通過物理方法解決數學問題
于安邦
一、 引言
眾所皆知數學領域中的微積分是因應實際的物理問題, 進而發展出來的一門學問, 主要探 討無限大與充分小這兩個抽象的相關概念。 物理學當中確實有很多現象可以通過數學模型來加 以解釋, 例如單擺的週期公式可以通過常微分方程來設定模型; 以初速 v0 斜向拋擲一個物體 (假設初速 v0 與水平線的夾角為 θ 並且不計空氣阻力), 可以通過二次曲線當中的拋物線 h = (v0sin θ)t − 1
2gt2 來建立模型, 其中 h 是拋擲經過時間 t 秒後物體的高度, 而 g 是重力 加速度。 因此建立適當的假設與模型, 以數學的方程或函數關係來解釋物理現象, 是很容易見到 一種數量分析方法。 數學的本質就是為了要解決實際遇到的問題, 是以大多數的物理現象或問 題, 數學方法大抵來說都可以充分發揮作用。 那麼反過來說, 數學的問題能否通過熟知的物理現 象或知識來加以解決呢 ? 這個問題似乎有很大的空間可以發揮, 也是值得深思的一個好問題, 下面我們就是通過既有的物理知識來解決一些數學問題。
圖一: 三角形及其重心
二、 平面幾何關於面積比的問題
三角形當中, 三條中線 (頂點到對應邊中點的連 線段) 會交於一點 G, 這一個點 G 就是所謂的重心, 同時重心把三條中線長皆分割成 2 : 1 的兩段。 平面 上給定任意的 △ABC, 如右圖所示, 傳統的證明方 法, 較為常見的方法有向量的方法, 或是做輔助線, 延 長線段 GM 至點 Q 使得 GM = MQ, 再根據四 邊形 GBQC 是一個平行四邊形而得到論證。 若以物
理的方法來分析, 我們可以假設 △ABC 的重量是均勻分布的, 並且放置在一個均勻的重力場 下。 現在分別在三個頂點各懸掛一個 1 克重的砝碼, 那麼當達成靜力平衡時, 所有的合力矩必 須等於 0。 由於 L, M, N 是三個邊上的中點, 所以三個邊上是呈現靜力平衡狀態, 此時相當於 三個中點 L, M, N 處各懸掛 1 個 2 克重的砝碼。 因為整個系統的總重量是 3 克重, 注意到線 段 CL, 點 L 處懸掛一個 2 克重的砝碼, 而點 C 處懸掛一個 1 克重的砝碼, 這兩個點的總重 量是 3 克重, 所以重心 G 必定落在線段 CL 上。 同理分析線段 AM 與 BN , 也會得到重心
G 必定落在線段 AM 與 BN 上, 這一個事實便說明了重心 G 即為三線段 AM 、 BN 、 CL 共同的交點, 也就是三條中線 AM 、 BN 、 CL 同時相交於點 G。 另外一方面, 根據線段 AM 上的兩個端點所懸掛的砝碼重量, 即可得知 AG : GM = 1 : 1
2 = 2 : 1, 這裡係利用力矩 (torque) = 作用力大小 × 力臂長。 同理亦有 BG : GN = 2 : 1, CG : GL = 2 : 1。
圖二: 面積比值問題
這樣的想法可以解決數學競賽當中常見到的 一類問題, 我們予以一般化這一個問題。 平面上任 意給定三角形 ABC, 已知 D, E, F 分別在線段 BC、 AC、 AB 上, 並且 AF : F B = p : 1, BD : DC = q : 1, CE : EA = r : 1。 這裡 p, q, r 為三個正實數, 那麼 △P QR : △ABC 之 比值為何 ? 請同時參照左圖 (二)。
同樣假設 △ABC 的重量是均勻分布的, 並 且放置在一個均勻的重力場下。 如果於點 A 處懸 掛一個 1 克重的砝碼, 當線段 AB 達到靜力平衡時, 頂點 B 處應懸掛一個 p 克重的砝碼; 同 理當線段 BC 欲達到靜力平衡時, 頂點 C 處應懸掛一個 pq 克重的砝碼。 此時整個系統的總 重量為 (1 + p + pq) 克重, 而支點 F 處相當於懸掛一個 (p + 1) 克重的砝碼, 支點 D 處相當 於懸掛一個 (p + pq) 克重的砝碼。 注意到線段 AD, 兩個端點上的重量之和為 (1 + p + pq) 克重, 所以 △ABC 的重心必定落在線段 AD 上; 另外再注意到線段 CF , 兩個端點上的重量 之總和為 (1 + p + pq) 克重, 所以 △ABC 的重心必定落在線段 CF 上。 故 △ABC 的重心 即 AD 與 CF 的交點 P , 且
AP : P D =1 : 1
p + pq = (pq + p) : 1, CP : P F = 1
pq : 1
1 + p = (1 + p) : pq, 因此有
△ACP = 1 + p
pq + p + 1△ACF = p + 1
pq + p + 1 · p
p + 1△ABC
= p
pq + p + 1△ABC.
