新化高中 105 學年度第二學期第二次段考高二數學科 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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新化高中 105 學年度第二學期第二次段考高二數學科

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計分方式：(累計格數)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得分 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 54 58 62 答對格數 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

得分 66 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 一、單一選擇題

( )1. 若直線 2 3 2 5

: 2 7

x y z L x y z

+ + =

− − + =

 試問下列何者為此直線的方向向量？

(A) (0, 2, 3)− (B) (8, 6,1)− (C) (1, 2, 4) (D) ( 2, 4, 3)− − (E) ( 1, 2, 3)− ( )2. 設直線 3 1 2

: 1 2 2

x y z

L − = + = −

− ，試問下列哪一個平面與 L 平行？

(A)x−2y−2z= (B) 41 x+ + = (C) 6y z 13 x+2y+ = (D) 3z 9 x+2y+ = z 2 (E) 2x+ = y 5

( )3. 空間中兩直線 ₁ 4 2 1

: 3 1 2

x y z

L − = − = −

− ， ₂ 5 3 2

: 7 1 1

x y z

L − = − = +

− − ，交於一點 ( , , )P r s m ，試 求出 r s m+ + = ？

(A)3 (B)−6 (C)7 (D)− (E)以上皆非 1

( )4. 設

2 1 1 3 2 1 A

 

 

= − 

 

 

、 0 3 1

2 1 2

B  − 

=  − ，若

ij 3 3

AB C c

  ×

= =   ，請問c¹¹+c²²+c³³ = ？

(A)− (B)6 (C)13 (D) 42 − (E) 5−

( )5. 下列選項中的矩陣何者經過列運算後可化成增廣矩陣

3 2 1 1 0 1 1 5 0 0 1 2

 − 

 

 

？

(A)

2 4 1 12 3 3 1 4 2 4 1 12

 

 − 

 

 

(B)

4 2 1 0 1 1 1 0 5 1 1 0

−

 

 − 

 

 

(C)

1 2 3 11 1 0 1 5

2 1 3 11

 

 − 

 

− 

 

(D)

1 1 2 2 2 1 1 3

2 1 3 8

− −

 

 − 

 

− 

 

(E)

6 4 1 4 3 1 2 4 3 2 0 3

 − 

 − − 

 

 

二、多重選擇題

( )6. 令A ，B及C為二階方陣，O為 2 2× 階零矩陣，I 為二階單位方陣，選出正確的選項 (A)若A 不是零矩陣，則乘法反方陣A⁻¹必存在 (B)若 AB= ，則I A B² = A

(C)若AB=O，則A=O或B=O (D)若 det( )A ≠ ，且0 AB= AC，則B=C (E)若AB= AC，則B=C

( )7. 若二階方陣A 與B均為轉移矩陣，下列各選項何者亦為轉移矩陣？

(A)1

( )

2 A+B (B)AB (C)A³ (D)1

(2 )

3 A+B (E)A⁻¹

(2)

( )8. 下列有關聯立方程式

5

2 3

3 6 x y z

x y z a x y bz c

+ − =

 − + =

 + + =



( , ,a b c∈R)請問下列敘述何者正確？

(A)若此聯立方程式有無限多解，則a+ =c 25 (B)若此聯立方程式恰有一解，則b≠ −8 (C)若此聯立方程式恰有一解，則a+ =c 25 (D)若此聯立方程式無解，則b= −8

(E)若a+ =c 25，則此聯立方程式必定有解 ( )9. 實係數二階方陣U_{2 2}_× 滿足 4 3

5 2

U   −

   = −

   ， 3 2

4 1

U   

   − = −

   ，請選出正確的選項？

(A)U 的行列式值為 1 (B)U² = −12U− (C)I ¹ 5 28 3 17

U⁻  

= − −  (D) 2 7

3 4

U   − −

   =

    (E)

[

^{1 1}

]

^U ^{= −}

[

⁹ ⁻⁷

]

