3-1 樣 本 空 間 與 事 件

3-1 樣 本 空 間 與 事 件

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 一般的骰子﹐有兩面以紅色標示 1 點､4 點﹐其餘四面則以黑色標示 2 點､

3 點､5 點､6 點﹐現擲一骰子一次﹐觀其點數﹐試問何者正確？

(1)點數的樣本空間為 S 時﹐

S  12

A  2

B  4

C  4

(2)A{1, 4}﹐ A  ﹒ 2 (3)B{2, 3, 5}﹐ B  ﹒ 3

(4)C{2, 4, 6}﹐ C  ﹒故選(2)﹒3

2. 擲一公正的骰子一次﹐觀其點數得樣本空間 S﹐設 A 表示點數是 6 的因數的 事件﹐B 表示點數是偶數的事件﹐試問何者正確？

(1) A 與 B 的和事件﹐

A  B  6

A  B  3

A '  3

B '  3

解：S{1, 2, 3, 4, 5, 6}﹐ A{1, 2, 3, 6}﹐B{2, 4, 6}﹐ (1)A B {1, 2, 3, 4, 6}﹐ AB  ﹒ 5

(2)A B {2, 6}﹐ AB  ﹒ 2 (3)A' {4, 5} ﹐ A'  ﹒ 2

(4)B' {1, 3, 5} ﹐ B'  ﹒故選(4)﹒3

3. 一家庭有兩個小孩﹐若依小孩的長幼順序觀察其性別﹐試問何者正確？

(1)樣本空間 S﹐

S  3

A  2

(3)恰一男生的事件為 B﹐

B  1

C  2

(2)A 男 男{( , ), (男 女 ﹐, )} A  ﹒ 2 (3)B 男 女{( , ), (女 男 ﹐, )} B  ﹒ 2 (4)C 男 男 ﹐{( , )} C  ﹒故選(2)﹒1

4. 袋中有編號 1, 2, 3 的三個球﹐現自袋中每次任取一球﹐取後不放回﹐依序記 錄三球的編號﹐試問：

(1)第三次取到 1 號球的事件為 A 時﹐試求

A

(2)第三次取到 2 號球的事件為 B 時﹐試求

B

解：S{(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}﹒ (1)A{(3, 2, 1), (2, 3, 1)}﹐知 A  ﹒ 2

(2)B{(1, 3, 2), (3, 1, 2)}﹐知 B  ﹒2

5. 袋中有編號 A, B, C 的紅球 3 個﹐編號 D, E 的白球 2 個﹐從中先取一球﹐取 後不放回﹐再取一球﹐依序記錄這二球的編號﹐試問：

(1)兩球都是紅球的事件為 A 時﹐試求

A

(2)兩球恰一紅球､一白球的事件為 B 時﹐試求

B

解：(1)兩球都是紅球的事件為 A﹐ A P₂³ ﹒ 6 (2)兩球恰一紅球､一白球的事件為 B﹐

(紅, 白)有 3 2  種﹐ 6

(白, 紅)有2 3  種﹐知6 B 12﹒

6. 有兩個不同形狀的公正骰子﹐一個是正四面體﹐一個是正立方體﹒四面體上 各面的點數分別是 1, 2, 3, 4；立方體上各面的點數分別是 1, 2, 3, 4, 5, 6﹒同 時投擲這兩個骰子一次﹐依序記錄正四面體﹐正立方體點數﹒

(1)所有出現點數的樣本空間為 S 時﹐試求

S

(2)點數乘積小於 7 的事件為 A 時﹐試求

A

解：(1)樣本空間 S 時﹐ S   4 6 24﹒ (2)乘積小於 7 的事件為 A﹐

{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),A

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} ﹐ A 12﹒

（每題 5 分﹐共 45 分）

1. 袋中有編號 1, 2, 3, 4, 5 共 5 個球﹐現自袋中每次任取一球﹐取出後不放回﹐

依序記錄所取五球的編號﹐試問：

(1)第三次取到 3 號球的事件為 A 時﹐試求

A

(2)第四次取到 4 號球的事件為 B 時﹐試求

B

解：(1)第三次取到 3 號球的事件為 A﹐ 3 ﹐ 由直線排列知 1, 2, 4, 5 排另 4 個位置﹐ A  4! 24﹒ (2)第四次取到 4 號球的事件為 B﹐ 4 ﹐

由直線排列知 1, 2, 3, 5 排另 4 個位置﹐ B  4! 24﹒

2. 袋中有相同的紅球 3 個､白球 2 個﹐現自袋中每次任取一球﹐取出後不放回﹐

依序記錄所取五球的顏色﹐試問：

(1)第三次取到紅球的事件為 A 時﹐試求

A

(2)第四次取到紅球的事件為 B 時﹐試求

B

解：(1)第三次取到紅球的事件為 A﹐ 紅 ﹐

由排列知紅球 2 個､白球 2 個的排法﹐ 4!

2!2! 6 A   ﹒ (2)第四次取到紅球的事件為 B﹐ 紅 ﹐

由排列知紅球 2 個､白球 2 個的排法﹐ 4!

