高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.11.20 班級
範
圍 2-5 空間直線
座號
姓 名 一、選擇題( 每題 10 分)
1. 空間中點 A(1，2，3)到直線 2 +1
x =
1 2
− +
y =
2
z 之距離為(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
【解答】(D)
【詳解】
SOL 一：
設 H∈L，則 H( − 1 + 2t，− 2 − t，2t)
AH= (2−2t)2 +(4+t)2 +(3−2t)2 = 9t2 − t12 +29= ) 25 3
( 2
9 t− 2 + 當 t =
3
2時，AH有最小值 5，即 d(A；L) = 5 SOL 二：
設AH ⊥L於 H( − 1 + 2t，− 2 − t，2t) ，
，即
____\
( 2 2 , 4 , 3 2 )
AH t t t
⇒ = − + − − − + ____\v =(2, 1, 2)−
____\ ____\ ____\ ____\
0
AH ⊥ v ⇒ AH⋅ v = 2
2( 2 2 ) ( 4 ) 2( 3 2 ) 0
t t t t 3
− + − − − + − + = ⇒ =
____\ 2 14 5
( , ,
3 3 3
AH = − − − )，d(A；L) = AH 2 2 14 2 5 2 ( ) ( ) ( )
3 3 3 5
= − + − + − = SOL 三：
取直線L上一點 ， ，
d(A，L) =
( 1, 2, 0)
B − − ____\BA=(2, 4, 3)− ____\v =(2, 1, 2)−
|
|
|
| \
____
v BA×v
=
2 2 2
2 2 2
4 3 3 2 2 4
1 2 2 2 2 1
2 ( 1) 2
− −
+ +
− −
+ − + =
2 2 2
5 ( 10) ( 10) 3 5
+ − + −
=
2. 設相異兩點A，B都在直線L1： 上，也都在直線L
⎩⎨
⎧
= +
− +
=
− +
−
0 14 3 2
0 7 3
z y x
z y x
2： 2
−1
x =
m b y− =
n c z−
上，
m，n，b，c ∈ R，則m + n之值為(A) 5 (B) 6 (C) 11 (D) 16 (E) 17
【解答】(D)
【詳解】
AB= L1 = L2同一直線 1
2 1 3 −
3 1
− 2 3
3 1
1 1
−
− ⇒ L1的方向向量為(2，11，5)
∴ (2，11，5) = (2，m，n) ⇒ m = 11，n = 5 ⇒ m + n = 16
∵ (1，b，c) ∈ L2 ∴ (1，b，c) ∈ L1 ，代入 ⇒ b = 2，c = 6
⎩⎨
⎧
= +
− +
=
− +
−
0 14 3 2
0 7 3
c b
c b
3. 已知點 A(− 1，m，n)在直線 L：
8 +81
x =
11 +108
y =
13 127
−
−
z 上，則實數序對(m，n) = (A) (2，− 3) (B) (2，3) (C) (− 2，3) (D) (− 4，3) (E) (5，− 8)
【解答】(A)
∵ A(− 1，m，n) ∈ L ∴ 8 80=
11 +108
m =
13 127
−
−
n ⇒ ⇒
⎩⎨
⎧
−
=
−
= +
130 127
110 108 n m
⎩⎨
⎧
−
=
= 3 2 n m
4. (複選)在空間中，直線 L： ，t∈R，下列敘述何者正確？
(A) L 與平面 E：4x − 5z + 11 = 0 恰交一點 (B) L 與平面 E：10x + y + 8z + 1 = 0 平行 (C) L 與平面 E：5x + 3y + 4z + 1 = 0 垂直 (D) L 與 x 軸平行 (E) L 與 y 軸垂直
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
= +
=
t z
y
t x
5 3
2 4 1
【解答】(A)(B)
【詳解】
(A) L 代入 E，4(1 + 4t) − 5(3 − 5t) + 11 = 0 ⇒ t = 0，表 L 與 E 恰交一點 (B) L 之方向向量 = (4，0，− 5)與平面 E 之法向量 = (10，1，8)
，且 L∉E，∴L // E
(C) L 方向向量 = (4，0，− 5)與平面 E 之法向量 = (5，3，4)不平行，∴L 與 E 不垂直 (D) L 方向向量 = (4，0，− 5)與 x 軸方向向量
____\
v ____\n
____\ ____\ ____\ ____
0
