2-2 空間中的直線
1. (1)求通過點 2 , 3 , 4 與平面 x y 2 z 垂直的直線參數式﹒ 5 (2)求通過點 3 , 2 , 1 與 z 軸平行的直線參數式﹒
(1)因 為 直 線 與 平 面x y 2z 垂直﹐所以平面5 x y 2z 的5 法向量
1 , 1 , 2
即為此直線的一個方向向量﹐又因為直線通 過點
2 , 3 , 4 ﹐所以其參數式為
2 3 4 2
x t
y t
z t
（ t 是實數）﹒
(2)因為 z 軸的一個方向向量為
0 , 0 , 1 ﹐所以
0 , 0 , 1 是與 z 軸平行直線的一個方向向量﹐
又因為此直線過點
3 , 2 , 1 ﹐所以其參數式為
3 2 1 x y
z t
（ t 是實數）﹒
2. 求兩平面 2 x 3 y 2 z 和 6 2 x 之交線 L 的參數式﹒ y z 1
設點P x y z 在交線 L 上﹐即
, ,
2 3 2 26 1
x y z x y z
﹒
令 x t ，整理得 3 2 2 2 1 6
y z t
y z t
﹐ 由 2 ﹐得 5y 10t﹐解得y ﹐ 2t 再將y 代入 ﹐解得2t z ﹒ 1 4t
因此 P 點的坐標為
t,2 , 1 4t t
﹐即交線 L 的參數式為: 2
1 4 x t
L y t
z t
（ t 是實數）﹒
3. 判別直線 1 3 4 : 2 3 4
x y z
L 與平面 E : 3 x 2 y 的相交情形﹒ z 1
由題意可知﹕直線 L 的參數式為
1 2 3 3
4 4
x t
y t
z t
（ t 是實數）﹐代入
: 3 2 1
E x y ﹐得 4z t ﹐解得8 t ﹒ 2 故直線 L 與平面 E 交於點
x y z, ,
5 , 9 , 4
﹒第 2 章 空間中的平面與直線
4. 下列哪一個平面包含 z 軸﹖
(1) x 3 (2) z 3 (3) x (4) y 0 x z 4 (5) x ﹒ y z 2
因為 z 軸上的點可表示為
0 , 0 ,t ﹐ t 是實數﹐所以將
0 , 0 ,t 代入各方程式﹐得
(1) 0 ﹐ (2)3 t ﹐ (3) 0 03 ﹐ (4) ﹐ (5)t 4 t ﹒ 2 僅(3)為恆等式﹐因此正確的選項為(3)﹒
5. 判別直線
12 1 : 2 3 1
x y z
L 與
22 6 3
: 4 6 2
x y z
L 的相交情形﹒
因為L ﹐1 L 的方向向量2
2 , 3 , 1 ﹐
4 , 6 , 2 互相平行﹐所以
L ﹐1 L 不是互相平行就是重合﹒2 由L 的參數式可知2
2 , 6 , 是3
L 上一 點﹐ 將2
2 , 6 , 代入3
12 1
: 2 3 1
x y z
L ﹐得 4 6 2
2 3 1
（成立），可知點
2 , 6 , 在3
L 上﹐因此直線1 L 與1 L 重合﹒ 26. 已知直線
12 1 : 2 3 1
x y z
L
與
21 2
0: 3 1
x y z z
L c
互相垂直﹐求 z 與
0c 的值﹒
因為L 與1 L 垂直﹐所以2 L ﹐1 L 的方向向量2
2 , 3 , 1 ﹐
3 , 1 ,c 互相垂直﹐
即
2 , 3 , 1
3 , 1 ,c
﹐乘開得 6 30 ﹐解得c 0 c ﹒ 9又 由L 的 對 稱 比 例 式 可 知2 L 上 的 點 為2
1 3 , 2 t t z, 09t
﹐ 將
1 3 , 2 t t z, 09t
代 入1
2 1
: 2 3 1
x y z
L ﹐得3 1 2 0 9 1
2 3 1
t t z t ﹐解得t ﹐1 z0 ﹒ 9
故z0 ﹐9 c ﹒ 9
7. 關於直線 2 1
: 2 0
x y z
L x y z
﹐選出正確的選項﹕
(1) L 的方向向量為 1 , 1 , 3 (2)點 2 , 3 , 7 在 L 上
(3) L 與直線 1 1 3
1 1 3
x y z
平行 (4) L 與平面 x 2 y 平行 z 1 (5) L 落在平面 3 x 3 y 2 z 上﹒ 1
由 L 的兩面式 2 1
2 0
x y z x y z
得到 L 的參數式為 1