利用類似的分析方法同理亦可得出
△ABQ = q
qr + q + 1△ABC,
△BCR = r
pr + r + 1△ABC,
於是
△P QR =△ABC − △ACP − △ABQ − △BCR
=
1 − p
pq + p + 1 − q
qr + q + 1 − r pr + r + 1
△ABC
= (pqr − 1)2
(pq + p + 1)(qr + q + 1)(pr + r + 1)△ABC.
特別地當 pqr = 1 時 ⇔ △P QR = 0 ⇔ 三線段 AD、 BE、 CF 交於同一點。 通過上面的 計算過程可以看出, 平面上給定線段比例欲求算面積比例的這一類問題, 通過物理學上的『槓桿 (lever) 原理』 來求解, 整個計算過程其實也不會太過於繁複。 另一方面, 初等微積分的練習題 確實有求算形心 (centroid) 坐標的相關問題, 有一些特殊圖形的形心位置根據對稱性就很容易 直接看出, 並非一定要通過積分來求算形心坐標。
三、 前 n 項完全平方數的總和
圖三: 利用重心坐標求總和
如圖 (三) 所示, 假設平面上的直角坐標系 上有 n(n + 1)
2 個小球, 每一個小球的重量都是 1 公克重, 把它們排列成如左圖的等邊三角形, 其中頂點的坐標位於 (0, 1), 那麼我們的問題是 這一個三角形重心的 y 坐標應為何 ? 基本的假 設如同先前所述, 由於等邊三角形關於內角的角 平分線為軸對稱圖形, 所以重心的 y 坐標必定 落在內角分角線上並且把相對應的中線長分割 為 2:1 的兩條線段, 故重心的坐標 ¯y 根據內分 點公式就可以求出為 ¯y = 2n + 1
3 。 另一方面, 重心的坐標也可以通過所有小球的 y 坐標來求算。 因此 ¯y = 1 · 1 + 2 · 2 + · · · + n · n
1 + 2 + · · · + n = 12+ 22+ · · · + n2
n(n + 1) 2
, 然而這兩種方法計算所求得的重心坐標 ¯y 應該要相等, 於是我們便可以
得到 12+ 22+ · · · + n2 n(n + 1)
2
= 2n + 1
3 , 從而有 12+ 22+ · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 。這裡 是通過重心坐標反過來求算某一個特定級數的前 n 項總和問題。
四、 平面幾何中的Pick 面積定理
假設平面上的直角坐標系有一個簡單格點多邊形 P (simple lattice polygon), 也就是平 面上的一個簡單封閉的並且頂點的坐標皆為整數值的多邊形。 假設 P 的邊界上有 b 個格子點, 而 P 的內部有 i 個格子點, 那麼 Pick 定理告訴我們, 這個簡單格點多邊形 P 的面積 µ(P ) 等 於 (i+b
2−1)。 ㄧ般而言, 這個定理的證明大多是通過分割以及圖形三角化 (triangularization) 的想法來做為論證的。 想像整個歐式平面 R2 是一個無窮大的鐵板, 並且假設於時間 t = 0 時, 平面上的每一個格子點皆有 1 單位的熱能。 根據物理學熱傳導的概念, 於時間 t = ∞ 最終所 有的這些熱能皆會以單位密度均勻地分布在整個平面上, 特別地這時包含於 P 以內的總熱能 為 µ(P )。 現在考慮 P 邊界上相鄰的任意連續兩個頂點, 這兩個頂點連接所形成的線段記為 e, 那麼線段 e 的中點 M 顯然是平面格點的一個對稱中心。 因此在任何一個時刻, 熱流關於這一 個中點 M, 線段 e 熱能的流進與流出之總和為 0, 也就是淨流入的總熱量值恆等於 0。 我們可 以賦予 P 一個方向, 以逆時針方向做為 P 的正向, 如此 P 的內部相當於我們沿著邊界行走時 的左手邊區域。 上述的線段 e 淨總熱量值恆等於 0, 也就是線段 e 左側流進了多少熱能, 那麼 其右側就流出了等量的熱能。 因此 P 的熱能來自於兩個部分 : 其一是來自於它自身內部 i 個 格點的全部熱能; 另外一部分則是邊界上的 b 個格點, 它們各自在某一角度範圍內所傳入熱能。