v ⋅ n = ⇒ v ⊥ n\
____\
v ____\n
____\
v ____\vx = (1，0，0)不平行，∴L 與 x 軸不平行
(E) L 與 y 軸不相交且不平行 ∴ L 與 y 軸歪斜 二、填充題( 每題 10 分)
1. 試求包含A(4，3，1)及直線
2 1 1
2 2
1= − = −
− y z
x 之平面方程式為 。
【解答】2x − 6y + z + 9 = 0
【詳解】
取直線 L 上一點 P(1，2，1) ∴ = (3，1，0)
直線 L 之方向向量 = (2，1，2) ⇒ × = (2，− 6，1)
∴ 包含 A 點及直線 L 之平面方程式為2(
____\
PA
____\
v
____\
PA ____\v
4) 6( 3) ( 1) 0
x− − y− + − =z ，2x − 6y + z + 9 = 0
2. 包含直線⎨ 及點(1，− 1，− 1)之平面方程式為
⎩
⎧
=
− +
−
=
− + +
0 3 2
0 3 z y x
z y
x 。
【解答】7x − 5y + 3z − 9 = 0
【詳解】平面族
設含直線⎨ 的平面方程式為(x + y + z − 3) + k(2x − y + z − 3) = 0 過點(1，− 1，− 1)，得(1 − 1 − 1 − 3) + k(2 + 1 − 1 − 3) = 0 ⇒ k = − 4
所求平面方程式為(x + y + z − 3) − 4(2x − y + z − 3) = 0，即 7x − 5y + 3z − 9 = 0
⎩
⎧
=
− +
−
=
− + +
0 3 2
0 3 z y x
z y x
3. 空間中二直線L1： 2
x= y − 1 = 2 − z，L2： 2
−1
x = y + 1 = 8 − z，
(1)則L1，L2的最短距離 = 。 (2)包含直線L1和L2的平面方程式為 。
【解答】(1) 35 (2) 4x − 13y − 5z + 23 = 0
【詳解】
(1) A(0，1，2)∈L1，P(1 + 2t，− 1 + t，8 − t)∈L2 AP= (1+2t)2 +(−2+t)2 +(6−t)2 = 6(t−1)2 +35
當t = 1 時，AP有最小值為 35 ，即d(L1；L2) = 35 (2)已知 AB\
_____
= (1，− 2，6)及方向向量____\v = (2，1，− 1)， AB\
_____
× = ( − 4，13，5) 取 = (4，− 13，− 5)為所求平面E之法向量，且平面E過A(0，1，2)
∴ E：4(x − 0) − 13(y − 1) − 5(z − 2) = 0 ⇒ E：4x − 13y − 5z + 23 = 0
____\
v
____\
n
4. 過點A(1，0，2)且垂直於直線 2
−1
x =
2 +2
y =
1
−3
z 之平面方程式為 。
【解答】2x + 2y + z = 4
【詳解】
平面 E 垂直直線 2
−1
x =
2 +2
y =
1
−3
z ⇒ E 的法線向量即為直線的方向向量(2，2，1)，
又 A(1，0，2)在 E 上，E 之方程式為 2(x − 1) + 2(y − 0) + 1．(z − 2) = 0，即 2x + 2y + z = 4 5. 若直線L：
6 +2
x =
b y−1=
c
z−1與平面E：3x − y + 2z = 2 垂直且交點H，則數對(b，c) = ， H的坐標是 。
【解答】( − 2，4)，(
2
−1
，2 1，2)
【詳解】
(1)∵ L ⊥ E ∴ 方向向量 = (6，b，c) // 法向量 = (3，− 1，2) 則
____\
v ____\n
3 6=
−1 b =
2
c ，⇒ b = − 2，c = 4，數對(b，c) = ( − 2，4)
(2)∵ H∈L： ∴ 設 H( − 2 + 6t，1 − 2t，1 + 4t) ， H 代入 E
⇒ ( − 6 + 18t) − (1 − 2t) + (2 + 8t) = 2 ⇒ t =
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
=
=
−
=
1 1 2
− +
t z
t y
t x
4 2
6
4
1，則 H(
2
−1
，2 1，2)
6. 空間二直線L：x − 3 = 1 − y = z − 1，M：x − 1 = a(y + 1) = z + b，若L // M且L與M的距離為 2 2 ， 則序對(a，b) = 。
【解答】( − 1，− 1)
【詳解】
L： 3 1
1 1
1 1 x− y− z−
= =
− ，M： 1 1
1 1 1
x y z
a
− + +
