最後我們談論 Jordan form 一個重要的應用. 回顧一下, 若 A∈ Mn(F) 則 A 和 A 的 transpose At 有相同的 characteristic polynomial 和 minimal polynomial. 這表示 A 和 At 有可能為 similar. 事實上當 χA(x) 可以在 F[x] 中完全分解成一次的 monic polynomials 的乘積, 我們可得 A∼ At. 這是因為當 A∈ Mn(F) 時, dim(N(A)) + dim(C(A)) = n. 又因 為 dim(C(A)) = dim(C(At)), 所以我們得 dim(N(A)) = dim(N(At)). 同理, 對於每一個 A 的 eigenvalueλ (也會是 At 的 eigenvalue), 我們有
dim(N((A−λ In)i)) = dim(N(((A−λ In)t)i)) = dim(N((At−λ In)i)).
所以將 A 化為 Jordan form, 每一個階數的 elementary Jordan matrix associated withλ 和 At 同階的 elementary Jordan matrix associated with λ 個數都相同, 也就是說 A 和 At 可以 化成同樣的 Jordan form. 我們有以下之結果.
Theorem 4.3.9. 假設 A∈ Mn(F). 若 χA(x) 可 以 在 F[x] 中 完 全 分 解 成 一 次 的 monic polynomials 的乘積, 則 A 的 transpose At 和 A 為 similar.
以後我們會提到若 A, B∈ Mn(F) 且存在一個比 F 大的 field ˜F 使得在 Mn( ˜F) 中 A∼ B (即存在 ˜P∈ Mn( ˜F) invertible 使得 B = ˜P−1· A · ˜P), 則在 Mn(F) 中 A∼ B (即存在 P ∈ Mn(F) invertible 使得 B = P−1·A·P). 所以事實上 Theorem 4.3.9 不需 χA(x) 可以在 F[x] 中完全分 解成一次的 monic polynomials 的乘積之假設, 我們仍可得 A∼ At.
4.4. Rational Form
當 V 是 over F 的 vector space 且 T : V→ V 為 over F 的 linear operator. 若 F 不是 algebraically closed, 則 T 的 characteristic polynomial 並不一定可以完全分解成 F[x] 上的 一次多項式的乘積. 我們將探討在這種情形之下, 如何找到合適的 V 的 ordered basis 使得 T 的 representative matrix 可為較簡單的形式.
要將 T 的 representative matrix 化為簡單的 form, 就必須將 V 寫成一些 T -invariant subspaces 的 direct sum. 寫成越多維度小的 T -invariant subspaces 的 direct sum, T 的 representative matrix 就可寫成越簡單的 form. 例如 T 是 diagonalizable 時, 就表示 V 可 以寫成一些 1-dimensional T -invariant subspaces 的 direct sum. 接下來我們就是要討論若 v∈ V, 則包含 v 最小的 T-invariant subspace 為何.
假設 W 為包含 v 的 T -invariant subspace. 因為 v∈ W, 故由 W 為 T-invariant, 得 T (v)∈ W. 同理得 T◦2(v)∈ W, T◦3(v)∈ W, ..., 故由數學歸納法得 T◦i(v)∈ W, ∀i ∈ N. 再由 W 為 over F 的 vector space, 可得對任意 ad, ad−1, . . . , a1, a0∈ F 皆有
adT◦d(v) + ad−1T◦d−1(v) +··· + a1T (v) + a0v∈ W.
換言之, 對於所有 f (x)∈ F[x] 皆有 f (T)(v) ∈ W. 現考慮 Cv={ f (T)(v) | f (x) ∈ F[x]},
我們有 Cv⊆ W. 很容易檢查 Cv 為一個 vector space, 故 Cv 為 W 的 subspace. 又對於任意 w∈ Cv, 我們有 w = adT◦d(v) +··· + a1T (v) + a0v, 其中 ad, . . . , a1, a0∈ F. 所以
T (w) = adT◦d+1(v) +··· + a1T◦2(v) + a0T (v) = g(T )(v)∈ Cv,
其中 g(x) = adxd+1+··· + a1x2+ a0x∈ F[x]. 這說明了 Cv 是一個 T -invariant subspace. 因 此我們了解一個包含 v 的 T -invariant subspace, 一定包含 Cv 這一個 T -invariant subspace.