根據邊界上的 b 個格點可形成一個內角和為 (b − 2) · 180◦ 的凸 b 邊形, 又凸多邊形的外角和 恆等於 360◦, 於是這 b 個格點所貢獻的熱能一共有 (b − 2) · 180
360 = b
2− 1。 把這兩個部分進 行加總, 即有 µ(P ) = i + b
2− 1。
五、 平面向量關係式與面積比
假設平面上給定任意一個 △ABC, 點 P 是平面上某一點但不在 △ABC 的邊界上, 若存 在非零的實數 m, n, l 滿足 m−→
P A + n−−→
P B + l−→
P C =−→
0 , 則有 △P BC : △P CA : △P AB =
|m| : |n| : |l|。 而這一個定理的逆定理也是成立的, 因此只要知道面積比例關係, 反過來也可以 得到相對應的向量關係式。 事實上就 m, n, l 的正負情形, 我們只需要討論三者皆為正實數以及 兩正一負的情形即可, 這是因為三者都是負實數或兩負一正的情形時, 我們只要在向量關係式 等量乘上純量 (−1), 那麼就會變為三個正實數與兩正一負的情形。 再者假設 l < 0 而其餘兩 者是正實數, 此時有 m−→
P A + n−−→
P B = −l−→
P C, 注意到這時 −l > 0。 那麼通過向量的平行四 邊形加法可得知, m−→
P A 與 n−−→
P B 形成這一個平行四邊形的兩個鄰邊, 並且對角線上的向量就 是 −l−→
P C, 所以不難發現此時點 C 在 △P AB 的外部, 也等價於點 P 在 △ABC 的外部, 至 於另外兩種情形也同理可推出點 P 會落在 △ABC 的外部。 針對係數為兩正一負的情形, 可 以通過變數轉換假設 l−→
P C = (−l′)−→
P C, 由 l < 0 可推知 l′ > 0, 那麼此時的向量關係式變為 m−→
P A + n−−→
P B + l′(−−→
P C) =−→
0 , 其中 (−−→
P C) 是向量−→
P C 的逆向量或反向量。 所以這一個
圖四: 合力為零向量−→ 0 與 拉密定理
證明, 不失其一般性, 我們就可以只分析三個正實數的情形, 此時點 P 會落在 △ABC 的內部。 假設 m−→
P A = −−→
P A′, n−−→
P B = −−→
P B′, l−→
P C = −−→
P C′, 於是向量關係式可以改寫為
−−→P A′ +−−→
P B′+−−→
P C′ =−→
0 ⇔ 點 P 是 △A′B′C′ 的重心, 或 者根據物理學上的拉密定理 (Lami’s Theorem), 可以想像有 三個力 −→
F1 =−−→
P A′、 −→
F2 =−−→
P B′、 −→
F3 =−−→
P C′, 它們三者的合力 等於−→
0 , 亦即此時呈現靜力平衡的狀態, 如左圖(四) 所示。 拉 密定理告訴我們
|−→ F1|
sin θ1 = |−→ F2|
sin θ2 = |−→ F3| sin θ3,
事實上這也等價於三角形的正弦定理, 主要係根據這三個向量可以形成一個頭尾相接的封閉三 角形。 那麼根據拉密定理可以得知
△P B′C′ : △P C′A′ : △P A′B′ =1 2|−→
F2||−→
F3| sin θ1 : 1 2|−→
F1||−→
F3| sin θ2 : 1 2|−→
F1||−→ F2| sin θ3
=1 : 1 : 1.