= = b
(1) L // M ⇒ a
1= − 1 ⇒ a = − 1
(2) L上取一點A(3，1，1)，M上取一點B(1，− 1，− b)，L與M的距離即A點到M的距離
____\
BA= (2，2，1 + b)，L之方向向量 = (1，− 1，1)
d(L，M) = d(A，M) =
____\
v
|
|
|
| \
____
v BA×v
=
3
1 1
2 2 1 1
2 1
1 1
1
2 2 2 2
+ − + +
−
+b b
=
3
) 2 1 ( ) 1 2 ( ) 4
(− 2+ + +b 2 + +b− 2
=
3 26 4
2b2 + b+ = 2 2
∴ 2b2 + 4b + 26 = 24⇒ +(b 1)2 =0， b = − 1 7. 包含直線L：
3 +1
x =
2
−1
y =
4
−2
z 的平面E，若與平面F：2x − y + 3z + 7 = 0 垂直，則其方程式為 。
【解答】10x − y − 7z + 25 = 0
【詳解】
設平面 E，F 的法線向量各為 ， ，其中 = (2，− 1，3)
∵ E⊥F ⇒ ⊥ ∵ E 包含 L ⇒ ⊥L 的方向向量(3，2，4)
__\
n1 __\
n2
__\
n2 __\
n1 __\
n2
__\
n1
2 − 1 3 2 − 1 3 3 2 4 3 2 4
∴ ，L 的公垂向量 = (10，− 1，− 7)
∵ 點(−1，1，2) ∈ L ⇒ (−1，1，2) ∈ E
E：10(x+1) − (y− 1) − 7(z − 2)=0 10x − y − 7z + 25 = 0
__\
n2
__\
n1
⇒
8. 過點(1，− 1，5)且平行於直線 之直線方程式為
⎩⎨
⎧
=
− + +
= + +
−
0 4 2
0 2 3
z y x
z y
x 。
【解答】 3
1
−
−
x =
2 1
− +
y =
7
−5 z
【詳解】
直線 L： ⇒
直線 L 方向向量 = × = (
⎩⎨
⎧
=
− + +
= + +
−
0 4 2
0 2 3
z y x
z y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
=
) 1 2 1 (
) 1 1 3 (
2 ___\ 1 ___\
，
，
，
， n
n
____\
v 1\
___
n 2\
___
n 2 1
1
−1
， 1 1 3
1 ，
2 1
1 3 −
) = ( − 3，− 2，7) 所求直線方程式為
3 1
−
−
x =
2 1
− +
y =
7
−5 z
9. 若P(1，0，− 1)，Q(2，1，− 1)，則直線 PQ 與x + 2y − 3z = 0 之交點坐標為 。
【解答】( − 3 1，−
3
4，− 1)
【詳解】
PQ ： ，t∈R，設交點 A(1 + t，t，− 1)代入 E：x + 2y − 3z = 0 ⇒ t = −
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
= +
=
1 0 1 z
t y
t x
3 4
∴ 交點 A( − 3 1，−
3
4，− 1)
10.設L：
4
−3
x =
5
−1
y =
1 +3
z 與M：
2 k x− =
3 k y− =
1 k z+
兩直線相交於一點，若平面E包含L及M，
則(1)平面E方程式為 。 (2) k = 。
【解答】(1) x − y + z = − 1 (2) 1
【詳解】
L 之方向向量 = (4，5，1)，M 方向向量 = (2，3，1)， × = (2，− 2，2)=2/ (1，− 1，1) L 上一點(3，1，− 3)在 E 上，E：(x− 3) − (y − 1)+( z+3) =0， 故平面 E 為 x − y + z = − 1
__\ 1
__\ 2
__\ 1
__\ 2
設 P(x，y，z)在 L、M 上 ∴
d − c得 s = t − 2……f代入c得 k = 2t + 7……g
f、g代入e得 t = − 3 代入g得 k = 1 ∴ P(− 9，− 14，− 6)
⎪⎩
⎪⎨
⎧x = 3 + 4t = k + 2s……c y = 1 + 5t = k + 3s……d z = − 3 + t = − k + s……e
11.直線L：
2
−1
x =
2 y=
4 2
− +
z ，說明下列各直線與直線L的關係為
(A)重合 (B)平行 (C)相交於一點 (D)互為歪斜線 (1)直線L1：
−2 x =
1 +1
y =
1
z ： 。 (2)直線L2： 1
3
− +
x =
1 4
− +
y =
2
−6
z ： 。
