簡介圖形著色問題

簡介圖形著色問題

陳伯亮

圖形著色的問題裡最為人所津津樂道 的, 莫過於“四色問題”; 四色問題 是在 1852 年由 F. Guthrie 所提出, 一直到 1976 年 才由 K. Appel 和 W. Haken 兩位數學家 合力解決。 以往的數學問題其證明方式都是 透過嚴密的邏輯推論, 找出重要而關鍵的性 質再給予適當的證明。 但四色問題的證明過 程, 卻是由數理邏輯歸納出一些性質, 而留下 來尚未解決的部份, 卻是透過電子計算機經 過長時間且繁雜的計算所得到的證明, 令人 只看到結果而不明所以然, 因而在數學界引 起軒然大波。 其中有人質疑這個四色問題證 明的正確性, 因為要驗證他們的證明是無誤, 得花上好幾年的光陰; 也有人根本不承認四 色問題被解決了。 到目前為止, 大部份數學界 人士都對四色問題已解決的這個結果尚能接 受, 但絕不滿意。 而一致認為四色問題仍有再 研究的必要與價值。

圖形著色有那些方式呢? 有對頂點給 予塗色的點著色(vertex coloring); 有對頂 點塗色並要求每個顏色最多只塗 m 個頂點 的有限制點著色(m-bounded coloring); 也 有不僅要求點著色, 更要求每個顏色所塗的 頂點數要很平均的均等著色(equitable col-

oring); 有對邊塗顏色的邊著色(edge color- ing); 甚而有對頂點及邊一起塗顏色的全著 色(total coloring); 有為了解決頻道分配問 題, 而考慮的 T 著色(T-coloring) 等等· · ·。

此外, 尚有許多為了解決特定的實際問題, 而 考慮的特殊著色方式。

一. 點著色

一個圖形的點著色, 乃是在圖形的每個 頂點塗上一個顏色, 但要滿足下面的限制: 兩 個頂點若有邊連接則需塗不同的顏色。 給定 一個圖形, 最簡單明瞭的點著色就是每個頂 點都塗不同的顏色。 但這種著色方式也太單 純了, 因為每個圖形都用與頂點數相同的顏 色去著色即可, 以致於失去了研究意義。 若一 個圖形有一種塗 k 個顏色的點著色, 且 k 小 於其頂點個數(order), 則必有某顏色塗兩個 頂點或兩個以上頂點, 則將其中一個頂點改 塗另一種新的顏色, 即可獲得一個塗 k + 1 個顏色的點著色。 歸納以上的現象, 則我們可 看出兩件事實: 第一件, 每個圖形一定有一種 點著色。 第二件, 一個圖形的點著色所使用的 顏色數只要比最少顏色數大即可。 因而我們 知道每一圖形都有點著色, 所需研究的是如

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何著色可得最少顏色數的點著色, 而它的最 少顏色數是多少?

若圖形 G 有一種點著色, 而其使用的 顏色數小於或等於 k, 則稱圖形 G 是可 k- 著色(k-colorable)。 是以圖形 G 是可 k-著 色, 則必也是可 (k + 1)-著色。 我們再定義一 個圖形 G 的點著色數(chromatic number), χ(G), 為圖形 G 的點著色中最少需使用的顏 色數。 因此圖形 G 是可 k-著色的充要條件是 k ≥ χ(G)。

“四色問題”也就是問說是否每一個平面 圖形 (planar graph) 的點著色數都不會超 過 4? (有關四色問題更詳盡的敘述與探討可 見參考資料一及二。) 光是一個四色問題, 也 就是一個求平面圖形的點著色數問題, 就花 了一百二十四年的時間, 而所得到的成果, 卻 是只知答案卻不知其所以然; 而平面圖形只 不過是眾多圖形裡的一小支而已。 對任意圖 形求其點著色數的困難度, 相信大家都有相 當程度的瞭解。 決定一個圖形的點著色數是 否小於或等於 3 這個問題早在 1976 年即已 證明是 NP-complete (請見參考資料四)。 而 筆者個人則相信要決定任意圖形的著色數這 個問題的困難度為人力所不能及, 數學家唯 有對一些自然界比較感興趣的幾類圖形多作 些努力而已。

若一個圖形 G 是可 k-著色, 則 G 的 任意子圖形 (subgraph) 也是可 k-著色。 這 個簡單的概念我們不另外證明了。 在一般圖 形中無法求得其正確點著色數時, 是否有適 當的上、 下界, 來約束其點著色數的可能範圍 呢? 這個問題相當重要。 讓我們先定義圖形