1 3 x t
y t
z t
（ t 是實數）﹒
(1)
1 , 1 , 3 為
L 的一個方向向量﹒(2)當t 時﹐可得點2
2 , 3 , 7 ﹐故點
2 , 3 , 7 在 L 上﹒
(3)直線 1 1 3
1 1 3
x y z 和 : 1 1 3 x t
L y t
z t
有相同的方向向量
1 , 1 , 3 ﹐
又因為點
1 , 1 , 3 不在 L 上﹐所以兩直線互相平行﹒
(4)將 L 的參數式
t, 1t, 1 3 t
代入平面x2y ﹐得1 1z 1 ﹒可知 L 上的點均在平面上，故 L 落在平面x2y 上﹒（或由 L 的二面式可知： L 落在平面z 1 x2y 上﹒） z 1(5)將L 的參數式
t, 1t, 1 3 t
代入平面 3x3y2z ﹐得1 11 ﹒可知 L 上的點均在平面上﹐故 L 落在平面 3x3y2z 上﹒ 1由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(5)﹒
◎8. 求點 A 2 , 1 , 0 到直線 : 4 3
1 3 2
x y z
L
之投影點的坐標﹒
設點 A 到 L 的投影點為 B 點﹒
由 4 3
: 1 3 2
x y z
L
可設 B 點的坐標為
4t, 3 3 , t 2t
﹐並得
AB
2t, 4 3 , t 2t
﹒因為 AB
與 L 的方向向量
1 , 3 ,2
垂直﹐所以
2t, 4 3 , t 2t
1 , 3 ,2
﹐ 0整理得 14t14 ﹐解得0 t ﹐因此﹐投影點 B 的坐標為1
3 , 0 , 2 ﹒
9. 已知直線
11 2 1 : 1 2 1
x y z
L
與
21 2 1 : 2 1 2
x y z
L 均落在平面 E 上﹐
求平面 E 的方程式﹒
由直線L ﹐1 L 的方向向量2
1 , 2 , 1 ﹐
2 , 1 , 2 ﹐計算
1 , 2 , 1
2 , 1 , 2
5 ,4 , ﹐ 3
得到
5 ,4 ,3
為 E 的一個法向量﹐並可設 E 的方程式為 5x4y3z ﹒ d因為直線 1 1 2 1
: 1 2 1
x y z
L
上的點
1 ,2 , 1
為 E 上一點﹐所以將其代入 5x4y3z ﹐得d d10﹐故平面 E 的方程式為 5x4y3z10﹒
◎10. 求兩平行線
11 2 : 2 2 1
x y z
L 與
21 3 1
: 2 2 1
x y z
L 之間的距離﹒
在直線L 上取一點1 P
1 , 0 ,2
﹐則 P 點到L 的距離就是兩平行線2 L 與1 L 的距離﹒ 2 由 點 P 作 直 線L 的 垂 線 PQ 與2 L 交 於 Q 點 ﹐ 並 由 直 線2 L 的 對 稱 比 例 式 可 令 Q 點 坐 標 為2
1 2 , 3 2 , 1 t t ﹐ t 是實數﹐且得t
PQ
2 , 3t 2 , 3t t
﹒因 為 PQ
L2 ﹐ 所 以 PQ
和L 的 方 向 向 量2
2 , 2 , 1 垂 直 ﹐ 即
2 , 3 2 , 3t t t
2 , 2 , 1
﹐ 乘 開 得 90 t ﹐ 解 得9 0 t ﹐ 即1
2 , 1 , 2
PQ
﹒故兩平行線L 與1 L 的距離為2 PQ
22 12 22 3﹒◎11. 設兩歪斜線
10 :
2 1 x
L y t z t
（ t 是實數）與 x 軸的公垂線為 L ﹐求 L 的參數式
及公垂線段長﹒
設公垂線 L 與L 相交於 P 點﹐與1 x 軸相交於 Q 點﹒
因為 P 點與 Q 點分別在直線L 與 x 軸上﹐ 1 所以可設 P 點的坐標為
0 , , 2t t ﹐ t 是實數﹐ 1
Q 點的坐標為
s, 0 , 0
﹐ s 是實數﹐並得PQ
s, t, 2t 1
﹒因為 PQ
和直線L 與 x 軸的方向向量1
0 , 1 , 2 ﹐
1 , 0 , 0 均垂直﹐
所以
, , 2 1 0 , 1 , 2 0 , , 2 1 1 , 0 , 0 0 s t t
s t t
﹐整理得 4 2 0
0 t t s
﹐解得
2 5 0 t s
﹒
因此﹐ P 點的坐標為 2 1 0 , ,
