普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（一）解答

109 學年度臺北市 (陽明高中)

普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（一）解答

【問題一】試求滿足

3 2

3

7 2 21 62

3 1

x x x

y x x

− − +

= + + 的所有整數解( , )x y 。 (12 分)

【解】顯然(0, 62)是一組解。又原式可以化成

3 2

3 3

2 23 60 ( 3)( 4)( 5)

2 2

3 1 3 1

x x x x x x

y x x x x

− − + − − +

= + = +

+ + + + ，

因此，(3, 2), (4, 2), ( 5, 2)− 也是解。

以下，證明沒有其他的整數解了。

(1) 以x=1代入得 ⁴⁶

y= 5 不是整數。

(2) 當x≥2時，3x³+ + >x 1 x³−2x²−23x+60≥0；因此，除了x=3, 4之 外，y 都不是整數。

(3) 分別以x= − − −1, 2, 3 代入，可知 y 都不是整數。

(4) 當x≤ −4時， 3x³+ + >x 1 x³−2x²−23x+60 ≥0；因此，除了x= −5

之外，y 都不是整數。

綜合以上的討論，所求整數解為(0, 62), (3, 2), (4, 2), ( 5, 2)− 。

【問題二】給定正實數數列a a a a a a a₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, ₇ ，並將它重新排成一列

1, 2, ,3 4, 5, 6, 7

b b b b b b b 。若 _{1 2 7}

1 2 7

1 1 1

(a ) (a ) (a ) 128

b b b

+ × + × × + ≤ ，試

證：數列a a a a a a a₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, ₇ 中至少有一項的值等於1。

(12 分)

【解】由算幾不等式

_{1 2 7} ^{1 2 7 7}

1 2 7 1 2 7

1 1 1

128 ( ) ( ) ( ) 2 a 2 a 2 a 2 128

a a a

b b b b b b

≥ + × + × × + ≥ × × × = = ，

得知上式的不等式均可改為等號，即 _{1 2 7}

1 2 7

1 1 1

(a ) (a ) (a ) 128

b b b

+ × + × × + = ，

且對每一個k， _k ¹

k

a =b 均成立。

（1）若存在某一個k使得a_k =b_k，則 _k ^{1 1}

k k

a =b = a ，可得a_k² =1。又a_k為 正數，可知a_k =1。

（2）若對每一個k，a_k ≠b_k，則b1∈

{

}

1 2

1 1

b a

a = = =b ，可得a₁ =b₂且a a_{1 2} =b b_{1 2} =1。因此，。

2 1

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1

( ) ( ) a a 4

a a a a

b b b b b b

+ × + = + + + = 。

故 _{3 4 5 6 7}

3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 128

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32

a a a a a 4

b b b b b

+ × + × + × + × + = = 。

仿上面的作法，可得到另一組（a a b b₃, ₄, ,_{3 4})滿足a₃ =b a₄, ₄ =b₃且

3 4 3 4 1

a a =b b = 。因此， _{3 4}

3 4

1 1

(a ) (a ) 4

b b

+ × + = 。故

5 6 7

5 6 7

1 1 1 32

( ) ( ) ( ) 8

a a a 4

b b b

+ × + × + = =

再重複上面的過程，可得 _{5 6}

5 6

1 1

(a ) (a ) 4

b b

+ × + = ；故 ₇

7

1 2 a +b = 。 又 ₇

7

a 1

=b ，可推得a₇ =1。（此時，b₇ = =1 a₇矛盾！）

【問題三】設 p q, 均為正整數，其中q≥2p≥4。假設某一國家想在 p個 無人島中建設q個城市，每個無人島至少設置兩個城市，若要 求每兩個位在不同島的城市之間都要有一條連通的直達航線，

試問此國家最少需要設置多少條直達的航線。

(12 分)

