個實數中，任兩數不具有 上述的性質：
2 12
tan( ) 、
2 12 6
tan( ) 、 2
2 12 6
tan( )
3
2 12 6
tan( )、 4
2 12 6
tan( )、 5
2 12 6
tan( )
因此，所求最小的正整數 n 7 。
