已知點 A(− 1，m，n)在直線 L： 8 +81 x = 11 +108 y = 13 127

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：92.11.21 班級

範

圍 空間直線方程式

座號

姓 名 一、單選題 (共 8 分)

1. 已知點 A(− 1，m，n)在直線 L：

8 +81

x =

11 +108

y =

13 127

−

−

z 上，則實數序對(m，n) = (A)(2，− 3) (B)(2，3) (C)(− 2，3) (D)(− 4，3) (E)(5，− 8)。

Ans： (A) 解析：

∵ A(− 1，m，n) ∈ L ∴ 8 80=

11 +108

m =

13 127

−

− n

⇒ ⇒

⎩⎨

⎧

−

=

−

= +

130 127

110 108 n

m

⎩⎨

⎧

−

=

= 3 2 n

m

2. 下列那一直線與平面 2x + y + z − 4 = 0 平行？(複選)

(A) 1

8 1

3 1

5= + = +

+ y z

x (B)

1 8 1

3 1

5= + = +

−

+ y z

x

(C) 1

5 1

2 1

5

−

= +

= −

+ y z

x (D)

1 1 1

4 1

3

−

= −

−

= −

− y z

x (E)

⎩⎨

⎧

= + +

= +

−

5 2

2

0 2

z y x

z y x

Ans： (B)(D)(E)

解析：平面 2x + y + z − 4 = 0 的法向量nK = (2，1，1) (1)∵

1 8 1

3 1

5= + = +

+ y z

x 的方向向量 = (1，1，1)，且n

__\

u1 K

． = 2．1 + 1 + 1 = 4 ≠ 0 ∴ 直線與平面不平行 ⇒ (A)不真

(2)∵

__\

u1

1 8 1

3 1

5 +

+ =

− =

+ y z

x 的方向向量 = ( − 1，1，1)，且n

__\

u2 K

． = − 2 + 1 + 1 = 0 ∴ 直線與平面平行 ⇒ (B)真

(3)∵

__\

u2

1 5 1

2 1

5

−

= +

= −

+ y z

x 的方向向量u^__\₃= (1，1，− 1)，且nK

． = 2 + 1 − 1 = 2 ≠ 0 ∴ 直線與平面不平行 ⇒ (C)不真

(4)

__\

u3

1 1 1

4 1

3

−

= −

−

= −

− y z

x 的方向向量u^__\₄= (1，− 1，− 1)，且nK

． = 2 − 1 − 1 = 0 ∴ 直線與平面平行 ⇒ (D)真

(5) 的方向向量 = (

__\

u4

⎩⎨

⎧

= + +

= +

−

5 2

2

0 2

z y x

z y

x ^__\

u5

2 2

1 2 2 1

2 1 1 2

1

1 −

− ， ， ) = ( − 3，0，6)，且

nK

．u^__\₅= − 6 + 0 − 6 = 0 ∴ 直線與平面平行 ⇒ (E)真

二、 填充題 (共 10 分)

1. 點A(11，4，− 6)到直線L： ，t ∈ R的距離為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

−

= +

=

−

=

t z

t y

t x

1 2 7 4

。

Ans： 29

解析：取P(4 − t，7 + 2t，−1 + t) ∈L

∵ AP² = (t + 7)² + (− 3 − 2t)² + (− 5 − t)² = 6t² + 36t + 83 = 6(t² + 6t) + 83 = 6(t + 3)² + 29 ≥ 29

∴ AP ≥ 29 ∴ 點A到直線L的距離為 29 ，此時，A在L的垂足為(7，1，− 4)

2. 兩直線L1： 2

−3

x =

1 +1

y =

3

−2

z 與L2： 4 +1

x =

2

−2

y =

6

−3

z 間的距離為 。

Ans：

7 6 35

解析：取L₂上一點P( 1, 2, 3 )− ，參閱題 1.，d L L( ,_{1 2} )=d P L( , ₁)= 7 6 35

3. 設直線L： ，試求包含直線L及點P(− 1，2，3)之平面方程式 =

⎩⎨

⎧

= +

−

= +

−

2 2 2

3 2

z y x

z y

x 。

Ans：. 2x − 7y + 7z − 5 = 0 解析：

設此平面方程式為 2x − y + z − 3 + k(x − 2y + 2z − 2) = 0；又過 P( − 1，2，3) 則( − 2 − 2 + 3 − 3) + k( − 1 − 4 + 6 − 2) = 0 ⇒ k = − 4

∴ 平面方程式為 2x − y + z − 3 − 4(x − 2y + 2z − 2) = 0，即 2x − 7y + 7z − 5 = 0

4. 包含直線L：

3 +1

x =

2

−1

y =

4

−2

z 的平面E，若與平面F：2x − y + 3z + 7 = 0 垂直，則其方 程式為 。

Ans：. 10x − y − 7z + 25 = 0 解析：

設平面 E，F 的法線向量各為 ， ，且 = ( 2，− 1，3 )