又上面這三個三角形面積的連比也會等於 1
2nl|−−→
P B||−→
P C| sin θ1 : 1
2lm|−→
P C||−→
P A| sin θ2 : 1
2mn|−→
P A||−−→
P B| sin θ3, 而這又等價於 nl△P BC : lm△P CA : mn△P AB, 最後我們就可以得到
△P BC : △P CA : △P AB
=1 2|−−→
P B||−→
P C| sin θ1 : 1 2|−→
P C||−→
P A| sin θ2 : 1 2|−→
P A||−−→
P B| sin θ3
=△P B′C′
nl : △P C′A′
lm : △P A′B′
mn = m : n : l.
平面幾何有著這樣的一個問題 :
『坐標平面上給定一個△ABC, 那麼滿足△P AB = △P BC = △P CA的點 P 一共有幾個 ?』
事實上通過這一個定理, 當 l = m = n = 1 時, 此時這一個點正是 △ABC 的重心。 而當 (l, m, n) = (1, 1, −1)、 (1, −1, 1)、 (−1, 1, 1), 也就是係數為兩正一負的情形一共有三種可能, 於是立即可以得知這樣的點 P 在平面上一共會有 4 個。 這一個定理的最大優勢, 除了存在性 以外, 同時也能告訴我們滿足條件的點位於平面上的相對位置為何。 特別地當點 P 是 △ABC 的外心 O 時, 那麼不論 △ABC 是銳角、 直角、 鈍角三角形的哪一種, 恆有面積關係式
△OBC
| sin 2A| = △OCA
| sin 2B| = △OAB
| sin 2C|.
倘若出現分母為 0 的情形時, 我們就定義相對應的分子也為 0, 並且於連比的等式當中把這一項 剔除掉, 而這種情形只會發生在直角三角形, 此時外心 O 落在斜邊的中點上, 面積關係式中會有 一項為 0。 對於銳角三角形與鈍角三角形, 恆有 (sin 2A)−→
OA + (sin 2B)−−→
OB + (sin 2C)−→
− OC =
→0 , 只要出現兩正一負的係數時, 我們就可以得知外心 O 落在 △ABC 的外部, 而這也等價於
△ABC 是鈍角三角形。 對於直角三角形的情形, 不妨假設 ∠A = 90◦, 於是有 ∠B + ∠C = 90◦, 則 ∠B 與 ∠C 必為銳角且滿足 sin B = cos C > 0 以及 cos B = sin C > 0, 據此我們 就可以推導出
sin 2B : sin 2C = (2 sin B cos B) : (2 sin C cos C) = 1 : 1.
此時上述的向量關係式為 0−→
OA +−−→
OB +−→
OC = −→
0 , 即 −−→
OB = −−→
OC, 從而可以得知點 O 落 在斜邊 BC 上的中點, 是以向量關係式
(sin 2A)−→
OA + (sin 2B)−−→
OB + (sin 2C)−→
OC =−→ 0
對於任意形狀的三角形都是成立的! 其中當某一項係數為 0 時, 那麼所對應的三角形面積也是 0, 此時也容易看出某一個內角等於直角。
至於內心 I 的結論甚是容易, 由於內心 I 必定落在 △ABC 的內部, 又面積關係式
△IBC
a = △ICA
b = △IAB c
恆成立。 (這裡與ㄧ般符號使用上的習慣相同, 我們定義 BC = a, CA = b, AB = c 分別是
△ABC 三個頂點所對應的邊長) 那麼向量關係式 a−→
IA + b−→
IB + c−→
IC =−→
0 , 對於任意三角形 的內心 I 都是成立的。 至於旁心的向量關係式, 由於一個三角形的旁心一共會有三個, 而且必 定落在 △ABC 的外部, 此時只需要把上面內心的向量關係式, 其中某一項的係數加上一個負 號, 即可得到相對應的旁心關係式。 例如當 −a−−→