5 5
﹐ Q 點的坐標為
0 , 0 , 0 ﹐且
2 1 0 , ,5 5 PQ
﹐故 L 的參數式為 0
2 5 1 5 x y t
z t
（ t 是實數）﹒
而其公垂線段長為
2 2
2 2 1 5
0 5 5 5
PQ ﹒
◎12. 已知兩直線
14 4 2 : 2 1 2
x y z
L
與
2:
1 2 2
x y z
L
為歪斜線，
(1)求包含 L 且和
2L 平行之平面 E 的方程式﹒
1(2)求兩直線 L 與
1L 之間的距離﹒
2直線 1 4 4 2
: 2 1 2
x y z
L ﹐ 2:
1 2 2 x y z
L
的方向向量分別為
1 2 , 1 , 2 v
與
2 1 , 2 , 2
v
﹒(1)設平面 E 的法向量為 n
﹐則
1 2
// 6 , 6 , 3 3 2 , 2 , 1 n v v
﹐因此可設
n
2 ,2 , 1
﹐ E 的方程式為 2x2y ﹒ z d因為L 上一點2
0 , 0 , 0 在 E 上﹐所以將其代入 2
x2y ﹐可得z d d ﹐ 0 故平面 E 的方程式為 2x2y ﹒ z 0(2)因為直線L 與 E 平行﹐所以直線1 L 與 E 的距離即為兩直線1 L 與1 L 之間的距離﹒ 2 計算L 上一點1
4 ,4 ,2
到 E 的距離為
2 22
2 4 2 4 2 18 3 6
2 2 1
﹐
因此L 與 E 的距離為 6 ﹐即兩直線1 L 與1 L 之間的距離為 6 ﹒ 2
2-3 三元一次聯立方程式
1. 解下列各三元一次聯立方程式﹕
(1)
2 4
2 3
3 2 2 1
x y z x y z
x y z
﹒ (2)
2 3 0
3 2 2 2
0 x y z
x y z
x y z
﹒
(1)先將聯立方程式編號為
2 4
2 3
3 2 2 1 x y z
x y z x y z
﹐然後用加減消去法求解如下﹕
由 2﹐ 3消去 x ﹐得
2 4 3 5 5 8 11 x y z y z
y z
﹐
由 5消去 y ﹐得
2 4 3 5 7 14 x y z y z
z
﹐
由 解得z ﹐代回 解得2 y ﹐再將1 y ﹐1 z 代回 解得2 x ﹒ 1 故聯立方程式的解為x ﹐1 y ﹐1 z ﹒ 2
(2)先將聯立方程式交換位置並編號為
0
2 3 0
3 2 2 2 x y z
x y z x y z
﹐然後用加減消去法求解如下﹕
由 2﹐ 3消去 x ﹐得
0 0
2 x y z y z
y z
﹐
由 消去 y ﹐得
0 0 2 2 x y z y z
z
﹐
由 解得z ﹐代回 解得1 y ﹐再將1 y ﹐1 z 代回 解得1 x ﹒ 2 故聯立方程式的解為x ﹐2 y ﹐1 z ﹒ 1
第 2 章 空間中的平面與直線
2. 解三元一次聯立方程式
2 2
2 1
4 5 4 x y z
x y z
x y z
﹒
先將方程組編號為
2 2
2 1
4 5 4 x y z
x y z x y z
﹐然後用加減消去法求解如下﹕
由 2及 消去 x ﹐得
2 2
3 3 3 6 6 2 x y z
y z y z
由 2消去 y ﹐得
2 2
3 3 3 0 8
x y z y z
因為沒有 x ﹐ y ﹐ z 滿足 式﹐所以原聯立方程式無解﹒
3. 若三元一次聯立方程式
3 2 1
2 2
3 2
x y z
x y z x y z a
有無限多組解﹐則 a 的值為何﹖
先將方程組編號為
3 2 1
2 2
3 2 x y z
x y z x y z a
﹐然後用加減消去法求解如下﹕
由 2及 3消去 x ﹐得
3 2 1 7 5 0
7 5 3
x y z y z y z a
由消去 y ﹐得
3 2 1 7 5 0
0 3
x y z y z
a
因為聯立方程式有無限多組解﹐所以由 式可知a ﹒ 3
4. 已知圓 C 通過 1 , 1 ﹐ 2 , 2 ﹐ 1 , 3 三點﹐求圓 C 之圓心的坐標及其半
徑﹒
設圓 C 的方程式為x2y2dxey ﹒ f 0
因為圓 C 通過
1 , 1 ﹐
2 , 2 ﹐
1 , 3
三點﹐所以可列出三元一次聯立方程式 2 02 2 8 0