也就是說 Cv 是包含 v 最小的 T -invariant subspace. 我們有以下之定義.
Definition 4.4.1. 假設 V 是一個 F-space 且 T : V → V 是一個 F-linear operator. 給定 v∈ V, 考慮 Cv={ f (T)(v) | f (x) ∈ F[x]}. 我們稱 Cv 為一個 T -cyclic subspace spanned by v.
其中 v 也稱作 Cv 的一個 cyclic vector.
要注意 Cv (the T -cyclic subspace spanned by v) 和 T 有關, 由於我們不會探討不同 linear operator 間的關係, 所以為了符號簡便我們省略 Cv中有關 T 的標記. 一般來說 Cv並 不是 the subspace spanned by v, 而且一個 T -cyclic subspace 的 cyclic vector 並不唯一.
Question 4.14. 除了 v 以外, 你能找到另一個 Cv 的 cyclic vector 嗎?
Question 4.15. 在甚麼情況之下 Cv 會等於 Span(v)?
接下來我們要更進一步來了解 Cv 這一個 T -cyclic subspace. 首先由於我們探討的 vector space V 是 finite dimensional, 所以 Cv 也是一個 finite dimensional vector space.
因 此 {v,T(v),T◦2(v), . . . , T◦i(v), . . .} 為 linearly dependent. 也就是說存在 k ∈ N, 以及
a0, a1, . . . , ak∈ F 不全為 0 使得 akT◦k(v) +··· + a1T (v) + a0v = OV. 這告訴我們, 存在非零多 項式 f (x)∈ F[x] 使得 f (T)(v) = OV. 滿足這個性質的次數最小的 monic polynomial 對於我 們了解 Cv 有很大的用處, 所以有以下之定義.
Definition 4.4.2. 設 V 為一個 finite dimensional F-space, T : V→V 為一個 linear operator.
在所有非零多項式 f (x)∈ F[x] 中滿足 f (T)(v) = OV, 且次數最小的 monic polynomial 稱為 the T -annihilator of v, 我們用µv(x) 來表示.
再次強調 µv(x) 不只和 v 有關和 T 也有關, 不過由於我們只探討單一的 linear operator, 所以省略有關 T 的標記.
Question 4.16. 對於任意的 linear operator T : V→ V, 甚麼是 the T-annihilator of OV? 利用多項式的除法原理 (division algorithm), v 的 T -annihilator 和 Lemma 3.3.5 中有關 於 T 的 minimal polynomial 有著類似的性質, 由於證明方法相同, 這裡就不再贅述.
Lemma 4.4.3. 假設 V 為一個 finite dimensional F-space, v∈ V 且 T : V → V 為一個 linear operator. 則對於 f (x)∈ F[x], f (T)(v) = OV 若且唯若 µv(x)| f (x).
利用 Lemma 4.4.3, 我們馬上知道 µv(x)|χT(x) 且 µv(x)|µT(x), 這 是 由 於 χT(T ) = µT(T ) = O, 所以對任意 v∈ V 皆有 χT(T )(v) =µT(T )(v) = OV.
我們可以透過 µv(x) 來了解 Cv. 事實上我們有以下之結果.
Theorem 4.4.4. 設 V 為一個 finite dimensional F-space, T : V→ V 為一個 linear operator.
若 v∈ V, 且其 T-annihilator 為
µv(x) = xd+ ad−1xd−1+··· + a1x + a0, 則
{v,T(v),...,T◦d−1(v)}
為 Cv 的一組 basis. 另外考慮 T 限制在 Cv 下的 linear operator T|Cv : Cv→ Cv, 我們有 T|Cv 的 characteristic polynomial 和 minimal polynomial 皆等於 v 的 T -annihilator, 亦即 χT|Cv(x) =µT|Cv(x) =µv(x).
Proof. 首先證明 S ={v,T(v),...,T◦d−1(v)} 為 linearly independent. 若 S 不是 linearly independent, 表示存在次數小於等於 d− 1 的 polynomial f (x) ∈ F[x] 滿足 f (T)(v) = OV. 此和µv(x) 為次數最小的定義相矛盾, 故得證 S 為 linearly independent.