IAA + b−−→
IAB + c−−→
IAC = −→
0 , 此時該點 IA 即為
∠B 與 ∠C 外角分角線的交點, 以 IA 為圓心並且半徑為 rA = △ABC
p − a 的旁切圓會與 BC 邊相切, 這裡的 p = a + b + c
2 , 而對於另外兩個旁心所對應的結論則依此類推。
關於垂心的結論就稍微麻煩了一點, 當 △ABC 是銳角三角形時, 此時垂心 H 會落在
△ABC 的內部, 由四邊形 HDCE 對角互補可得知 ∠AHE = 180◦− ∠EHD = ∠C。 注 意到直角 △AHE 中, 我們有
AH = AE csc C = (AB cos A) csc C = c sin C
cos A = 2R cos A,
其中 R 為 △ABC 的外接圓半徑, 如圖 (五) 所示; 同理亦有 BH = 2R cos B 以及 CH = 2R cos C, 則銳角 △ABC 中, 可以將
AH
cos A = BH
cos B = CH
cos C = 2R
圖五: 不同形狀三角形所對應的垂心 H
這一個關係式視為『廣義的正弦定理』。 當 △ABC 是直角三角形時, 此時垂心 H 會落在斜邊 的對應頂點上, 亦即 H 就是兩股的交點; 而當 △ABC 是鈍角三角形時, 此時垂心 H 會落在
△ABC 的外部, 我們不妨假設 ∠A 為鈍角, 於是可以推出
AE = AB cos(180◦− A) = (−c) cos A = −2R sin C cos A = 2R sin C| cos A|.
再注意到 C, H, E, D 這四個點共圓, ∠AHE = ∠ACB, 於是有 AE = AH sin C, 從而得 出 AH = 2R| cos A|, 同理也有 BH = 2R| cos B| 以及 CH = 2R| cos C|。 因此我們可以 把上面得到的關係式表示為
AH
| cos A| = BH
| cos B| = CH
| cos C| = 2R,
倘若分母出現 0 時, 則定義相對應的分子為 0, 同時該項於上述關係式當中剔除, 因而通過 這樣的定義, 不論是哪一種形狀的三角形, 這一個關係式得以成立。 最後注意到在推導的過程當 中, 可以進一步得出 △HAB = 2R2| cos A cos B sin C|, 同理也會有 △HBC = 2R2| cos B cos C sin A| 以及 △HCA = 2R2| cos C cos A sin B|, 所以有 △HBC : △HCA : △HAB
= | tan A| : | tan B| : | tan C|, 倘若連比關係式當中的某一項無定義時, 通過三角函數 的定義便可以推知 : △ABC 的形狀為直角三角形。 而等式 (tan A)−−→
HA + (tan B)−−→
HB + (tan C)−−→
HC = −→
0 , 這一個向量關係式對於銳角三角形與鈍角三角形皆適用。 如果出現兩正一 負的係數時, 即可得知 △ABC 為鈍角三角形。 值得一提的是當 △ABC 為銳角三角形時, 此 時通過 A+B = π −C, 取正切函數並且根據和角公式即有恆等式 : tan A+tan B +tan C = tan A tan B tan C, 再利用上面的面積關係式, 就可以推出下面三個等式:
△HBC = tan A
tan A + tan B + tan C△ABC = 1
tan B tan C△ABC;
△HCA = tan B
tan A + tan B + tan C△ABC = 1
tan C tan A△ABC;
△HAB = tan C
tan A + tan B + tan C△ABC = 1
tan A tan B△ABC.