2!2! 6 B   ﹒

3. 擲一公正的骰子兩次﹐依序記錄所得點數﹐試問：

(1)點數和為 8 的事件為 A 時﹐試求

A

(2)點數差為 2 的事件為 B 時﹐試求

B

解：(1)A{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}﹐ A  ﹒ 5

(2)B{(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)}﹐ B  ﹒8

4. 擲兩個大小相異的骰子一次﹐依序記錄大小骰子的點數﹐設點數和為 8 的事 件為 A﹐點數都是偶數的事件為 B﹐試問：

(1) A 與 B 的積事件﹐

A  B

(2) A 與 B 的和事件﹐

A  B

解：A{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}﹐

{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}

B ﹐

(1)A B {(2, 6), (4, 4), (6, 2)}﹐知 AB  ﹒ 3 (2) AB  A  B  AB     ﹒5 9 3 11

5. 袋中有白球､紅球､黑球各二個﹐現自袋中先後取出二個﹐依序記錄這二球 的顏色﹐若二球不同色的事件 C﹐至少一白球的事件 D﹐試問：

(1) C 與 D 的積事件﹐

C  D

(2) C 與 D 的和事件﹐

C  D

解：C 白 紅 白 黑{( , ), ( , ), (紅 白, ), (紅 黑, ), (黑 白, ), (黑 紅 ﹐ , )}

{( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}

D 白 白 白 紅 白 黑 紅 白 黑 白 ﹐

(1)C  白 紅 白 黑D {( , ), ( , ), (紅 白, ), (黑 白 ﹐知, )} CD  ﹒ 4

(2)C  白 白 白 紅 白 黑D {( , ), ( , ), ( , ), (紅 白, ), (紅 黑, ), (黑 白, ), (黑 紅 ﹐ , )}

7 CD  ﹒

6. 擲一公正骰子三次﹐依序記錄所得點數﹐若點數積為 15 的事件為 E﹐點數 和為 9 的事件為 F﹐試問：(1)

E

E  F

解：E{(1, 3, 5), (1, 5, 3), (3, 1, 5), (3, 5, 1), (5, 1, 3), (5, 3, 1)}﹐ (1) E  ﹒ 6

(2)因 1 3 5   恆成立﹐ E9  ﹐ F EF  E  ﹒6 7. 擲一公正的硬幣 8 次﹐依序記錄正面與反面﹐試問：

(1)恰有 4 個正面的事件為 A﹐試求

A

(2)恰在第 8 次時出現第 4 個正面的事件為 B﹐試求

B

解：(1)四個正面﹐四個反面的事件為 A﹐ A C₄⁸70﹒ (2)前面 7 次中恰有三個正面的事件為 B﹐ B C₃⁷35﹒

8. 有四個相同的球﹐隨機放入編號為甲､乙､丙的箱子後﹐依甲､乙､丙順序 記錄箱中的球數﹐試問至少有一個箱子沒球的事件為 A 時﹐求

A

解：恰二個空箱的情形﹐ (4, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 4) ﹐ 恰一個空箱的情形﹐

(0, 3, 1), (0, 2, 2), (0, 1, 3), (3, 0, 1), (2, 0, 2), (1, 0, 3), (3, 1, 0), (2, 2, 0), (1, 3, 0) , 知 A   3 9 12﹒

9. 袋中有編號 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 的七個球﹐今自袋中隨機任取三球﹐依小而大 的順序記錄編號﹐若三球的編號互不相連續的事件 A﹐試求

A

解：A{(1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 3, 7), (1, 4, 6), (1, 4, 7),

(1, 5, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 7), (3, 5, 7)} ﹐知 A 10﹒

（共 25 分）

1. 彩票公司每天開獎一次﹐從 1, 2, 3 三個號碼中隨機開出一個﹒開獎時﹐如果 開出的號碼和前一天相同﹐就要重開﹐直到開出與前一天不同的號碼為止﹒

如果在第一天開出的號碼是 3﹐求在第四天開出號碼同樣 3 的事件﹒（8 分）

解：因第一天､第四天開出的號碼都是 3﹐

得事件為 {(3, 1, 2, 3), (3, 2, 1, 3)}﹒

2. 袋中有三個一樣大小的球﹐分別標示 10 分, 20 分, 30 分﹒重複自袋中取出一 球後放回﹐記錄得分並累加﹐其中取出各球之機會皆相等﹐若抽三次後總分 為 60 分的事件為 A﹐試求

A

解：三球為 10 分､20 分､30 分的有 6 種順序﹐

三球為 20 分､20 分､20 分的有 1 種順序﹐

{(10, 20, 30), (10, 30, 20), (20, 10, 30), (20, 30, 10), A

(30, 10, 20), (30, 20, 10), (20, 20, 20)}﹐知 A  ﹒7

3. 已知一票箱中有 5 張是投給甲的選票﹐3 張是投給乙的選票﹐在開票的過程 中﹐依序記錄甲､乙的得票﹐若甲的票數一直領先乙的票數事件為 A﹐試求

A

解：A{(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 0),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}﹐知 A 14﹒