接著證明 Cv= Span(S). 首先很容易觀察
Span(S) ={g(T)(v)|g(x) ∈ F[x],deg(g(x)) ≤ d − 1},
故知 Span(S)⊆ Cv. 然而依定義對於任意 w∈ Cv, 皆存在 g(x)∈ F[x] 使得 g(T)(v) = w.
現若 deg(g(x))≤ d − 1, 則可得 w ∈ Span(S). 而若 deg(g(x)) > d − 1, 則由除法原理, 存在 h(x), r(x)∈ F[x] 其中 deg(r(x)) ≤ d − 1 使得 g(x) = h(x)µv(x) + r(x). 故由 µv(T )(v) = OV, 知
w = g(T )(v) = h(T )(µv(T )(v)) + r(T )(v) = h(T )(OV) + r(T )(v) = r(T )(v),
得證 w∈ Span(S). 此證得 Cv⊆ Span(S).
現考慮 T|Cv 的 characteristic polynomial χT|Cv(x), 依定義 deg(χT|Cv(x)) = dim(Cv). 而 由 S 為 Cv 的一組 basis, 得 dim(Cv) = d. 又 v∈ Cv, 故依定義 χT|Cv(T )(v) = OV. 所以 Lemma 4.4.3 告訴我們 µv(x)|χT|Cv(x). 最後由 µv(x) 以及 χT|Cv(x) 皆為 monic 以及它們 的 degree 皆為 d 得證 χT|Cv(x) =µv(x). 同理 µT|Cv(T )(v) = OV, 故得 µv(x)|µT|Cv(x). 再由 deg(µT|Cv(x))≤ deg(χT|Cv(x)) = deg(µv(x)) 得證 µT|Cv(x) =µv(x). Question 4.17. 若 deg(µv(x)) = d, 你能證明 Cv 中的元素皆可 “唯一” 寫成 g(T )(v) 其中 g(x)∈ F[x] 且 deg(g(x)) ≤ d − 1 嗎?
Theorem 4.4.4 中 Cv 的這組 basis 很重要, 我們有以下的定義.
Definition 4.4.5. 假設 V 為一個 finite dimensional F-space, v∈ V 且 T : V → V 為一個 linear operator. 設 deg(µv(x)) = d, 我們稱{v,T(v),...,T◦d−1(v)} 為 Cv 的一組 cyclic basis.
當 deg(µv(x)) = d 時, 我們可以考慮 T|Cv: Cv→Cv對於β = (v,T(v),...,T◦d−1(v)) 這一個 cyclic basis 所形成的 ordered basis 的 representative matrix 為何. 由於 T (v) = 0 v+1 T (v)+
0 T◦2(v) +··· + 0T◦d−1(v), 我們知道此 matrix 的第一個 column 應為 (0, 1, 0, . . . , 0)t, 同理 因 T (T (v)) = 0 v + 0 T (v) + 1 T◦2(v) +··· + 0T◦d−1(v), 我們知道此 matrix 第二個 column 應 為 (0, 0, 1, 0, . . . , 0)t, 這 樣 一 直 可 得 到 前 d− 1 個 column. 至於最後一個 column, 由 於 T (T◦d−1(v)) = T◦d(v), 故若 µv(x) = xd+ ad−1xd−1+··· + a1x + a0, 由 µv(T )(v) = OV, 得 T◦d(v) + ad−1T◦d−1(v) +··· + a1T (v) + a0v = OV. 亦即
T◦d(v) =−(a0v + a1T (v) +··· + ad−1T◦d−1(v)),
因此得最後一個 column 為 (−a0,−a1, . . . ,−ad−1)t. 所以知 T|Cv 對於 β 的 representative
matrix 為
0 0 ··· 0 −a0
1 0 ··· 0 −a1
0 1 . .. 0 −a2
... ... . .. ... ... 0 0 ··· 1 −ad−1
. (4.3)
令 f (x) = xd+ ad−1xd−1+··· + a1x + a0, 上述矩陣 (4.3) 稱為 the companion matrix of f (x).
Question 4.18. 試計算
det
x 0 ··· 0 a0
−1 x ··· 0 a1
0 −1 . .. 0 a2
... ... . .. ... ... 0 0 ··· −1 x + ad−1
.