例如當給定△ABC且已知tan A = 1, tan B = 2, tan C = 3, 此時根據上面三個等式立即可知
△HBC
△ABC = 1
6, △HCA
△ABC = 1
3, △HAB
△ABC = 1 2, 並且易見 ∠A = 45◦ 與 ∠B + ∠C = 135◦ (其中 ∠B ≈ 63◦ 而 ∠C ≈ 72◦)。
圖六: 點 N 為 △ABC 的界心
最後我們也附帶提一下平面上一個 △ABC 的『界心』, 關於這一個點的性質介紹, ㄧ般而言 是比較少見到的, 請同時參照左圖 (六)。 沿用 先前所使用的符號, △ABC 的周長可以表示為 2p, 其中 p 表示周長之半。 如左圖所示, 假設點 TA落在線段 BC 上, 並且滿足 AB + BTA= p = AC + CTA, 這意味著當我們從頂點 A 逆 時針與順時針沿著 △ABC 的邊界上行走, 一 直走到 BC 線段上的某一點 TA, 從頂點 A 至 這一個點 TA 順時針與逆時針的路徑總長恰好 被平分為周長之半, 此時這一個點 TA稱為由頂 點 A 所對應的周界中點; 類似地可以分別定義 頂點 B 與 C 所對應的周界中點 TB以及 TC。 根據定義顯然有 BTA= p−AB = p−c > 0, 而 且 CTA = p−AC = p−b > 0, 由上述周界之半的等式關係便可以得知三個邊上的周界中點都 是唯一存在的, 並且滿足 ATB = p−c = BTA, CTB = p−a = BTC, ATC = p−b = CTA。 另外我們把頂點與對應邊上的周界中點以線段連接, 則線段 ATA、 BTB、 CTC 可以稱為這一 個 △ABC 的三條『平分界線段』 或 『平分周線段』。 通過簡單的計算我們有
ATB
TBC · CTA
TAB · BTC
TCA = p − c
p − a· p − b
p − c · p − a p − b = 1,
於是根據 Ceva 逆定理便可以得知 ATA、 BTB、 CTC 這三條線段交於同一個點 N。 這個點 N 是德國數學家 Christian Heinrich von Nagel 於西元 1836 年所提出, 因此也被稱為『奈 格爾點 (Nagel point)』 或者稱為『第一界心』。 再者由
△NBA
△NBC = ATB
TBC = p − c p − a, 同理亦有
△NAB
△NAC =p − c
p − b 與 △NCA
△NCB = p − b p − a,
於是我們可以得到 △NBC : △NCA : △NAB = (p − a) : (p − b) : (p − c), 根據定 義容易看出界心 N 必定落在 △ABC 的內部, 最後再由面積比與向量的關係式就可以推導出
(p − a)−−→
NA + (p − b)−−→
NB + (p − c)−−→
NC =−→
0 。 事實上圖(六) 當中三個邊上的周界中點 TA、 TB、 TC, 正好就是三個旁切圓分別與三個邊 BC、 AC、 AB 相切所對應的切點。
六、 光的反射以及折射定律
物理領域光學中的反射定律, 係指光線在同一介質中遇到屏蔽物而反彈, 此時有入射角等 於反射角並且入射線、 法線、 反射線這三條直線皆包含於同一個平面, 這也等價於光線通過某一 個點 A 行進時遇到屏蔽物後反彈, 反射後經過點 B, 假設入射點 (也是反射點) 為 P , 於是反 射定律也可以等價地敘述為 : 光所行進的路徑總長 P A + P B 有最小值。 至於折射定律則是光 線在兩種不同的介質中運動時, 從其中一種介質穿過另外一種介質時, 會遵循所謂的折射定律, 亦即著名的 『Snell’s Law 』。 此時假設光線在第一種介質行經過點 A, 折射點為點 P , 穿過界 面後在第二介質行經過點 B, 由於光線在兩種介質時以不同的速度行進, 假設在兩種介質中光 的速度分別是 v1 與 v2, 通過簡單的微積分計算, 容易得到折射時並非路徑總長 P A + P B 為 最小, 而是行進時間 P A
v1 +P B
v2 有最小值。
圖七: Fermat point F