G 的完全數 (clique number), ω(G), 為該 圖形最多擁有多少個兩兩有邊連接的頂點個 數。

性質1: 給一個圖形 G, 則有 χ(G) ≥ ω(G)。

證明: 因為在圖形 G 中有 ω(G) 個頂 點兩兩有邊相連, 那麼這些頂點都需塗不同 的顏色, 則圖形 G 的點著色數就大於或等於 圖形 G 的完全數。

由上面這個性質, 我們得到圖形的完全 數為其點著色數的一個下限。 讓我們看看兩 個特殊圖形的點著色數。 一個 n 個頂點的完 全圖形 (complete graph) 的點著色數是該 圖形的點數, 也是該圖形的最大度數 (max- imal degree) 加一。 我們稱一個長度為奇 數的迴圈為奇迴圈(odd cycle), 則奇迴圈的 點著色數是等於 3, 也是該圖形的最大度數 加一。 1941 年 R.L. Brooks 證明除了完 全圖形及奇迴圈以外的連通圖形(connected graph) 的點著色數必小於或等於其最大度 數。

定理2: 一個連通圖形若不是完全圖形, 也不是奇迴圈, 則點著色數必小於或等於最 大度數。

一般稱定理 2 為 Brook’s 定理, 見參 考資料五。 這個定理的證明在一般的圖形學 參考書裡都可看到其證明。 綜合性質1與定理 2, 可知一個圖形若不是完全圖形, 也不是奇 迴圈, 則其點著色數大於或等於其完全數, 也 小於或等於其最大度數。 除此之外仍有許多

零星結果, 我們無法一一列出。 有興趣的讀者 可參考一般基礎的圖形學書籍。

二. 均等著色

一個圖形的均等著色是一種特殊的點著 色, 要求任意兩個顏色所塗的頂點個數最多 只差一個。 我們稱一個圖形是可均等 k-著 色(equitably k-colorable) 是指該圖形有一 種所使用的顏色數剛好等於 k 的均等著色。

由定義知若一個頂點數為 n 的圖形 G 可均 等 k-著色, 則每個顏色所塗的頂點數將介於

⌊ⁿ_k⌋ 到 ⌈ⁿ_k⌉ 之間 (⌊ⁿ_k⌋ 是比 ⁿ_k 小或等於 的最大整數, 而 ⌈ⁿ_k⌉ 則是比 ⁿ_k 大或等於的 最小整數。) 是否任意一個圖形都可以均等著 色? 如果圖形中每個頂點都塗不同顏色, 則這 種點著色將也是均等著色。 所以一個頂點數 為 n 的圖形, 是一個可均等 n-著色的圖形。

而“均等著色”與“點著色”最大的差異在於一 個圖形是可 k-著色則必然也是可 (k + 1)-著 色; 但一個圖形是可均等 k-著色, 卻未必是 可均等 (k + 1)-著色。 以 K3,3為例子說明如 下:

K3,3 :

圖形 K3,3 是可均等 2-著色, 但卻不可均等 3-著色。 因為將 v1, v2及 v3 都塗紅色, 而 u1,

u2 及 u3 都塗黑色, 則這種塗色方法就是一 種均等 2-著色; 而 K3,3 若是可均等 3-著色, 則是塗三個顏色, 每個顏色塗兩個頂點, 則必 有一個顏色塗 vi 及 u_j 兩頂點, 但 vi 與 uj

有邊連接, 這就不是一個均等著色, 也就是說 K3,3 不可以均等 3-著色。 所以上面的例子告 訴我們“若圖形 G 是可均等 k-著色, 並不代 表 G 是可均等 (k + 1)-著色。”由上面的性 質看來, 圖形的均等著色中使用的最少顏色 數, 不能完全決定圖形是否可均等 k-著色, 但 我們仍渴望知道圖形的均等著色中至少需使 用多少顏色數。 在這裡我們定義一個圖形 G 的均等著色數 (equitable chromatic num- ber), χ=(G), 為圖形 G 的均等著色中最少 需使用的顏色數。 例如: χ=(K3,3) = 2。

對一個特定的圖形 G 及一個正整數 k, 決定 G 是否可均等 k-著色是一個重要的研 究題材。 在文獻中曾載明 Kn 是可均等 k- 著色的充要條件是 k ≥ n, 以外就無資料可 查了。 中央研究院數學所李國偉教授, 吳寶林 先生及筆者最近的研究成果已能完全決定樹 (tree) 及均勻完全二分圖 Kn,n 可均等 k-著 色的充要條件 (見參考資料四、 五)。 對一般 圖形的均等著色研究則有 A. Hajnal 和 E.

Szemeredi 下面的結果 (1970):

定理3: 任意的圖形 G, 可以均等 k-著 色, 只要 k 大於 G 的最大度數。

我們與定理 2 做比較, 發現其中完全圖 形、 奇迴圈和均勻完全二分圖 K_n,n (n 是奇 數) 都無法得到最大度數的均等著色。 綜合上 述資料, 我們提出了下述猜想:

猜想: 不為 K_n, C2n+1 及 K2n+1,2n+1

的連通圖形 G 必可均等 △-著色, 式中 △ 為 G 的最大度數。

我們已就這個猜想得到些成果, 但尚不 足以證明這個猜想是對的。

均等著色是一個有趣的問題, 它在點著 色的要求之外, 又要求每個顏色所塗的頂點 數要很平均。 這個額外的條件使得整個問題 的困難度提高了很多。 關於“均等著色”的研 究仍有待維續下去。