三、填充題

1. 若兩平面E₁:x+ − + = 與y z 5 0 E₂: 2x− −y 3z+ = 之交線 :1 0

3 x a y b z

L l m

− = − = ，試問 ( , , , )a b l m = ___________

2. 試求出直線 6 1 7

: 3 1 2

x y z

L + = + = + 與平面E x: +3y−2z= 的交點座標為___________ 11

3. 空間中的平面 F 包含兩平行直線 ₁ 2 :1 2 3

x y z

L = − =

− 與 ₂ 3 1

: 1 2 3

x y z

L + = = +

− − ，請寫出平面 F 的

方程式___________

4. 試求出兩平行線 ₁ 1 1 : 2 1 2

x y z

L − = = + 與 ₂

2

: 2

1 2 x t

L y t

z t

 =

 = − +

 = +



t∈ 之間的距離___________ R

5. 已知矩陣 13 8 7 7 K − 

= − − 且 12 7 8 5 T  − 

=  

 試求出(K² +T²)+(KT+TK)= ___________

6. 設矩陣 4 5 2 3

M  

= − − 且M²+xM +yI₂ =O₂，其中 ,x y 均為實數，I 與₂ O 分別為二階單位矩陣 ₂ 與零矩陣，則(1) ( , )x y = ___________ (2)2M²−M² −3M −2I = ___________

7. 若矩陣

1 2

2 3

m m m

A m

 + + 

=  + 的反矩陣不存在，求m之值為___________

(3)

8. 考慮空間中的一平面E: 2x− +y 3z+25= 及一點 (3,9,2)0 A ，若點 A 對平面 E 的投影點為 H ，請 問 H 的座標為___________

9. 快樂水族館所販賣的孔雀魚只提供三種採購方式：一次買 5 隻每隻價格 10 元，一次買 15 隻每隻價格 8 元，一次買 25 隻每隻價格為 6 元，若今日的營業額為 1570 元，共 17 顧客；且共賣出 205 隻孔雀魚，假設一次購買 5 隻魚有x人、一次購買 15 隻魚有 y 人、一次購買 25 隻魚有 z 人。

試求出( , , )x y z =___________

10.試求出點 ( 7, 1, 2)P − − 對於直線 1 3 4

: 1 2 1

x y z

L + = − = −

− 的投影點座標為___________

11.設 5 3 2 1 P  

=  

 ， 8 3

10 3

T  

= − − 且P DP⁻¹ =T。請問：D⁵ =___________

12.考慮三平面E₁: 3x+ay− = 、z b E₂: 2x+2y+ = 、z 1 E₃:x− −y 2z= ，若三平面交於一直線， 3 試求出 ( , )a b = ___________

13.某地區有甲、乙兩間瓦斯工廠，目前甲工廠的客戶占瓦斯總用戶的 60%，而乙工廠的客戶占瓦斯總用戶的 40%，經市場調查得知：

目前為甲工廠的客戶，有 70%明年會繼續與甲工廠續約，而有 30%明年會改為與乙工廠續約；

目前為乙工廠的客戶，有 60%明年會繼續與乙工廠續約，而有 40%明年會改為與甲工廠續約。

若瓦斯總用戶人數不變，試問長期而言，甲工廠的用戶的市占率為___________ (請將答案用分數表示)

14.右圖為一正立方體，其中 4 8 4

: 2 10 7

x y z

AC + = + = −

− −



_、

1 6 3

: 3 2 2

x y z

HF + = − = −



− ，試求出此正立方體體積為___________

15.小鐸於地面( xy 平面)上從 ( 2,1, 0)A − 點朝 (0,0,0)O 移動；若愛神邱比特於空中的點 (12, 2,10)B 察覺在地面上 ( 2,1,0)A − 的小鐸後立刻發射愛之箭，並且愛之箭成功命中小鐸，已知小鐸與愛之箭均為等速直線前進，且愛之箭的速度是小鐸速度的兩倍。試求出命中點的座標= ___________

H

A

C F

(4)