所以我們有 以下¬P 的 truth table

10 1. Basic Logic

1.3. Not and Contradiction

我們介紹 “not” 以及和 not 有關的 equivalences. 本節內容分量比前面幾節重, 而且許多情 形很可能和你的直覺不同. 希望大家能好好熟習, 糾正錯誤的直覺, 而將正確觀念成為你的 本能反應而不是盲目地記誦.

Not 有否定和相反的意思, 給定一個 statement P, 我們用¬P, 來表示 not P, 一般稱為

“非 P”. 它的定義就是當 P 為對時, ¬P 就為錯. 反之, 當 P 為錯時, ¬P 就為對. 所以我們有 以下¬P 的 truth table.

P ¬P T F F T

.

利用這個定義, 我們馬上有

P∼ ¬(¬P). (1.7)

Not P 雖然定義簡單, 但是對於由許多 connectives 連結的 statement 取 not 之後, 其 對錯狀況就較複雜了. 例如 ¬(P ∧ Q), 或許很多人會誤以為是 (¬P) ∧ (¬Q), 不過檢查一下 truth table 可得

P Q P∧ Q ¬(P ∧ Q)

T T T F

T F F T

F T F T

F F F T

P Q ¬P ¬Q (¬P) ∧ (¬Q)

T T F F F

T F F T F

F T T F F

F F T T T

很明顯看出, 在 P 對 Q 錯或 P 錯 Q 對時,¬(P ∧ Q) 和 (¬P) ∧ (¬Q) 是不同的. 事實上, 利用 truth table, 我們可得

¬(P ∧ Q) ∼ (¬P) ∨ (¬Q). (1.8) 我們藉由大家熟知的數學例子來理解這個事實. 考慮 0≤ x ≤ 1, 這表示 x ≤ 1 and x≥ 0. 它的相反, 大家都知是 x > 1 or x < 0. 我們可以任取一個數 x 令 P 為 x ≤ 1 這一個 statement, 而 Q 為 x≥ 0, 則 ¬P, ¬Q 分別為 x > 1, x < 0. 也就是說 0 ≤ x ≤ 1 可以用 P ∧ Q 表示而 x > 1 or x < 0 就是 (¬P)∨(¬Q). 由此可以看出 ¬(P∧Q) 和 (¬P)∨(¬Q) 為 logically equivalent, 而不是 (¬P) ∧ (¬Q) (否則會得到 x > 1 and x < 0 這個矛盾).

我們可以用上一節有關於 statement form 的 logically equivalent 的規則來處理 not. 例 如將式子 (1.8) 中的 P, Q 分別用¬P 和 ¬Q 取代, 可得

¬((¬P) ∧ (¬Q)) ∼ (¬(¬P)) ∨ (¬(¬Q)).

再利用¬(¬P) ∼ P, 得

¬((¬P) ∧ (¬Q)) ∼ (P ∨ Q).

最後兩邊取 not, 得

¬(P ∨ Q) ∼ (¬P) ∧ (¬Q). (1.9)

1.3. Not and Contradiction 11

例如考慮 x≥ 0 的情形, 我們知它的相反為 x < 0. 若令 P, Q 分別為 x > 0, x = 0, 則 x ≥ 0 即 為 P∨ Q. 此時 ¬P 為 x ≤ 0, ¬Q 為 x ̸= 0. 而 (¬P) ∧ (¬Q) 為 x ≤ 0 and x ̸= 0, 即為 x < 0 也 就是 x≥ 0 的相反.

式子 (1.7), (1.8), (1.9) 對於推導和 not 有關的 statement forms 之間的 logical equiva- lence 相當重要. 其中式子 (1.8), (1.9) 稱為 DeMorgan’s laws.

接下來我們自然會問, 怎樣的 statement form 會和¬(P ⇒ Q) logically equivalent 呢? 或 許大家會認為是 P⇒ ¬Q, 不過利用 truth table 檢查一下, 大家會發現在 P 是對的時 P ⇒ Q 和 P⇒ ¬Q 確實對錯相反, 但是當 P 為錯時 P ⇒ Q 和 P ⇒ ¬Q 皆為對. 所以 ¬(P ⇒ Q) 和 P⇒ ¬Q 並不是 logically equivalent, 千萬要記住.

Question 1.11. 試寫下會使得 x≥ 0 ⇒ x ≥ 1 為對的所有實數 x, 也寫下會使得 x ≥ 0 ⇒ x < 1 為對的所有實數 x. 它們是否相反呢?

大家常忽略的就是 P⇒ Q 中 P 錯的情況, 而造成邏輯的錯誤, 千萬要注意. 不過另一方 面, 若 A, B 為 statement form 且 A 為 tautology, 那麼 ¬(A ⇒ B) 就和 A ⇒ ¬B 為 logically equivalent. 主要的原因是, A 既然全為對, 那麼 A⇒ B 的對錯完全會和 B 的對錯完全一致 了.