3 10 0 d e f
d e f d e f
﹐
利用加減消去法﹐由 及 消去 f ﹐得
2 0 3 6 0 2 4 8 0 d e f d e
d e
由,解得d ﹐0 e ﹐再代回 ﹐得2 f ﹒ 4
因此圓 C 的方程式為x2y22y ﹐將其改寫成4 0 x2
y1
2
5 2，可得圓 C 之圓心的坐標為
0 ,1 ﹐半徑為
5 ﹒5. 已知聯立方程式
2 2 3
3 0
3 2 7
x y z x y z
x y z
恰有一組解 x a ﹐ y b ﹐ z c ﹐求 a 的
值﹒
利用加減消去法﹐操作如下﹕
2 2 3 3 0 3 0 3 0
3 0 2 2 3 4 5 3 4 5 3
3 2 7 3 2 7 5 7 5 10
z y
x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y x y
x y z x y z x y x
消去 消去
﹐
解得x ﹒ 2 或由克拉瑪公式﹕
因為聯立方程式恰有一個解﹐所以ax
﹒
計算﹕ 21 13 12 12 3 2
2 2 18 253 1 2
﹐
30 13 12 18 7 0
3 0 42 507 1 2
x
﹐
可得 50
25 2 ax
﹒
6. 已知聯立方程式
2 0 0
3 0
x y z x ay z x y z
除了 x 0 ﹐ y ﹐ 0 z 0 之外﹐還有其他
的解﹐求 a 的值﹒
因為除了x ﹐0 y ﹐0 z 之外﹐還有其他的解﹐所以聯立方程式0
2 0 0
3 0
x y z x ay z x y z
有
無限多組解﹐
利用加減消去法﹐將 及 3消去 x ﹐得
2 0 1 3 0 4 7 0 x y z
a y z
y z
﹒
因為聯立方程式有無限多組解﹐所以 ﹐ 兩式是兩個相同的方程式﹐
因此 1 3 4 7 a
﹐解得 5
a ﹒ 7
【另解】因為聯立方程式有無限多組解﹐所以
1 1 2
1 1 3 2 1 1 6 0
3 1 1
a a a
﹐
整理得 7a ﹐解得5 0 5 a ﹒ 7
7. 已知上等稻禾 3 捆﹑中等稻禾 2 捆﹑下等稻禾1捆﹐共可打出稻米 34 斗﹔
上等稻禾 2 捆﹑中等稻禾1捆﹑下等稻禾 3 捆﹐共可打出稻米 26 斗﹔上等 稻禾 1捆﹑中等稻禾 3 捆﹑下等稻禾 2 捆﹐共可打出稻米 24 斗﹒問﹕上等 稻禾 1捆﹐中等稻禾1捆﹐下等稻禾1捆﹐各可以打出稻米多少斗﹖
設上等稻禾 1 捆可打出稻米 x 斗﹐中等稻禾 1 捆可打出稻米 y 斗﹐下等稻禾 1 捆可打出稻米
z 斗﹒依題意可列得聯立方程式
3 2 34
2 3 26 3 2 24 x y z x y z x y z
﹐並解得x ﹐8 y ﹐4 z ﹒ 2
因此﹐上等稻禾 1 捆可打出稻米 8 斗﹐中等稻禾 1 捆可打出稻米 4 斗﹐下等稻禾 1 捆可打出 稻米 2 斗﹒
8. 有一工程，甲乙兩人合作12 天可完成﹐乙丙兩人合作 15 天可完成﹐甲丙 兩人合作 20 天可完成﹒試問甲乙丙三人獨作各需幾天才可完成﹖
設甲獨作 x 天可完成﹐乙獨作 y 天可完成﹐丙獨作 z 天可完成﹒
依題意可得
1 1 1 12 1 1 1
15 1 1 1
20 x y
y z
z x
﹒令 1
u ﹐x 1
v ﹐y 1 w ﹐則有z
1 12
1 15
1 20 u v
v w
w u
﹒
由 得 2
1u v w ﹐即5 1 u v w 10 ﹒ 由得 1
w60 ﹐ 得 1
u30﹐ 得 1
v20﹐因此x30﹐y20﹐z60﹒ 故甲獨作 30 天可完成﹐乙獨作 20 天可完成﹐丙獨作 60 天可完成﹒
◎9. 判定三平面 E
1: x ﹐ y z 3 E
2: x 2 y 3 z ﹐ 4 E
3: 5 x y 3 z 的相 1 交情形﹒
因為三平面E ﹐1 E ﹐2 E 的法向量3
n1
1 , 1 , 1
﹐
2 1 , 2 , 3
n
﹐
3 5 , 1 , 3
n
均不互相平 行 ﹐ 所 以此 三 平 面 的相 交 情 形 只有 3 種﹐我們只需求出三平面的交點個數﹐就可以 判定它們的相交情形是 3 種情形中的哪一種﹒