(3)直線L3：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= +
2 3
1 2
z y x
： 。
【解答】(1) (C) (2) (A) (3) (D)
【詳解】
(1) L： ，L
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
== + +
=
t z
t y
t x
4 2
2 0
2 1
1： ⇒
由c，d ⇒ t =
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
= +
−
=
−
=
s z
s y
s x
0 1
2 0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
−
+
−
=
−
= +
…
…
…
…
…
…
s t
s t
s t
4 2
1 2
2 2
1 c
d e
2
−1，s = 0 代入e合 ∴ L及L1交於一點
(2)____\v2 = ( − 1，− 1，2) //____\v = (2，2，− 4)，且L2上一點P( − 3，− 4，6)∈L，∴ L及L2重合
(3)(i)____\v3 = (2，3，0) //
____\
v = (2，2，− 4)，∴ L3 // L
(ii) L： ，L
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
=
= +
=
t z
t y
t x
4 2 2
2 1
3： ⇒
由c，d ⇒ t =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
−
= +
=
2 3 1
2 0 z
s y
s x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
−
+
−
=
= +
…
…
…
…
…
…
2 4 2
3 1 2
2 2 1
t s t
s
t c
d e
2
−1，s = 0 代入e不合 ∴ L及L3不相交 由(i)，(ii)可知L及L3互為歪斜
12.△ABC的三頂點坐標為A(2，− 3，5)，B(3，0，10)，C(x，y，0)，
則當x，y之值為 時，△ABC之周長最小。
【解答】(
3
7，− 2，0)
【詳解】點 C 在 xy 平面上，且 A，B 在 xy 平面的同側
點 A(2，− 3，5)與 A′(2，− 3，− 5)對稱於 xy 平面， BA′ ： ，t∈R
當點 C 為
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
= +
−
= +
=
t z
t y
t x
15 5
3 3 2
A′ 與 xy 平面的交點，使 AC + BC = CB A′ + BC 最小，
當 z = 0 即− +5 15t=0⇒t = 3
1，代入得 x = 3
7，y = − 2，故所求之點 C 的坐標為(
3
7，− 2，0)
13.直線 2
−1
x =
3 2
− +
y =
1
−4
z 在平面x + y + az = b上，數對(a，b) = 。
【解答】(1，3)
【詳解】
直線 2
−1
x =
3 2
− +
y =
1
−4
z 在平面 x + y + az = b 上，(2，− 3，1)⊥(1，1，a)⇒2 − 3 + a = 0⇒a = 1 點(1，− 2，4)在平面上 ⇒ 1 − 2 + 4a = b ⇒ 1 − 2 + 4 = b ⇒ b = 3
14.給定一點A(1，2，3)，平面E：x + y + z = 0，
(1)過A點垂直平面E的直線參數式為 。 (2) A點在E上的正射影坐標為 。 (3) A點對E的對稱點坐標為 。
【解答】(1) x = 1 + t，y = 2 + t，z = 3 + t，t ∈ R (2) (− 1，0，1) (3) (− 3，− 2，− 1)
【詳解】
(1)垂直 E：x + y + z = 0 之直線方向向量即為 E 的法線向量(1，1，1)，直線過 A (1，2，3)
∴ 所求直線參數式為
(2)將(1)的參數式代入 E，(1 + t) + (2 + t) + (3 + t) = 0 ⇒ t = − 2 ∴ 直線與 E 的交點為 B( − 1，0，1)，即為 A 在 E 上的正射影 (3)設 A 對 E 的對稱點 A′，則
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
=
∈ +
= +
=
t z
R t t y
t x
3 2 1
，
A
A ′中點 B，得 A′( − 2 − 1，0 − 2，2 − 3) = ( − 3，− 2，− 1)
