【習題 1-4】 1.在重複丟一枚均勻硬幣

【習題 1-4】

1.在重複丟一枚均勻硬幣 20 次的試驗中﹐下列敘述何者是正確的﹖ (1)可能出現 20 次正面 (2)恰出現 10 次正 面的機率為1

2 (3)出現 6 次正面的機率等於出現 14 次正面的機率 (4)出現正面次數的期望值為 10 次﹒

解答 134

解析 (1)正面的次數可能為 0﹐1﹐2﹐…﹐20 次﹒

(2)恰出現 10 次正面的機率為 ₁₀²⁰ 1 ¹⁰ 1 ¹⁰ 1 ( ) ( )

2 2 2

C ≠ ﹒

(3)出現 6 次正面的機率為 ²⁰₆ 1 ⁶ 1 ¹⁴ ( ) ( )

2 2

C ﹐

出現 14 次正面的機率為 ₁₄²⁰ 1 ¹⁴ 1 ⁶ ( ) ( )

2 2

C ﹐兩者相等﹒

(4)出現正面次數的期望值為 1 20 10

× =2 （次）﹒ 故答案為(1)(3)(4)﹒

2.設某人射飛鏢時射中靶面的機率是1

4﹐他連續射了 4 次﹒求 (1)直到第四次才射中靶面的機率﹒

(2)恰好射中靶面 2 次的機率﹒

解答 (1) 27

256;(2) 27 128

解析 (1)直到第四次才射中靶面的機率為 3 ³ 1 27 ( ) ( )

4 4 = 256﹒ (2)恰好射中靶面 2 次的機率為 ⁴₂ 1 ² 3 ² 27

( ) ( ) 4 4 128

C = ﹒

3.阿丁平時投籃 3 球中會投進 2 球﹐今體育老師規定 5 球中至少進 3 球才及格﹐求阿丁及格的機率﹒

解答 64 81

解析 投籃 3 球中會投進 2 球﹐進球率為2 3﹐ 5 球中進 3 球以上的機率為

5 3 2 5 4 5 5

3 4 5

2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3

C +C +C 80 80 32

243 243 243

= + + 192 64

243=81

= ﹐

所以阿丁及格的機率為64 81﹒

4.甲乙兩隊進行 5 戰 3 勝制的棒球比賽﹐前 3 場中甲隊以 1 勝 2 敗暫時落後﹒已知過去兩隊的比賽中﹐單場比賽 甲隊勝的機率是 0.7﹐求最終甲隊獲勝的機率﹒

解答 0.49

解析 甲最終會贏的可能情形是連勝 2 局﹐機率為(0.7)² = 0.49﹒

5.阿南每天走同一條路上學﹐共需經過 6 個紅綠燈﹒設阿南在每個路口會碰到紅燈的機率是1

3﹐而 6 個路口的紅 綠燈是互相獨立的﹐求

(1)至少碰到 4 次紅燈的機率﹒

(2)阿南每天上學時﹐會碰到紅燈次數的期望值與標準差﹒

解答 (1) 73

729;(2)期望值 2 次﹐標準差2 3 3 次

解析 (1)至少碰到 4 次紅燈的情況為﹕碰到 4 次﹐碰到 5 次或碰到 6 次﹐機率為

6 4 2 6 5 1 6 6 0

4 5 6

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 3

C +C +C 60 12 1 73

729 729 729 729

= + + = ﹒

(2)會碰到紅燈次數的期望值為 1

( ) 6 2

E X =np= × =3 （次）﹐

標準差為 1 2 2 3

( ) (1 ) 6

3 3 3

X np p

σ = − = × × = （次）﹒

6. 假設有一批種子每粒發芽的機率都是 0.9﹒現播種 10000 粒﹐對於沒有發芽的種子﹐每粒需再補種 2 粒﹐此後就不再補種﹒令 X 表示補種的種子數﹐求 X 的期望值﹐變異數與標準差﹒

解答 E(X) = 2000 粒﹐Var(X) = 3600﹐

σ

解析 令不發芽的種子數為 Y﹒因為 Y～B(10000,0.1)﹐所以

E(Y) = 10000 × 0.1 = 1000（粒）﹒Var(Y) = 10000 × 0.1 × 0.9 = 900﹒σ( )Y = 900=30（粒）﹒ 因此﹐

E(X) = E(2Y) = 2 × E(Y) = 2000（粒）﹒ Var(X) = Var(2Y) = 2² × Var(Y) = 3600﹒

( )X 3600 60

σ = = （粒）﹒

7.隨機變數 X 是一個參數為

(

)

次數為 X）﹐其機率分布圖如下﹒選出正確的選項﹕ (1)X 的期望值為 6 (2)X 的標準差大於 4 (3)X = 6 時的機 率最大 (4)P(X = 8) > P(X = 10) (5)P(X = 7) = P(X = 5)﹒