現在將三平面的方程式聯立起來並編號為
3 2 3 4
5 3 1
x y z x y z
x y z
﹐
利用加減消去法﹐由 及 5消去 x ﹐得
3 3 4 7 6 8 14 x y z
y z y z
﹐
再由 2消去 y ﹐得
3 3 4 7 0 0 x y z
y z
﹒
因為兩個不平行的平面交於一直線﹐
所以此三平面交於一直線﹐如右圖所示﹒
◎10. 右圖（其中 E
1與 E
2平行）可能是下列哪一個聯立方程式的圖形﹖
(1) 1 1 1 x y z
(2)
1 1 1 x y y z z x
(3)
1 2 3 x y y z z x
(4)
3 4 5 x y z y z x z x y
(5)
3 2 4
2 3 4
4 x y z
y z x
x y z
﹒
(1)三個平面均無任二平面平行﹐且交於點
1 , 1 , 1 ﹒
(2)三個平面均無任二平面平行﹒
(3)三個平面均無任二平面平行﹒
(4)將
3 4 5 x y z y z x z x y
改成
3 4 5 x y z x y z x y z
﹐可知 與 是兩個平行平面﹐而且 ﹐ 與平
面 均交於一直線﹒
(5)三個平面中無任二平面平行﹒
由上面的討論可知﹕可能的選項為(4)﹒
◎11. 已知三平面 E
1: 2 x ﹐ y z 2 E
2: x 2 y ， z 1 E
3: x 8 y cz 交於一 d 直線﹐求 c ﹐ d 的值﹒
因為三平面交於一直線﹐所以聯立方程式
2 2
2 1
8 x y z x y z x y cz d
有無限多組解﹒
先將聯立方程式調整順序並編號為
2 1
2 2
8 x y z
x y z x y cz d
﹐然後用加減消去法求解如下﹕
由 2及 消去 x ﹐得
2 1
5 3 0
10 1 1
x y z y z
y c z d
﹐
由 2消去 y ﹐得
2 1
5 3 0
5 1
x y z y z c z d
因為聯立方程式有無限多組解﹐所以由 式可知c ﹐5 d ﹒ 1
◎12. 試就實數 a 的值﹐討論聯立方程式
1 1 1 ax y z x ay z x y az
的解﹒
計算 1 1 11 3 3 2
1
2 2
1 1 a
a a a a a
a
﹐
21 1 1
1 1 1
1 1
x a a
a
﹐ 1 1 11 1
1
21 1
y
a
a a
﹐ 1 1 11
1
21 1 1
z
a
a a
﹒
(1) 當 ﹐即0 a 且1 a 時﹐聯立方程式的解為2 1 2 x x
a
﹐同理可得 1
y z 2
a
﹒
(2) 當a 時﹐聯立方程式為1
1 1 1 x y z x y z x y z
﹐表示三個相同平面﹐其解為平面上的任意點﹒
(3) 當a 時﹐聯立方程式為2
2 1
2 1
2 1 x y z x y z x y z
﹐利用高斯消去法得聯立方程式無解﹒
3-1 一次聯立方程式與矩陣
1. 已知矩陣
2 4 3
4 3
1 經過列運算﹐得
b a 1 0
0
1 ﹐求 a ﹐ b 的值﹒
利用矩陣的列運算﹐得 1 3 4
3 4 2
1 3 4 0 5 10
1 3 4 0 1 2
1 0 2 0 1 2
﹐ 故a ﹐2 b ﹒ 2
2. 已知有一個 x ﹐ y ﹐ z 的三元一次聯立方程式的增廣矩陣﹐經矩陣的列運
算得
1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2
﹐求此聯立方程式的解﹒
因為題目中的矩陣表示聯立方程式
2 3 4 2 3 2 x y z y z z
﹐
所以聯立方程式的解為x ﹐0 y ﹐1 z ﹒ 2
3. 利用矩陣的列運算﹐可將矩陣
1 1 0 5 0 1 1 7 1 0 1 8
化為
1 0 0 0 1 0 0 0 1
a b c
﹐求 a ﹐ b ﹐
c 的值﹒
利用矩陣的列運算﹐得 1 1 0 5
0 1 1 7 1 0 1 8
1 1 0 5 0 1 1 7 0 1 1 3
1 0 1 2 0 1 1 7 0 0 2 10
1 0 1 2 0 1 1 7 0 0 1 5