Example 4.4.6. 考慮 T :R3→ R3 定義為 T (x1, x2, x3) = (2x1, x1+ x3, x1− x2). 考慮 v = (0, 0, 1), 則 T (v) = (0, 1, 0), T◦2(v) = (0, 0,−1) = −v. 由 T◦3(v) =−T(v),... 很容易看出
Cv = Span({v,T(v)}) = Span({(0,0,1),(0,1,0)}). 由 {v,T(v)} 為 linearly independent 而 {v,T(v),T◦2(v)} 為 linearly dependent 知 v 的 T-annihilator 為 degree 2 的 polynomial.
事實上因 T◦2(v) =−v, 即 T◦2(v) + 0T (v) + 1v = OV, 我們有 µv(x) = x2+ 1. 很容易檢查 χT(x) = µT(x) = (x− 2)(x2+ 1), 所 以 確 實 有 µv(x)|χT(x) 以 及 µv(x)|µT(x). 另 外 考 慮 β = ((0,0,1),(0,1,0)), 我們可以得到 [T|Cv]β =
( 0 −1 1 0
) .
Question 4.19. 若 k 是最大的正整數滿足 {v,T(v),...,T◦k−1(v), T◦k(v)} 為 linearly inde- pendent, 則 deg(µv(x)) 為何?
在處理 finite dimensional vector space 的問題時, 我們通常會用 induction (數學歸納 法). 也就是先探討 dimension 比較小的情況, 再將 dimension 比較大的情形化成比較小的 情形. Quotient space 就是將 dimension 化成較小情形的一個方法 (回顧一下若 W 為 V 的 subspace, 則 dim(V /W ) = dim(V )−dim(W)). 現若 T : V → V 為 linear operator 且 W ⊆ V 為 T -invariant subspace, 則我們可以定一個新的函數 T: V /W → V/W. 其定義為 T(v) = T(v).
我們需說明 T 是 well-defined, 也就是說若 v = u∈ V/W, 則 T(v) = T(u) in V/W. 然而 v = u 表示 v−u ∈ W, 故利用 W 為 T-invariant 得 T(v−w) ∈ W, 即 T(v)−T(w) ∈ W. 這告訴我們 T (v) = T (u) 故依 T 的定義得 T (v) = T (u). 依 T 的定義, 我們很容易得到 T : V /W→ V/W 為 linear operator. 我們稱 T : V /W→ V/W 為 linear operator induced by T on the quotient space V /W . 事實上 T 和 T 有許多的相關性, 我們有以下的性質.
Lemma 4.4.7. 設 T : V→ V 為一個 F-linear operator, W ⊆ V 為 T-invariant subspace 且令 T : V /W→ V/W 為 linear operator induced by T, 則對於任意 g(x) ∈ F[x] 皆有 g(T) = g(T).
Proof. 依 定 義 我 們 知 道 g(T ) 為 V /W → V/W 的 linear transformation 而且若 g(x) = cnxn+··· + c1x + c0, 則 對 於 任 意 v∈ V/W, g(T)(v) = cnT◦n(v) +··· + c1T (v) + c0v. 又 因 T◦2(v) = T (T (v)) = T (T (v)) = T (T (v)) = T◦2(v), 利用數學歸納法可得 T◦i(v) = T◦i(v),∀i ∈ N.
因此得
g(T )(v) = cnT◦n(v) +··· + c1T (v) + c0v.
另一方面因 W 亦為 g(T )-invariant (Lemma 3.5.2), 故 g(T ) 亦為 V /W → V/W 的 linear transformation 且
g(T )(v) = g(T )(v) = cnT◦n(v) +··· + c1T (v) + c0v.
最後由 V /W 中元素運算的定義得 g(T )(v) = g(T )(v), ∀v ∈ V/W. 故得證 g(T) = g(T). 利用 Lemma 4.4.7, 我們可以得到 T 和 T 的 minimal polynomial 之間的關係.
Corollary 4.4.8. 設 T : V → V 為一個 F-linear operator, W ⊆ V 為 T-invariant subspace 且令 T : V /W→ V/W 為 linear operator induced by T, 則
µT(x)|µT(x).
另外給定 v∈ V, 令 µv(x) 為 the T -annihilator of v, 則我們有 µv(x)|µv(x).