據說 17 世紀時, Fermat 曾經向義大利的物理學家身兼數學家的 Torricelli 提出這樣的 一個問題: 『給定銳角 △ABC, 於三角形內部求出一點 P 使得P A+P B +P C為最小』。 不 久後 Torricelli 證明了這樣的點 P 是存在且唯一的, 並且滿足條件 ∠AP B = ∠BP C =
∠CP A = 120◦。請同時參照圖 (七)。 同時他還指出, 分別以三邊長向外部做正三角形
△ABC′、 △BCA′、 △CAB′, 那麼有 AA′、 BB′、 CC′ 三條線段同時交於一點 P , 這一個 點 P 即為所求。 這一個點後來被稱為 Fermat 點, 常以符號 F 來表示這一個點。 ㄧ般較為初 等的幾何證明方法, 是考慮 △ABC 內部任意一點 P , 將 △AP B 以點 B 為旋轉中心逆時 針旋轉 60◦, 假設得到對應的三角形為 △C′P′B, 顯然此時的 △BP P′ 是一個正三角形。 又
P A = P′C′, 於是 P A + P B + P C = P′C′ + P′P + P C, 根據上圖 (七) 容易看出當 P = F 以及 P′ = F′ 時, P A + P B + P C 有最小值為 CC′。 注意到點 C′ 的位置與點 P 是無關的, 這是因為 △C′AB 始終為一個正三角形。 而這一個最小值是可以取得的, 當且僅當 C′, P′, P, C 這四個點共線時。 如果點 P 落在線段 CC′ 並且滿足 ∠AP B = 120◦ 時, 那麼 旋轉過後的對應角 ∠C′P′B = 120◦, 注意到此時的 ∠C′P′B + ∠BP′P = 180◦ 恰好為一個 平角, 這也等價於 C′, P′, P, C 這四個點是共線的。 此外通過另外兩邊的對稱性, 同理也會有
∠BF C = 120◦ = ∠CF A, 並且點 F 也會落在線段 AA′ 以及 BB′ 上, 這就說明了為什麼 三條線段 AA′、 BB′、 CC′ 同時交於 Fermat 點這一點 F 。
如果以物理學中的光學性質來分析這一個問題, 我們可以這樣思考 : 假定點 F 與點 A 的 線段長 AF 為定值時, 那麼此時點 F 所形成軌跡是一個以點 A 為圓心的圓。 當 BF + F C達 到最小值時 (請參照下圖), 路徑 B → F → C 必定符合光傳播的性質, 於入射點或反射點 F
圖八
處滿足入射角等於反射角, 也就是說 AF 的延長線 (亦即法線) 會是 ∠BF C 的角平分線。 通 過同樣的論述與對稱性, 當固定線段 BF 的長度時, 欲使 AF + F C 達到最小值時, BF 的 延長線也應該平分 ∠AF C。 同理亦有 CF 的延長線也應該平分 ∠AF B。 綜上當且僅當上面 的三個角平分關係成立時, AF + BF + CF 才得以取到最小值。 倘若其中至少有一個角平分 關係不成立時, 那麼我們可以進一步調整它們之間的角度, 使得 AF + BF + CF 變得更小 或是再優化。 最後根據對頂角相等, 從圖 (八) 的右上方圖形, 就可以看出 AA′、 BB′、 CC′ 三條線段同時交於一點 F , 並且形成的六個角當中, 每一個角度大小都是 60◦。 因此我們就得 到了前面的論述 : 存在點 F 使得 AF + BF + CF 有最小值, 此時的點 F 必須滿足條件
∠AF B = ∠BF C = ∠CF A = 120◦。
七、 一個小結論
以上的物理方法, 所解決的數學問題, 不難看出大多與 Lebesque 測度是相關的, 例如線 段長度是一維空間當中的 Lebesque 測度, 而面積是二維空間當中的 Lebesque 測度, 因此某
一些三維空間中的幾何圖形之體積求算的方法, 也可以通過類似的物理分析思想來解決。 另外 許多的光學儀器或機械設備, 於製作的過程當中, 確實滿足某些特定的幾何學性質, 這也是為什 麼路徑總長問題, 往往與光學的領域密不可分, 並且產生極值時, 也同時會伴隨一定程度的『對 稱性』。 值得說明的一點是, 如果以非退化的二次曲線或圓錐曲線之光學性質做為說明, 可以看 出數學性質多數從切線相關的特徵著手; 然而物理學中的光學性質卻是經常從法線相關的性質 來進行分析的。 前面所介紹的一些問題, 有一些是頭一次看到這種方式的論證, 有一些是自己進 一步推論而得到。 基本上這一些分析方法的思想, 主要源自於林琦焜先生所編纂的 《從量綱看 世界》, 著實令人有耳目一新之感 !