解答 134

解析 (1)X 的期望值為 E(X) = np = 20 × 0.3 = 6﹒

(2)X 的標準差 ( )σ X = np(1− p) = 20 0.3 0.7× × = 4.2<4﹒ (3)由機率分布圖知 X = 6 時的機率最大﹒

(4)由機率分布圖知 P(X = 8) > P(X = 10)﹒

(5)由機率分布圖知 P(X = 7) < P(X = 5)﹒

故選項(1)(3)(4)正確﹒

8.甲乙兩人經常在一起打桌球﹐根據過去經驗﹐單局中甲獲勝的機率為3

5﹐且各局比賽的結果不互相影響﹒今兩 人比賽﹐由乙來決定採一戰定輸贏或三戰兩勝制﹒試問乙應選哪一種制度才有較高的勝算﹖其獲勝機率為何﹖

解答 一戰定輸赢制﹐2 5

解析 一戰定輸贏﹐乙勝的機率為 3 2 1− =5 5﹐

三戰兩勝制﹐乙要連贏 2 場或前 2 場為 1 勝 1 敗﹐第 3 場乙勝﹐其機率為

2 2

1

2 2 3 2 44

( ) ( )( )( )

5 +C 5 5 5 =125﹐ 因為2 44

5>125﹐所以乙應選一戰定輸贏﹐才有較高的勝算﹐其獲勝機率為2 5﹒

9.丟一枚均勻硬幣 10 次﹐恰好出現 n 次正面的機率記為 pn﹐選出正確的選項﹕ (1) ₅ 1

p =2 (2)p0﹐p1﹐p2﹐…﹐

p10中的最大值是 p5 (3)p3= p7 (4)p3< p5 (5)p0﹐p1﹐p2﹐…﹐p10的平均值為 0.5﹒

解答 234

解析 (1) ₅ ¹⁰₅ 1 ⁵ 1 ^{10 5} 252 1 ( ) ( )

2 2 1024 2

p =C ⁻ = ≠ ﹒

(2)

10 10

10 10

10

1 1 ( ) ( )

2 2 2 1024

i i i i

i i

C C

p =C ⁻ = = ﹐其中 i = 0﹐1﹐2﹐…﹐10﹒

p0﹐p1﹐p2﹐…﹐p10分母相同﹐而分子以C¹⁰₅ 最大﹐故最大值為 p5﹒ (3)

10 10

3 7

3 10 10 7

2 2

C C

p = = = p ﹒

(4)由選項(2)知p 最大﹐所以 p₅ 3 < p5﹒ (5)p0﹐p1﹐p2﹐…﹐p10的平均為

10 10 10 10 10

0 1 2 10 0 1 2 10 2 1

11 11 1024 11 1024 11

p + p +p + + p =C +C +C + +C = =

× ×

L L ﹒

另解﹕

因為 p0﹐p1﹐p2﹐…﹐p10代表所有可能情形的機率﹐所以﹐

p0 + p1 + p2 + … + p10 = 1﹐

因此﹐ ^{0 1 2 10} 1

11 11

p +p + p + +L p = ﹒ 故選項(2)(3)(4)正確﹒

10.甲丟一枚均勻硬幣 8 次﹐下列選項有哪些是正確的﹖ (1)會正好得到正面 4 次及反面 4 次 (2)若前 4 次得到 正面 4 次﹐則後 4 次得到正面 4 次的機率小於得到反面 4 次的機率 (3)恰好得到 4 次正面及 4 次反面的機率大 於1

4 (4)若已知丟完硬幣共出現正面 4 次與反面 4 次﹐則丟擲過程是正反面交錯出現的機率大於丟擲過程是正 面集中在前 4 次或後 4 次的機率﹒

解答 3

解析 (1)不一定會正好得到正面 4 次及反面 4 次﹒

(2)若前 4 次得到正面 4 次﹐則後 4 次得到正面 4 次的機率與得到反面 4 次的機率皆為 1 ⁴ ( )2 ﹒

(3)恰好得到 4 次正面及 4 次反面的機率為 ⁸₄ 1 ⁴ 1 ⁴ 35 1 ( ) ( )

2 2 128 4

C = > ﹒

(4)正反面交錯出現的機率為 1 ⁴ 1 ⁴ 1 2 ( ) ( )

2 2 128

⋅ = ﹐

若正面集中在前 4 次﹐則後 4 次皆為反面﹐所以機率為 1 ⁴ 1 ⁴ 1 ( ) ( )

2 2 =256﹐ 若正面集中在後 4 次﹐則前 4 次皆為反面﹐所以機率為 1 ⁴ 1 ⁴ 1

( ) ( )

2 2 =256﹐ 因為 1 1 1

128=256+256﹐所以機率相等﹒

故選項(3)正確﹒