1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 5
﹐
第 3 章 矩 陣
1
2
1 1
3
1 5
3
1
1
1
1
1 3
2
6
故a ﹐3 b ﹐2 c ﹒ 5
4. 利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式
2 10 2 3 3 1
4 13 x y z
x y z
x y z
﹒
1 2 1 10 2 3 3 1 1 1 4 13
1 2 1 10 0 1 5 19 0 3 5 3
1 2 1 10 0 1 5 19 0 3 5 3
1 0 9 28 0 1 5 19 0 0 10 60
1 0 9 28 0 1 5 19 0 0 1 6
1 0 0 26 0 1 0 11 0 0 1 6
﹐
故x26﹐y ﹐11 z ﹒ 6
5. 利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式
2 5
2 7
7 8 31 x y z x y z x y z
﹒
利用矩陣的列運算﹐得 2 1 1 5 1 2 1 7 1 2 1 7 2 1 1 5 7 8 1 31 7 8 1 31
1 2 1 7 0 3 3 9 0 6 6 18
1 2 1 7 0 1 1 3 0 6 6 18
1 0 1 1 0 1 1 3 0 0 0 0
即原聯立方程式與聯立方程式 1
3 x z y z
同解﹒
若令 z t ﹐則原聯立方程式的解為 1
3
x t
y t
z t
（ t 為任意實數）﹒
2
7
2
1
1 10
2
3
5 9
6. 利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式
2 3
3 2 1 7 4 5 4 x y z
x y z
x y z
﹒
利用矩陣的列運算﹐得 1 2 1 3
3 1 2 1 7 4 5 4
1 2 1 3 0 5 1 8 0 10 2 17
1 2 1 3 0 5 1 8 0 0 0 1
﹐
由矩陣的第三列得知﹐原聯立方程式無解﹒
7. 已知 k 為實數﹐且聯立方程式
k z y x
z y x
z y x
2 3
1 2
1 3 2
有解﹐求 k 的值﹒
將聯立方程式的增廣矩陣作列運算﹕
1 2 3 1 1 2 1 1 3 2 1 k
1 2 3 1 0 4 4 2 0 8 8 k 3
1 2 3 1 0 4 4 2 0 0 0 k 1
由矩陣的第三列推得﹐若聯立方程式有解﹐則k ﹐解得1 0 k ﹒ 1
8. 已知 x 1 ﹐ y ﹐ 1 z 為聯立方程式 2
6 0
2 2 1 0
2 3 1 0
ax by cz ax by cz ax by cz
的一組解﹐
求 a ﹐ b ﹐ c 的值﹒
因為x ﹐1 y ﹐1 z 為原聯立方程式的一組解﹐所以 2 2 6 0
2 4 1 0
2 6 1 0
a b c a b c a b c
由 得 a6c 7 0
由 得 4 a2c 2 0
再由 解得a ﹐1 c ﹒代入 得1 b ﹒ 5 故a ﹐1 b ﹐5 c ﹒ 1
1
3 3
7 2
2
3-2 矩陣的運算
1. 已 知 A ﹐ B 都 是 3 2 階 矩 陣 ﹐ 且 A ﹐ a
i jB ﹐其中 b
i ja
i j ﹐ i j
i j
2
b ﹐求矩陣 A B i j ﹒
由題意，得
11 12
21 22
31 32
2 3 3 4 4 5 a a
A a a a a
﹐
11 12 21 22 31 32
1 0 3 2 5 4 b b
B b b b b
﹒
故
3 3 6 6 9 9 A B
﹒
2. 已知 6 5 1 0 1 0 0 1 0 1 7 2 a 0 1 b 0 1 c 1 0 d 1 0
﹐求 a ﹐ b ﹐ c ﹐ d 的值﹒
因為 6 5 0 0 0 0
7 2 0 0 0 0
a b c d a b c d
a b c d c d a b
﹐所以 6
2 a b a b
且 5
7 c d c d
.