Question 1.12. 試寫下會使得 x²≥ 0 ⇒ x > 0 為對的所有實數 x, 也寫下會使得 x²≥ 0 ⇒ x≤ 0 為對的所有實數 x. 它們是否相反呢?

要處理¬(P ⇒ Q) 會和什麼為 logically equivalent, 我們可以換一個角度來看 P ⇒ Q. 首 先回顧一下 P⇒ Q 較通俗的說法是 P 對則 Q 一定對. 所以我們知道 Q 會對, 除非 P 是 錯的. 也就是說要不然是 Q 對, 要不然就是 P 錯. 這讓我們想到 Q∨ ¬P 這一個 statement form. 事實上用 truth table 檢驗

P Q ¬P Q ∨ ¬P

T T F T

T F F F

F T T T

F F T T

我們得到

(P⇒ Q) ∼ (Q ∨ ¬P). (1.10)

利用 (Q∨ ¬P) ∼ ((¬P) ∨ Q) 以及 ¬(¬Q) ∼ Q, 我們得 (P ⇒ Q) ∼ ((¬P) ∨ ¬(¬Q)), 再利用式 子 (1.10) 得 ((¬P) ∨ ¬(¬Q)) ∼ ((¬Q) ⇒ (¬P)), 故知

(P⇒ Q) ∼ ((¬Q) ⇒ (¬P)). (1.11) 這和我們提過 P⇒ Q 為對, 表示若 Q 為錯則 P 一定錯, 相吻合.

利用式子 (1.10), 我們可得¬(P ⇒ Q) ∼ ¬(Q ∨ ¬P). 而由 DeMorgan’s laws 知

¬(Q ∨ ¬P) ∼ ((¬Q) ∧ ¬(¬P))

12 1. Basic Logic

故得

¬(P ⇒ Q) ∼ (P ∧ (¬Q)). (1.12) 式子 (1.10), (1.11), (1.12) 是我們將來處理 “若 P 則 Q” 這種類型的論述時常用的 logical equivalences.

由式子 (1.10) 我們知道, 所有的 statement form 都可以利用 logical equivalence 寫成

¬,∧,∨ 的組合. 例如由 P ⇔ Q 的定義, 我們可得

(P⇔ Q) ∼ (Q ∨ (¬P)) ∧ (P ∨ (¬Q)). (1.13) 再利用∧,∨ 的分配性 (即式子 (1.3)) 推得

(P⇔ Q) ∼ (P ∧ Q) ∨ ((¬P) ∧ (¬Q)). (1.14) 因此我們可以用 DeMorgan’s laws, 式子 (1.7), 以及 ∧,∨ 之間的關係式 (式子 (1.1),(1.2), (1.3)), 推導出一個 statement form 取 not 之後的 logical equivalence. 例如式子 (1.13) 取 not 可得

¬(P ⇔ Q) ∼ ((¬Q) ∧ P) ∨ ((¬P) ∧ Q).

有趣的是, 若比較式子 (1.14) 中的 Q 用¬Q 取代後的結果, 我們得到

¬(P ⇔ Q) ∼ (P ⇔ ¬Q).

以上差不多就是我們需要了解有關“not”的性質。為了方便起見，我們將比較常用的再列 出如下：

(1) P∼ ¬(¬P) (2) 若已知 P∼ Q 則 ¬P ∼ ¬Q (3) ¬(P ∧ Q) ∼ (¬P) ∨ (¬Q) (4)¬(P ∨ Q) ∼ (¬P) ∧ (¬Q) (5) (P⇒ Q) ∼ ((¬Q) ⇒ (¬P)) ∼ (Q ∨ ¬P) (6) ¬(P ⇒ Q) ∼ (P ∧ (¬Q))

(7) (P⇔ Q) ∼ (P ∧ Q) ∨ ((¬P) ∧ (¬Q)) (8)¬(P ⇔ Q) ∼ (P ⇔ ¬Q) ∼ (¬P ⇔ Q) 最後我們再談一下 contradiction, 回顧一下這表示一個 statement form 在任何情況之下 皆為錯的。當 A 為 statement form 時, ¬A 的對錯完全和 A 的對錯相反, 所以 A ⇔ ¬A 的 truth table 在任何情況之下皆為錯, 可知 A⇔ ¬A 為 contradiction. 反之, 若 B 為 statement form 且 A⇔ B 為 contradiction, 表示在任何情況下 A 和 B 的對錯情況相反, 可知 B ∼ ¬A.

因此我們有以下和 Proposition 1.2.2 相對應的性質.

Proposition 1.3.1. 假設 A, B 為兩個 statement forms. 則¬A 和 B 為 logically equivalent 等同於 A⇔ B 為 contradiction.

———————————– 22 September, 2022