Proof. 依µT(x) 的定義, 對任意 v∈ V, 皆有µT(T )(v) = OV∈ W, 得µT(T )(v) = OV = OV /W. 故由 Lemma 4.4.7 知
µT(T )(v) =µT(T )(v) =µT(T )(v) = OV /W. 利用 Lemma 3.3.5 (套用在 T ) 得 µT(x)|µT(x).
同理, 因µv(T )(v) = OV, 我們得µv(T )(v) = OV /W, 故由 Lemma 4.4.3 (套用在 v 以及 T )
得 µv(x)|µv(x).
事實上在某些情況之下有可能µv(x) =µv(x), 例如以下的情況.
Lemma 4.4.9. 令 T : V → V 為一個 F-linear operator. 給定 v ∈ V, 考慮 T : V/Cv→ V/Cv
為 linear operator induced by T on V /Cv. 若 w∈ V 滿足 µw(x)|µv(x), 則存在 u∈ V 滿足 u = w∈ V/Cv 且 µu(x) =µu(x) =µw(x).
Proof. 因 µw(T )(w) = OV /Cv, 利用 Lemma 4.4.7 得 µw(T )(w) = OV, 亦即 µw(T )(w)∈ Cv. 換言之, 存在 f (x)∈ F[x] 使得
µw(T )(w) = f (T )(v). (4.4) 依 µw(x)|µv(x) 之假設, 以及由 Corollary 4.4.8 知 µw(x)|µw(x) 可得µw(x)|µv(x), 亦即存 在 h(x)∈ F[x] 使得 µv(x) = h(x)µw(x). 故由等式 (4.4) 得
µv(T )(w) = h(T )◦µw(T )(w) = h(T )◦ f (T)(v). (4.5) 然而 µw(x)|µv(x), 故由 Lemma 4.4.3 與等式 (4.5) 知 OV =µv(T )(w) = h(T )◦ f (T)(v). 再 次利用 Lemma 4.4.3 得 µv(x)| h(x) f (x), 亦即 h(x)µw(x)| h(x) f (x). 由此知 µw(x)| f (x), 亦 即存在 g(x)∈ F[x] 使得
f (x) =µw(x)g(x). (4.6)
現令 u = w− g(T)(v). 因 g(T)(v) ∈ Cv, 我們有 u = w∈ V/Cv. 利用 µw(T ) 為 linear operator 得
µw(T )(u) =µw(T )(w− g(T)(v)) =µw(T )(w)−µw(T )◦ g(T)(v), 所以由等式 (4.6) 以及等式 (4.4) 得
µw(T )(u) = OV.
再次利用 Lemma 4.4.3 得 µu(x)|µw(x). 然而 u = w, 故µw(x) =µu(x), 即 µu(x)|µu(x). 再 加上 Lemma 4.4.8 告訴我們 µu(x)|µu(x), 得證µu(x) =µu(x). 一般來說若 deg(µw(x)) = d, 雖然 {w,T(w),...,T◦d−1(w)} 會是 Cw 的一組 basis, 不過 {w,T(w),...,T◦d−1(w)} 就未必會是 Cw的一組 basis. 不過在 Lemma 4.4.9 的假設條件下我 們可找到 u 滿足 u = w 且{u,T(u),...,T◦d−1(u)} 和 {u,T(u),...,T◦d−1(u)} 分別會是 Cu與 Cu= Cw的一組 basis.
現在我們可以利用 primary decomposition theorem 證得以下重要的定理.
Theorem 4.4.10 (Cyclic Decomposition Theorem). 假設 V 為 finite dimensional F-space 且 T : V→ V 為 linear operator. 則 V 可以寫成一些 T-cyclic subspaces 的 direct sum. 事實 上, 若 µT(x) = p1(x)m1··· pk(x)mk, 其中 pi(x)∈ F[x] 為相異的 monic irreducible polynomial, 則 V = W1⊕ ··· ⊕Wk, 其中
Wi= Ker(pi(T )◦mi) = Cvi,1⊕ ··· ⊕Cvi,ni,
而且每個 vi, j 的 T -annihilator 為 pi(x)mi, j 滿足 mi= mi,1≥ mi,2≥ ··· ≥ mi,ni> 0.