∵ E⊥F ⇒ ⊥

∵ L ⊂ E ⇒ ⊥L，L 的方向向量為

__\

nE n^__\_F n^__\_F

__\

nE __\

nF __\

nE l^__\_L =( 3，2，4 )

2 − 1 3 2 − 1 3 3 2 4 3 2 4

∴ ，L 的公垂向量 = (10，− 1，− 7)，

∵ 取點(−1，1，2) ∈E， E：10x − y − 7z = − 25

__\

nF

__\ __\ __

E F

n = ×n l^\_L

5. 空間二歪斜線L1： 2

−3

x =

2 1

−

−

y =

1

−2

z ；L2： 1 x=

2 y =

1 4

−

−

z ，

(1)包含L₂且與L₁平行的平面方程式為 。 (2) L₁，L₂的距離 = 。

Ans： (1) y + 2 z = 8；(2) 5 解析：

L1： 2

−3

x =

2 1

−

−

y =

1

−2

z 的方向向量 = (2，− 2，1)

L

___\

v1

2： 1 x=

2 y =

1 4

−

−

z 的方向向量 = (1，2，− 1)

(1)包含L

___\

v2

2且平行L1的平面E的法線向量nK

，又nK⊥ ，n

___\

v1 ^K⊥

___\

v2

nK = ^___v₁^\ ×^___v₂^\ = 2 1 1 1 1 2

( , , ) ( 0, 2, 4 ) 2( 0, 1, 2 )

2 1 1 1 1 2

− −

= =

− −

L2上一點(0，0，4)在平面E上，E的方程式為 0(x − 0) + 1．(y − 0) + 2(z − 4) = 0， 即y + 2z = 8 (2) L1，L2的距離 = L1上一點(3，− 1，2)到平面E的距離 =

4 1 0

8 2 2 ) 1 ( 1 0 3

+ +

−

× +

−

× +

× =

5

−5

= 5

6. 直線L₁： 4

−11

x =

3 5

− +

y =

1 7

− +

z ，L₂： 3 +5

x =

4 4

−

−

y =

2 6

−

−

z 不共平面，則

(1)其公垂線L與直線L1的交點為 (2) L1，L2的公垂線段長為 。

Ans： (1) 2x + 5y − 7z + 32 = 0 (2)(3，1，− 5) (3) 78 解析：

(1)設公垂線L與直線L₁的交點為P，與直線L₂的交點為Q L₁：P(4t + 11，− 3t − 5，− 7 − t)，^___n₁^\ = (4，− 3，− 1)

L₂：Q(3s − 5，− 4s + 4，− 2s + 6)， = (3，− 4，− 2) = (3s − 4t − 16，− 4s + 3t + 9，− 2s + t +13)

⇒ ⇒ s = 2，t = − 2

代入得P( 4(− 2) + 11，− 3( − 2) − 5， − 7 − ( − 2)) = (3，1，− 5) (2) = (− 2，− 5，7)，公垂線段

___\

n2 _____\

PQ

4(3 4 16) 3( 4 3 9) ( 2 13 0 3(3 4 16) 4( 4 3 9) 2( 2 13 0

s t s t s t

s t s t s t

− − − − + + − − + + + =

⎧⎨ − − − − + + − − + + + =

⎩

_____\

PQ PQ=|^_____PQ^\ | = ( 2)− ²+ −( 5)²+7² = 78

7. 設點P(− 5，0，− 8)及直線L：

2 1 2

2 1

3 = +

−

= −

− y z

x

(1)自P作L的垂直線，若垂足為Q，則Q點的坐標為 ，P關 於L之對稱點P'坐標為___________。。

(2) P點到直線L的距離為 。

Ans：. (1)(1，6，− 5) (2) ( 7，12，− 2 ) (3) 9 解析：

∵ 直線 L：

2 1 2

2 1

3 = +

−

= −

− y z

x ，∴ 直線 L 的參數方程式為 ，t ∈ R

(1)∵ P( − 5，0，− 8)在 L 上的垂足為 Q ∴

∵ Q 在 L 上， 設 Q(3 + t，2 − 2t，− 1 + 2t)，則 = (t + 8，2 − 2t，2t + 7) ∵ L 的方向向量 = (1，− 2，2)，且

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

−

=

−

= +

=

t z

t y

t x

2 1

2 2 3

L PQ^\⊥

_____

____\

PQ KA

KA

\⊥

____

PQ

∴ (t + 8，2 − 2t，2t + 7)．(1，− 2，2) = 0⇒ (t + 8) − 2(2 − 2t) + 2(2t + 7) = 0 ⇒ 9t + 18 = 0 ∴ t = − 2，故 Q 點坐標為(1，6，− 5)，

(2)點 P 到直線 L 的最短距離，即為PQ之長

∴ d(P，L) =PQ= (1+5)² +(6−0)² +(−5+8)² = 81= 9 PP'中點 Q⇒ P'( 7，12，− 2 )

