空間中兩直線 a z a y L x

(1)

臺灣警察專科學校專科警員班第二十四期（正期學生組）新生入學考試乙組數學科試題

壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1 題至第 30 題，每題二分，計六十分。

（二）未作答者不給分，答錯者倒扣該題分數四分之一。

（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。

1. ∆

ABC

中，A, B, C 三點的坐標分別為(1,3), (-6, 4), (4, -1)，則∠ 的度數為

A

(A)45° (B)60° (C)120° (D)135° 2. 承上題，∆ABC的外接圓半徑長為

(A) 2 2

5 (B)

2 3

5 (C)

2 10

5 (D)

2 15 5

3. 設x , y為實數，且

x

²+ y² =4，則3x− y4 +5的最大值為

(A)5 (B)10 (C)15 (D)20

4. 空間中兩直線

1 2

3 1

: 1

1

a z a y

L x

= − = +

−

− ，

2 1

1 2

: 3

2 −

= −

= +

+

y z a

L x

相交於一點，則

a

之值為

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5. 承上題，此交點坐標為

(A)(3,2,−4) (B)(1,1,−3) (C)(−1,0,−2) (D)(−3,−1,−1) 6. 過點(4,− 且與圓：7) (

x

−1)² +(

y

+3)² =25相切的直線方程式為

(A)3

x

− y4 −40=0 (B)3

x

+ y4 +16=0 (C)4

x

− y3 −37=0 (D)4

x

+ y3 +5=0

7. 袋中有 5 顆大小相同的球，其中 3 顆為白色，2 顆為黑色，現同時取出 2 球，此 2 球為 1 白 1 黑的機率為 (A)5

1 (B)

5

2 (C)

5

3 (D)

5 4

8. 袋中有 10 顆大小相同的球，其中 1 顆為白色，9 顆為黑色，現一次取 1 球，取後不放回，共取 10 次取完，

則第 4 次取到白球的機率為 (A)10

1 (B)

10

4 (C)

10

6 (D)

10 9

9. 4559 與 7802 的最大公因數為

(A)17 (B)37 (C)47 (D)83

10. 已知

i

= −1，有一複數等比數列，第一項為1+

i

，第二項為2+

i

，則第三項為 (A)3+

i

(B)

7+ (C)2

i

2 1 i+

− (D)

2 7+

i

11. 設

α

,

β

為方程式

x

² + x5 +1=0的兩個根，則(

α

+

β

)²之值為

(A)−7 (B)−3 (C)−7+ 21 (D)−3+ 21

12. 已知一平行四邊形的三個頂點坐標分別為(1, 3), (-6, 4), (4, -1)，則下列何者不可能為第四個頂點坐標？

(A)(−3,0) (B)(7,4) (C)(11,− 2) (D)(−9,8) 13. 設

f

(

x

) =

x

² +

x

−1，則

f

(

x

)的最小值為

(A) 2− (B) 4

− (C) 15 − (D) 4

− 1

第一頁（共四頁） ※請接背面

(2)

14. 若 (4 ) 2 8 1

32⋅ ^x = ^x ，則 x 之值為 (A) 5− (B)

2 51

− (C) 6− (D) 2 61

− 15. 以

x

+1除

x

⁹⁹ +50

x

⁴⁹ −1的餘式為

(A)147 (B) 50 (C) 1− (D) 52− 16. 一多項式

f

(x)以

x

−1除之餘式為 3，以2

x

−3除之餘式為 2，則以(

x

−1)(2

x

−3)除之餘式為

(A)3

x

−4 (B)− x2 +5 (C)3 (D)2 17. 已知

a

,

b

,

c

為整數，方程式

x

⁴ +

ax

³+

bx

² +

cx

+25=0有四個相異有理根，則其最大根為

(A) 1− (B)1 (C)5 (D)25

18. 已知log2=0.3010, 則2¹⋅2²⋅2³LL2⁹⋅2¹⁰乘開後是幾位數？

(A)15 (B)16 (C)17 (D)18

19. 承上題，2¹⋅2²⋅2³⋅L⋅2⁹⋅2¹⁰乘開後，末位數字(即個位數字)為

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

20. 若

a

=(0.1)⁰^.¹,

b

=(0.2)⁰^.²,

c

=(0.3)⁰^.³,

d

=(0.4)⁰^.⁴，則

a

,

b

,

c

,

d

的大小關係為

(A)

a

>

b

>

c

>

d

(B)

a

>

b

=

d

>

c

(C)

a

<

b

=

d

<

c

(D)

d

>

c

>

b

>

a

21. 若

f

(

x

)=

x

⁶ −10

x

⁵ +19

x

⁴ −22

x

³ −12

x

² −33

x

−2，則

f

(8)之值為

(A) 58− (B) 10− (C)14 (D)62

22. 不等式1 log (3 1) 0

2

1 − ≥

+ x 的解為

(A) 1 3

1 < x< (B) 1 3

1 ≤ x< (C) 1 3

1< x≤ (D) 1 3

1 ≤ x≤

23. 化簡 2log 125 9

log5 3 log2

2 − + 之值為

(A)1 (B)

2

3 (C)2 (D)

2 5

24. 設

f

(

x

) = 3sin

x

−cos

x

+5，則

f

(x)的最小值為

(A)7 (B)5 (C)3 (D) 3−

25. 設

θ

為第二象限角且

3

sin

θ

=1 ，則sin2

θ

之值為

(A) 9 2

4 (B)

9 2

− 4 (C)

9

7 (D)

9

− 7

26. 設 ₅

6 4

) 3 1 (

) 1 ( ) 2 (

i i z i

+ +

= + ，則 z 之值為

(A)2

3 (B)