Proof. 由 primary decomposition theorem, 我們知道 T|Wi: Wi→ Wi 的 minimal polynomial 為 pi(x)mi. 若能證得每一個 Wi 可以寫成定理所述的 T -cyclic subspaces 的 direct sum, 則由 Corollary 3.4.7 可得 V 可以寫成一些 T -cyclic subspaces 的 direct sum. 所以我們 僅要證明當 T : V → V 是 F-linear operator 且 χT(x) = p(x)m 其中 p(x)∈ F[x] 是 monic irreducible polynomial 的情形下, 存在 v1, . . . vn∈ V 使得 V = Cv1⊕···⊕Cvn 且對於 1≤ i ≤ n, µvi(x) = p(x)mi 滿足 m = m1≥ m2≥ ··· ≥ mn.
我們利用對 dim(V ) 作數學歸納法證明. 當 dim(V ) = 1 時, 很自然對於任意 v̸= OV
in V , 我們有 V = Cv 且 µT(x) =µv(x), 所以定理成立. 現假設此定理在維度小於 dim(V ) 的情形都成立, 此時依假設 µT(x) = p(x)m, 故存在 v1∈ V 滿足 p(T)◦m−1(v1)̸= OV. 因 µv1(x)|µT(x) = p(x)m以及 p(x) 為 irreducible, 所以存在 m1≤ m 使得µv1(x) = p(x)m1. 然而 若 m1≤ m − 1, 由 µv1(x)| p(x)m−1, 得 p(T )◦m−1(v1) = OV. 此和當初 v1 的選取相矛盾, 所以 m1> m− 1, 因此得 m1= m.
現考慮 T : W /Cv1 → V/Cv1 induced by T on V /Cv1. 注意此時 µT(x)|µT(x) (Corollary 4.4.8), 故知 µT(x) = p(x)m′, 其中 m′≤ m. 因此由 dim(V/Cv1) < dim(V ), 我們可以套用數學 歸納法之假設, 即存在 w2, . . . , wn∈ V 滿足
V /Cv1 = Cw2⊕ ··· ⊕Cwn,
且對於 2≤ i ≤ n, µwi(x) = p(x)mi 滿足 m≥ m′= m2≥ ··· ≥ mn. 又由於 mi ≤ m = m1, 即 µwi(x)|µv1(x), 所以利用 Lemma 4.4.9 知, 存在 vi∈ V 使得 vi= wi且µvi(x) =µvi(x) = p(x)mi.
現若 deg(p(x)) = d, 由 direct sum 的性質 (Proposition 3.4.6) 以及 Theorem 4.4.4 知 {v2, T (v2), . . . , T◦dm2−1(v2), . . . , vn, T (vn), . . . , T◦dmn−1(vn)}
為 V /Cv1 = Cv2⊕ ··· ⊕ Cvn 的 一 組 basis. 現 因 T◦ j(vi) = T◦ j(vi) (Lemma 4.4.7), 以 及 {v1, T (v1), . . . , T◦dm1−1(v1)} 為 Cv1 的一組 basis, 利用 Proposition 1.6.2 的證明所用的方 法我們得
{v1, T (v1), . . . , T◦dm1−1(v1), v2, T (v2), . . . , T◦dm2−1(v2), . . . , vn, T (vn), . . . , T◦dmn−1(vn)}
為 V 的一組 basis. 因為對所有 1≤ i ≤ n, {vi, T (vi), . . . , T◦dmi−1(vi)} 為 Cvi 的一組 basis, 故 由 direct sum 的性質 (Proposition 3.4.6) 得證
V = Cv1⊕Cv2⊕ ··· ⊕Cvn.
Question 4.20. 在 Theorem 4.4.10 的證明中, 為何要將 w2, . . . , wn 改成 v2, . . . , vn?
Question 4.21. 可以用 cyclic decomposition theorem 說明若 µT(x) = (x−λ1)···(x −λk), 其中λi̸=λj for i̸= j, 則 T 是 diagonalizable 嗎?
Exercise 4.15. Let u, w∈ V suppose that the T-annihilatorsµu(x) and µw(x) are relatively prime. Let v = u + w.
(1) Show that Cu∩Cw={OV}.
(2) Prove thatµv(x) =µu(x)µw(x).
(3) Show that Cv= Cu⊕Cw.
Exercise 4.16. Let u, w∈ V and suppose that Cu∩Cw={OV}. Show that Cu⊕Cw is a T -cyclic space if and only ifµu(x) and µw(x) are relatively prime.
———————————– 22 December, 2017