解得a ﹐4 b ﹐2 c ﹐6 d ﹒ 1
3. 已知 2 1 A 3 5
﹐ 1 4 4 0
B
﹐且 3 X A 2 B X A ﹐求矩陣 X ﹒
因為3
X A 2B
X ﹐所以 A3X3A6BX 2A X 2A6B﹒
故 2 1 3 12 1 11
3 3 5 12 0 9 5
X A B
﹒
第 3 章 矩 陣
4. 已知矩陣 1 4 A x y
﹐ 1 1 B x
y
﹐ 1 0 0 1
I
﹐且 A 2 B tI ﹐求 (1)實數 t ﹐ x ﹐ y 的值﹒ (2)矩陣 3 A 2 B ﹒
(1)因為A2B ﹐所以 tI
1 4 2 2 0
2 2 0
x t
x y y t
3 4 2 0
2 3 0
x t
x y t
﹒
因此 3 4 2 0
2 0 3
t x x
y t
﹐解得t ﹐3 x ﹐2 y ﹒ 1
(2)因為 1 4 2 1
A
﹐ 1 2 1 1 B
﹐所以
3 12 2 4 1 16 3 2
6 3 2 2 8 1
A B ﹒
5. 已知 0 1 2 2 1 0
A
﹐ 3 2 1 1 2 3
B
﹐且 X 2 Y 5 A ﹐ 2 X Y 5 B ﹐求矩 陣 X ﹐ Y ﹒
令 2 5
2 5
X Y A
X Y B
由 2﹐得 5X5A10B﹐即 6 5 4 2 4 5 6 X A B
﹒ 由 2 ﹐得 5Y10A5B﹐即 3 0 3
2 3 0 3
Y A B ﹒
6. 已知 1 2 3 4
A
﹐ 2
3 1 B k
﹐且 AB BA ﹐求 k 的值﹒
因為 ABBA﹐所以 1 2 2 2 1 2 3 4 3 1 3 1 3 4
k k
﹐即 6 4 6 2 8 3 12 10 6 10
k k k
k
﹒
因此 2 8 4 3 12 6
k k
﹐解得k ﹒ 2
7. 已知矩陣 2 1 2 1 0 3
A
﹐ 1 1 0 1 2 2
B
﹐
1 1 1 2 0 1
0 1 1
C
﹐求下列各
矩陣﹕
(1) A B C (2) AC BC
(1)由矩陣的加法與乘法定義﹐得
1 1 1 2 1 2 1 1 0
2 0 1 1 0 3 1 2 2
0 1 1 A B C
1 1 1
1 2 2 5 1 1
2 0 1
2 2 1 6 1 3
0 1 1
﹒
(2)因為
AB C
ACBC﹐所以 5 1 1 6 1 3 ACBC ﹒8. 已知
1 2 0 1 1 0 1 4 0 A
﹐
1 2 3 1 1 1 1 1 1 B
﹐
1 2 3 1 1 1 2 2 2 C
﹐求矩陣 AB AC ﹒
ABAC A B
C
11 21 00 00 00 001 4 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
﹒
9. 已知矩陣 1 1 1 1 A
﹐ 1 0 I 0 1
﹐求下列各矩陣﹕
(1) A ﹒ (2)
2A ﹒ (3)
3 I A
3﹒
(1) 2 1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2
A ﹒
(2) 3 2 2 2 1 1 4 4
2 2 1 1 4 4
A A A ﹒ (3)因為 IAAI ﹐所以 A
IA
3I33I A2 3IA2A3 I 3A3A2A31 0 1 1 2 2 4 4
3 3
1 1 2 2 4 4
0 1
1 0 3 3 6 6 4 4 14 13
3 3 6 6 4 4 13 14
0 1
﹒
10. 已知矩陣
4 3
2
A 1 ﹐
1 0
0
B 2 ﹐ 3
C 4
﹒選出正確的選項﹕
(1)若矩陣 D CA ﹐則 D 為 2 1 矩陣 (2)矩陣 BC 為 2 1 矩陣
(3)矩陣 ABC 為 2 1 矩陣 (4) AB BA (5) A B