【解】不失一般性，可設a 表示第 i 個無人島中建設的城市個數，且 _i a₁≥a₂ ≥a₃≥≥a_p ≥2。

則

1 p

i i

a q

=

∑

i j

a a

∑

若a₁≥a_k ≥ ，考慮將第3 k 個無人島中的一個城市A移至第1個無人 島，此時，無人島的城市個數依序為b b b₁, ₂, ,₃ ,b_p，其中

1 1 ; 1

1 ;

; 1,

i k

i

a i

b a i k

a i k

+ =



= − =

 ≠



當 當 當

。

顯然，調整後所需要設置的直達航線為 _{i j}

i j

b b

∑

i i

b q

=

∑

1 , {1, }

i j i k i i j

i j i i k i j k

b b b b b b b b

< ≠ ≠ ∉

= + +

∑ ∑ ∑ ∑

_{1 1}

, {1, }

( 1)( 1) ( _k 1)( _k 1) _{i j}

i j k

a q a a q a a a

∉

= + − − + − − + +

∑

1 1 1

, {1, }

2 _k 1) ( ) _k( _k) _{i j}

i j k

a a a q a a q a a a

∉

=^（ − − + − + − +

∑

1 1

1 , {1, }

2 _k 1) _{i k i i j}

i i k i j k

a a a a a a a a

≠ ≠ ∉

=^（ − − +

∑

∑

∑

2 _k 1 1) _{i j i j}

i j i j

a a a a a a

< <

=^（ − − +

∑

∑

即此種調整後所需要設置的直達航線數會變少。因此，要達到最少直達航線 的總數，就要把城市集中到同一個無人島，即

a₁ = −q 2(p−1)且a₂= = a₃  = a_p= 2。 故最少需要設置直達的航線總數為

( )

1 2

2 2

2( 1) 2( 1) 2

p

p

i i j

i i j

a a a a q p p C ⁻

= ≤ <

+ = − − × − +

∑ ∑

2(pq p2 p q)

= − + − (條)。

【問題四】設ABCD為正四面體，各稜的長度均為2。若點E在稜BC

上，將正四面體ABCD分成兩個四面體ABDE與ACDE，它 們的內切球半徑分別為 r r₁, ₂，且滿足

1 2

1 1

4 6 4 3

r + r = + 。已

知滿足此條件的點E有兩個，分別為E E₁, ₂，試求E E_{1 2}的長 度。

(13 分)

【解】

設 BC 的中點為F，則有AF⊥BC和DF ⊥BC。

令EF =x，利用畢氏定理可知

2 3

AE=DE= x + ，因此可推得等腰 三角形



利用四面體的體積公式為¹ ( )

3× 底面積 ×高，可求得

1 8 2 2

3 3 3 3

1 3 8 2

( (1 )) (1 )

3 2 3 3

2 2 2 2

(1 ) (1 )

3 3 3

ABCD

ABDE x x

ACDE x x

= × × =

= × − × = −

− − = +

體積

體積

體積=

。

同時，也可求得上述四面體每個面的表面積：

3(1 ) 2

3(1 ) 2

ABE DBE x

ACE DCE x

= = −

= = +

 

 

面積 面積

面積 面積

。

因為內切球的球心將一個四面體分成四個三角錐，所以四面體的體積

V 等於四個小三角錐的體積和。例如；若四面體ABCD的球心半徑為

r，且每一面的面積分別表示成s s s s_A, _B, _C, _D，則有

^{1 1 1 1 3}

3 ^A 3 ^B 3 ^C 3 ^D _{A B C D}

V s r s r s r s r r V

s s s s

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇔ =

+ + + 。

利用此公式，可進一步求得兩個內切球的半徑為

1 2 2 2

2(1 ) 2(1 )

,

3 3(1 ) 2 3 3(1 ) 2

x x

r r

x x x x

− +

= =

+ − + + + + + + 。

由此可解得

2

2

1 2

2

2

1 1 2

6 ( 3 2) 4 6 4 3

1

3 2

3 3 2 6 1

2 3

r r x x

x x x

+ = + + + × = +

−

+ +

⇒ = +

−

⇒ = ± 　　

故E E_{1 2} 的長度為 _{1 2} 2 ^{2 6} E E = x= 3 。