15.原點在直線L：
2
−3
x =
2 +1
y =
1
−5
z 上投影的坐標為 ，關於直線L對稱點坐標為 。
【解答】(1，− 3，4)，(2，− 6，8)
【詳解】
設原點 O 在 L：
2
−3
x =
2 +1
y =
1
−5
z 上的投影 A(3 + 2t，− 1 + 2t，5 + t)
則 OA⊥L ⇒ ⊥(2，2，1) ⇒ (2，2，1)．(3 + 2t，− 1 + 2t，5 + t) = 0
⇒ 2(3 + 2t) + 2(− 1 + 2t) + (5 + t) = 0 ⇒ t = − 1
∴ A(1，− 3，4)，設 O 的對稱點 B ⇒ A 為
____\
OA
OB 中點，∴ B(2，− 6，8) 16.若兩直線L1：
3
−1
x =
4
−4
y = z − 6 和L2： 2 +1
x =
3
−4
y = z + k（其中k∈R）都在平面E上，則k =
。
【解答】− 8
【詳解】
L1，L2都在平面E上，但L1// L2 ∴ L1，L2必相交於一點
則 ，由cd ⇒ t = − 6，s = − 8，代入e得k = − 8
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
= +
+
= +
+
−
= +
…
…
…
…
…
…
s k t
s t
s t
6
3 4 4 4
2 1 3
1 c
d e
17.設O-xyz空間中，兩歪斜線L1： 2 +1
x =
1
−1
y =
1 +2
z 與L2： 1
−2
x =
−1 y =
2
−1 z ， (1)若平面E包含L1而E平行L2，則E之方程式為 。
(2)二歪斜線L1與L2之距離為 。
【解答】(1) x − y − z = 0 (2) 3 1
【詳解】
(1)平面E包含L1且E平行L2，故平面E之法向量____\n 與L1及L2 之方 向向量 = (2，1，1)及 = (1，− 1，2)均垂直
∵ × = (
1 ___\
d 2
___\
d
1 ___\
d 2
___\
d 1 2
1 1
− ，
1 2
2
1 ，
1 1
1 2
− ) = (3，− 3，− 3) // (1，− 1，− 1) 取平面E之法向量n= (1，− 1，− 1)， 過A( − 1，1，− 2)，
E：( x+1 ) −( y −1 ) − ( z +2 )= 0，即E：x − y − z = 0 (2) d(L1；L2) = d(B；E) =
1 1 1
| 1 0 2
|
+ +
−
− =
3 1
18.設空間二直線
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
= +
= +
−
−
−
= +
= −
1 1 4
6 3
5
2 7 2
7 1
2 1
z y
L x
z y
L x
：
：
，
(1)若L1與L2之公垂線與L1，L2的交點分別為P，Q，則P坐標為 。 (2) L1與L2之公垂線方程式_________________________。(對稱比例式)
(3) L1與L2間之最短距離為 。
【解答】(1) ( − 3，1，− 1) (2) 3
【詳解】
(1) L1： 及L
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
= +
=
=
t z
t y
t x
2 7
2
7 2： ⇒P(t，7 + 2t，− 7 − 2t)，Q(5 − 3s，− 6 + 4s，− 1 + s)
= (5 − 3s − t，− 13 + 4s − 2t，6 + s + 2t) 與L
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
= +
−
=
−
=
s z
s y
s x
1 4 6
3 5
PQ\
_____
1及L2之方向向量 = (1，2，− 2)及 = (− 3，4，1)均垂直
則 ⇒ ，得 , 即P( − 3，1，− 1)，Q( − 1，2，1)
(2) L
1 ___\
d 2
___\
d
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= 0 0
2 ___\ _____\
1 ___\ _____\
d PQ
d PQ
．
．
⎩⎨
⎧
=
−
−
=
−
−
0 61 3 26
0 33 9 3
t s
t s
⎩⎨
⎧
=
−
= 2
3 s t
1與L2之公垂線 PQ\
_____
=(2,1, 2)⇒ 3 1
: 2 1 2
1
x y z
PQ + = − = +
(3) d(L1；L2) =PQ= 4+1+4= 3