2 A
2 2 AB B
2﹒
(1)因為 C 的行數 1 不等於 A 的列數 2 ﹐所以 CA 不存在﹒
(2)因為 B 是 2 2 矩陣﹐ C 是 2 1 矩陣﹐所以 BC 是 2 1 矩陣﹒
(3)因為 A 是 2 2 矩陣﹐ B 是 2 2 矩陣﹐所以 AB 是 2 2 矩陣﹒
又因為 C 是 2 1 矩陣﹐所以 ABC 是 2 1 矩陣﹒
(4)因為 2 2 AB 6 4
﹐ 2 4 3 4 BA
﹐所以 ABBA﹒
(5)因為
AB
2 AB
AB
A2ABBAB2﹐且 ABBA﹐所以
AB
2A22ABB2﹒故選項(2)(3)正確﹒
3-3 矩陣的應用
1. 已知 1 3 2 5
a b
A
是轉移矩陣，求 a ﹐ b 的値﹒
因為 5 5
3 2 5 5 a b A
﹐所以由轉移矩陣的定義﹐得
3 1 5 5
2 1 5 5 a
b
，
解得a ﹐2 b . 3
2. 資料顯示﹐某城市在晴天之後隔天下雨的機率為 1
5 ﹐而在雨天之後隔天 也是雨天的機率為 1
3 ﹒ (1)寫出此天氣的轉移矩陣﹒
(2)若此城市星期日下雨﹐求星期二下雨的機率﹒
(1)此天氣的轉移矩陣為
4 2 5 3 1 1 5 3 A
﹒
(2)因為星期日下雨﹐所以 0 0 X 1
﹐於是
1 0
4 2 2
5 3 0 3 1 1 1 1
5 3 3
X AX
﹐ 2 1
4 2 2 34 5 3 3 45 1 1 1 11 5 3 3 45 X AX
﹐
故星期二下雨的機率為11 45﹒
第 3 章 矩 陣
3. 小明從家裡到學校有甲﹑乙兩條路線可以走﹐他每天依下述方法決定上 學的路線﹕若某一天走乙路線上學﹐則次日一定走甲路線﹔若某一天走 甲路線上學﹐則次日丟一枚公正硬幣﹐出現正面就走甲路線﹐反面就走 乙路線上學﹒
(1)寫出小明選擇上學路線的轉移矩陣﹒
(2)若星期一小明以丟硬幣決定上學路線﹐則他在星期三走甲路線上學的 機率為何﹖
(1)轉移矩陣
1 1 2 1 0 2 A
﹒
(2)因為星期一用丟硬幣決定上學路線﹐所以 0 1 2 1 2 X
﹐於是
1 0
1 1 3
2 1 2 4
1 1 1
2 0 2 4 X AX
﹐ 2 1
5
1 3
1 8
2 4
1 1 3
2 0 4 8 X AX
﹒
故小明在星期三走甲路線上學的機率為5 8﹒
4. 已知 4 5 7 9
A
﹐ 4 3 B 5 1
﹐求
(1) A 的反方陣 A
1﹒ (2)滿足 AX 的二階方陣 X ﹒ B
(1)由反方陣公式﹐得 1 1 9 5 9 5
7 4 7 4
A 1 ﹒ (2)因為 AX ，所以B A1
AX
A B1 XA B1 ﹒故 9 5 4 3 11 22 7 4 5 1 8 17 X ﹒
5. 已知 5 2 2 1 A
﹐求滿足 1 2 1 6 2 5
AX
的矩陣 X ﹒
由反方陣公式﹐得 1 1 1 2 1 2 2 5 2 5 A 1
﹒
因為 1 2 1
6 2 5
AX
－ ﹐所以
1 1 2 1 1 2 1 2 1 11 6 9
6 2 5 2 5 6 2 5 28 14 23 X A
－ －
－ － － － ﹒
6. 已知方陣 3 1
2 2 A a
a
的反方陣不存在﹐求 a 的值﹒
因為 A 的反方陣不存在﹐所以det
A ﹐即0 3 1 25 4 0
2 2
a a a
a
﹐
解得a 或 4 ﹒ 1
7. 已知 1 2 3 4
A
﹐ 2 1 1 1 B
﹐ 2 1 1 3
C
﹐求滿足 AX 3 B C 的矩陣 X ﹒
因為AX3B ﹐所以C AX C 3B XA1
C3B
﹐即 1 4 2 2 1 2 1
3 1 1 3 3 1 1 X 2
4 2 4 4 1
3 1 2 6 2
12 4 6 2 1
10 6 5 3 2
﹒