三. 邊著色

一個圖形的邊著色就是在每個邊塗上一 種顏色但要滿足下列條件, 相連 (adjacent) 的兩個邊必需塗不同的顏色。 事實上邊著色 與點著色有很多相同的性質, 例如: 每個圖 形至少有一種邊著色, 就是每邊都塗不同的 顏色; 一個圖形如 有一種使用 k 個顏 色的 邊著色, 那就有使用 k + 1 個顏色的邊著色。

因而我們有興趣知道的是如何使用最少的顏 色去對一個圖形進行邊著色? 最少的顏色數 是多少呢? 因而我們定義一個圖形 G 的邊 著色數 (chromatic index), χ^′(G), 為圖形 G 的邊著色中所需使用的最少顏色數。

讓我們先看看完全圖形 Kn的邊著色數 χ^′(Kn) 為多少?

性質4:

χ^′(Kn) =

(

由性質 4 可知完全圖形的邊著色數有兩 種可能; 第一種是邊著色數等於頂點個數減

一, 也等於其最大度數; 第二種是邊著色數等 於頂點個數, 也等於其最大度數加一。 且讓我 們看看是否每一個圖形的邊著色數為其最大 度數或最大度數加一這兩種可能而已? 在討 論這個大膽的假設是否成立之前, 且先讓我 們看一個簡單性質:

定理5: 一個圖形的邊著色數必大於或 等於該圖形的最大度數。

證明: 若圖形 G 的最大度數為 n, 則 有一個頂點 v 使得 v 的度數為 n, 也就是說 有 n 個邊連到頂點 v; 根據邊著色的定義, 則 這 n 個邊必需塗不同的顏色, 也就是這個圖 形的邊著色數至少要 n 個顏色。

性質 5 顯示只要能證明: 一個圖形的邊 著色數小於或等於最大度數加一; 則我們原 先的觀察成立。 而事實上這個觀察並不完全 對, 且讓我們看看下面的例子:

G:

χ^′(G) = 6 > △(G) + 1

上面的例子告訴我們原先的假設並不正 確, 應做一些修正。 一個圖形稱為簡單圖形 (simple graph) 當其任意兩個頂點最多只有 一邊相連接, 也沒有任何一邊只接在一個頂 點上。 V.G. Vizing 在 1964 年證得下面這 個定理。

定理6: 任意簡單圖形的邊著色數小於 或等於該圖形的最大度數加一。

這個定理告訴我們: 任何一個簡單圖形 的邊著色數不是最大度數, 就是最大度數加 一。 定理 6 的重要性, 不言可喻。 於是大家為 了尊崇 V.G. Vizing 證明了這個定理, 而將 這個定理稱為 Vizing 定理。 由 Vizing 定 理, 我們可將簡單圖形分為兩類: 如果簡單 圖形 G 的邊著色數等於最大度數, 則稱 G 為第一類(class one) 圖形; 倘若其邊著色數 等於該圖形的最大度數加一, 則稱 G 為第二 類(class two) 圖形。 讓我們先看一下兩分圖 (bipartite graph), 是屬何類? 事實上, 從結 婚定理 (Marriage Theorem) 即可得下面的 定理

定理7: 所有的二分圖都是第一類圖形。

結婚定理是由 P. Hall 在 1935 年首先 發現 (可見參考資料三)。 實際上, 絕大部份的 圖形都是第一類圖形。 但要決定一個圖形是 否為第一類圖形也是一個 NP-complete 的 問題。“邊著色問題”看似比“點著色”問題來 的簡單, 然而有很多類的圖形已可求得其點 著色數但卻仍不知其邊著色數。

參考資料

一、 曹亮吉, 淺談四色問題, 數學傳播, 1 卷 4 期 (66 年 3 月), pp 14-27。

二、 林克瀛譯, 四色問題的解決, 數學傳播, 5 卷 4 期 (70 年 12 月), pp 16-28。

三、 王子俠, 相異代表系統簡介, 數學傳播, 4 卷 4 期 (69 年 12 月), pp 8-12。

四、 李國偉和吳寶林, On equitable Coloring of bipartite graphs. Discrete Math., to appear.

五、 陳伯亮和李國偉, Equitable Coloring of trees. J. Combin. Theory, Ser. B, to appear.

六、 M. R. Garey, D. S. Johnson and L. Stockmeyer [1976], Some simplified NP-complete graph problems, Theor.

Comput. Sci. 1, 237-267。

七、 R.L. Brooks, On colouring the nodes of a network, Proc. Cambridge Phil.

Soc., 37 (1941), 194-197。

八、 A. Hajnal and E. Szemeredi, Proof of conjecture of Erd¨os, in: P. Erd¨os, A Renyi, and V.T. Sos eds, Combinato- rial Theory and its Applications, Vol.

II, Colloq. Math Soc. Janos Bolyai 4, (North-Holland, Amsterdam, 1970) 601-603。

—本文作者任教於東海大學數學系_—