8. 直線L過P(2，4，3)且平行於A(2，1，0)，B(3，4，2)兩點之連線，求L的對稱比例式 ___________ 。

Ans：

1

−2

x =

3

−4

y =

2

−3 z

解析：

∵ ^\

____

AB= (1，3，2)為 L 之方向向量且 L 又過 P(2，4，3)

∴ L 的對稱比例式為 1

−2

x =

3

−4

y =

2

−3 z

9. 過點 A(1，2，− 3)且平行於 y 軸的直線方程式為何？__________________

Ans：. ，t∈R

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

=

=

3 2 1 z

t y

x

解析：y 軸的方向向量為(0，1，0)，又過 A(1，2，− 3)，則此直線方程式： ，t∈R

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

=

=

3 2 1 z

t y

x

10. 過點A(1，0，2)且垂直於直線 2

−1

x =

2 +2

y =

1

−3

z 之平面方程式為 Ans： 2x + 2y + z = 4

解析：

平面 E 垂直直線 2

−1

x =

2 +2

y =

1

−3

z ，⇒ E 的法線向量為(2，2，1)，

A(1，0，2)在 E 上，E 之方程式為 2(x − 1) + 2(y − 0) + 1．(z − 2) = 0，得 2x + 2y + z = 4 11. 試求包含兩平行直線L1：

2 1

1 3

z y

x =

−

= + ，L2：

2 3 1

3

2 = +

= −

− y z

x 之平面方程式 _____

。

Ans： x + 13y + 5z + 13 = 0 解析：

取L₁上一點P(0，− 1，0)，L₂上一點Q(2，0，− 3)⇒ = (2，1，− 3)

兩平行直線之方向向量 = = (3，− 1，2)，則 ， 公垂向量 = (1，13，5)

∴ 包含L

____\

PQ

__\

A1 A^__\₂ A^__₁^\ A^__\₂ ^__A^\₁×^____PQ^\

1，L₂之平面方程式為x + 13y + 5z + 13 = 0 12. 試求包含A(4，3，1)及直線

2 1 1

2 2

1= − = −

− y z

x 之平面方程式為 。

Ans：. 2x − 6y + z + 9 = 0 解析：

取直線 L 上一點 P(1，2，1) ∴ = (3，1，0) 直線 L 之方向向量

____\

PA KA

= (2，1，2) ⇒ AK

\×

______

PA = (2，− 6，1)

∴ 包含 A 點及直線 L 之平面方程式為 2x − 6y + z + 9 = 0

13. 三直線L：

2

−1

x =

5

−3

y =

3 +4

z ，M：

3

−1

x =

4

−3

y =

1 4

− +

z ，N：

3

−4

x =

2 a y− =

1 b z−

相交於 一點，則數對(a，b) = 。

Ans： (5，− 3) 解析：

L、M、N 相交於一點(1，3，− 4)，所以(4 + 3t，a + 2t，b + t) = (1，3，4)

⇒ t = − 1，a = 5，b = − 3

14. 原點在直線L：

2

−3

x =

2 +1

y =

1

−5

z 上投影的坐標為 ______ ，對稱點坐標為 _________ 。

Ans： (1，− 3，4)；(2，− 6，8) 解析：

設原點 O 在 L：

2

−3

x =

2 +1

y =

1

−5

z 上的投影 A(3 + 2t，− 1 + 2t，5 + t)

則 OA⊥L ⇒ ⊥(2，2，1)

⇒ (2，2，1)．(3 + 2t，− 1 + 2t，5 + t) = 0

⇒ 2(3 + 2t) + 2(− 1 + 2t) + (5 + t) = 0 ⇒ t = − 1

∴ A(1，− 3，4)，設 O 的對稱點 B ⇒ A 為

____\

OA

OB 中點 ∴ B(2，− 6，8) （ ^\= 2 ）

____

OB

____\

OA

14. 設L：

4

−3

x =

5

−1

y =

1 +3

z 與

2 k x− =

3

−3

y =

1 k z+

兩直線相交於一點，若平面E包含L及M，

則(1)平面E方程式為 。(2)k = 。 Ans： (1)x − y + z = − 1 (2)1

解析：

L 之方向向量 = (4，5，1)，M 之方向向量 = (2，3，1)， × = (2，− 2，2) 設 E：x − y + z = a，又 L 上一點(3，1，− 3)在 E 上

∴ a = 3 − 1 − 3 = − 1，故平面 E 為 x − y + z = − 1 設 P(x，y，z)在 L、M 上，

__\

A1 A^__\₂ ^__A^\₁ A^__\₂

x = 3 + 4t = k + 2s……c y = 1 + 5t = k + 3s……d z = − 3 + t = − k + s……e d − c得 s = t − 2……f代入c得 k = 2t + 7……g

f、g代入e得 t = − 3 代入g得 k = 1 ∴ P(− 9，− 14，− 6)