2

9 (C)

4

9 (D)

8 9

27. 已知

α

,

β

皆為銳角且

3 sin

α

=1，

4

sin

β

=1，則sin(

α

−

β

)之值為

(A)12

1 (B)

12

7 (C)

12 2 2 15+

(D) 12

2 2 15−

第二頁（共四頁） ※請接下頁

(3)

28. 某拳擊比賽中，規定每位選手必須和所有其他選手各比賽一場，已知選手共 20 人，則賽程總計場次為 (A)190 場 (B)380 場 (C)210 場 (D)21 場

29. 袋中有 10 元硬幣 2 個，5 元硬幣 4 個，1 元硬幣 5 個，今由袋中任取 1 個硬幣，則所得期望值為 (A)11

16元 (B) 11

29元 (C)

11

45元 (D)

11 61元

30. 給定一組資料數據如下：2,2,3,6,8,8,8,15, 則此組資料的中位數為

(A)6 (B)7 (C)8 (D)13

貳、多重選擇題：（一）共十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。

（二）每題五個選項各自獨立其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣，五個選項全部 答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。

（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。

31. 關於向量

a

,

b

,

c

, 下列何者正確？

(A)若

a

≠0 且

a

⋅

b

=

a

⋅

c

, 則

b

=

c

(B)若

a

=

b

, 則

a

=

b

(C)若

a

+

b

=

a

+

c

, 則

b

= (D)

c a

⋅

a

=

a

²

(E)

a

⋅(

b

+

c

)=

a

⋅

b

+

a

⋅

c

32. 關於行列式的性質，下列何者正確？

(A)

3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 3 3

2 2 2

1 1 1

kc kb ka

kc kb ka c

b a

c b a

k

= (B)

1 1 1

2 2 2

3 3 3

2 2 2

1 1 1

a b c

a b c c b a

c b a

=

(C)

3 2 1

3 3 3

2 2 2

1 1 1

c c c

b b b

a a a c b a

c b a

= (D)若

a

₁ =

b

₂ =

c

₃ =0, 則 0

3 3 3

2 2 2

1 1 1

=

c b a

(E)

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1

3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 3 3

2 2 2

1 1 1

c b d a

c b d a c b d

c b d

c b d c b a

c b a

+ + +

= +

33. 關於拋物線方程式

y

=−2

x

² +8

x

−13，下列敘述何者正確？

(A)頂點坐標為(2,−21) (B)焦點坐標為 ) 8 , 41 2 ( −

(C)拋物線與 x 軸無交點 (D)−2

x

² +8

x

−13>0的解集合為空集合 (E)對稱軸方程式為

x

=2

第三頁（共四頁） ※請接背面

(4)

34. 下列敘述何者正確？

(A)在空間中，過一平面外一定點且與此平面不相交的直線恰有一條 (B)在空間中，過一直線外一定點且與此直線垂直的平面恰有一個 (C)在空間中，過一直線上一定點且與此直線垂直的直線恰有一條 (D)在空間中，兩兩互相垂直的直線至多有 2 條

(E)在空間中，兩不相交的直線必不共平面

35. 關於平面

E

:

x

−2

y

+3

z

=5，下列敘述何者正確？

(A)向量(−1,2,−3)與平面 E 垂直 (B)直線

3 1 2

: 4 −

− =

=

y z x

L

與平面 E 垂直 (C)點(3,−1,0)在平面E上 (D)平面

E

′:−3

x

+2

y

−

z

=9與平面 E 垂直 (E)x軸交平面 E 於點(5,0,0)

36. 下列平面方程式中，何者與球面

S

:(

x

+1)² +(

y

−5)² +(

z

+4)² =16不相交？

(A)

x

+

y

+

z

+6=0 (B)

x

+

y

+

z

+9=0 (C)

x

−2

y

+2

z

+12=0 (D)

x

−2

y

+2

z

+15=0 (E)

x

+2

y

+3

z

−13=0

37. 鈍角三角形 ABC 中，∠ 為鈍角且

A a

,

b

,

c

分別表線段

BC

,

CA

,

AB

的長度，則下列何者必正確？

(A)sin

A

<0 (B)cos

A

<0 (C)

b

² +

c

² <

a

² (D)

b

+

c

<

a

(E)∆

ABC

的外心在三角形外部

38. 已知

i

= −1，下列敘述何者正確？

(A)

i i

=−

1 (B)(1−

i

)² =1−

i

² (C)5+

i

= 5² +

i

² (D)3+2

i

>2+

i

(E)

i

²⁰⁰⁵ =

i

39. 下列哪些數字是9的倍數？

(A)10²⁷ + (B)1 10⁸⁰− (C)1 3²⁰ (D)123456 (E)345×87321

40. 一橢圓方程式為 (

x

+1)²+(

y

−5)² + (

x

−3)² +(

y

−7)² =8，下列敘述何者正確？

(A)中心坐標為(1,6) (B)長軸長度為8 (C)短軸長度為2 3 (D)焦距為2 5 (E)短軸所在直線方程式為2

x

+ y =8

第四頁（共四頁）

(5)

乙組數學標準答案

題號答案

1 D 2 C 3 C 4 B 5 A

6 A 7 C 8 A 9 C 10 D

11 A 12 B 13 B 14 C 15 D

16 B 17 C 18 C 19 D 20 A

21 B 22 C 23 C 24 C 25 B

26 C 27 D 28 A 29 C 30 B

31 CDE 32 BCE 33 BCDE 34 B 35 ABCE

36 BE 37 BCE 38 AE 39 BCE 40 ABDE