運用壓電分流阻尼之雙懸臂樑吸振器及智慧型吸振器之分析與研發

(1)

1

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫 ■ 成果報告

□期中進度報告運用壓電分流阻尼之雙懸臂樑吸振器及智慧型吸振器

之分析與研發

(The analysis and development of dual-beam DVA with piezoelectrical shunt damping and smart DVA)

計畫類別： ■ 個別型計畫 □ 整合型計畫

計畫編號：NSC 97－ 2221 － E － 011 － 036－MY2

執行期間：

98 年 8 月 1 日至 99 年 7 月 31 日

計畫主持人：黃世欽共同主持人：

計畫參與人員：

林高安、Zulhendy Hashmid、許智淵、吳裕興、鄭巧靖、陳昱竹、Yohanes

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 ■ 完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、

列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

執行單位：國立台灣科技大學

中華民國

99 年 10 月 31 日

(2)

2

目錄

摘要 3

1. 文獻回顧與研究動機

3

2. 研究方法

5

3. 參數分析與討論

12

4. 雙懸樑吸振器的最佳化

18

5. 結論

21

References

22

國科會補助專題研究計畫成果報告自評表

24

附錄 A: 地形鑑識法

25

附錄 B: 複合形法

25

(3)

3

運用壓電分流阻尼之雙懸臂樑吸振器及智慧型吸振器之分析與研發

摘要

本計畫旨在延伸前期所發展的雙懸臂樑吸振器，運用壓電材料取代黏彈材料，使其具備吸振與振能回收兩種功能，讓雙懸臂樑吸振器除保留良好的吸振效能外，亦能將透過吸振器釋出的能量加以回收再利用。文中首先推導吸振器含壓電分流阻尼的運動方程式，並分別定義吸振與振能回收指標。吾人經由參數分析瞭解影響吸振與振能回收之參數有質量比、頻率比、壓電分流阻尼係數與壓電材料的放置位置。為讓雙懸臂樑吸振器達成前述兩項功能，採用一最佳化程序，並依據兩功能指標的估算，提出一兼具吸振與功率回收效應之設計參數値，提供使用者一設計吸振器的參考。

關鍵字: 吸振器、壓電分流阻尼、振能回收指標、吸振指標 1. 文獻回顧與研究動機

科技發展雖日新月異、一日千里，然而機械振動問題仍持續為產業界所關心的課題之一。機械振動是機器運轉時難以避免之現象，然而為了獲得更高精度的機械元件，減振往往成為首要的工作。當激振外力作用於主系統機台上時，吸振器可衰減大量的振動能量，

從而減輕主體結構的振動，因此國內外學者對於吸振器之研究頗為廣泛。無阻尼動態吸振器(dynamic vibration absorber, DVA)理論最早由學者 Den Hartog[1]將其應用於系統中，並將運動方程式無因次化，提出建議的最佳頻率比。1980 年 Thompson[2]沿用文獻[1]之方法，

應用頻率軌跡（frequency locus）法對文獻[1]之模型提出另一個最佳的阻尼比。Lewis[3]將文獻[1]之傳統動態吸振器的設計方式推廣到多自由度的系統上，Lewis 證明在 N 個自由度的系統中，其頻譜圖必定存在 2N-2 個定點。Snowdon[4]將傳統動態吸振器中之阻尼器再串聯一個彈簧，成為三元件（彈簧，彈簧-阻尼器）之動態吸振器，吸振效果優於傳統動態吸振器，如圖 1 所示。Ioi 和 Ikeda[5]則提出一套建議最佳調諧頻率比和阻尼比之設計參數。

Warburton[6]將文獻[1]之理論應用至雙自由度之無阻尼系統，並將雙自由度之系統簡化成單自由度等效系統，復用傳統的設計方式求得最佳頻率比與阻尼比。Brock[7]將文獻[1]提出之模型移除了彈簧元件，而吸振器質塊則僅透過單阻尼器連接於主系統質塊上之 Lanchester 阻尼器。爾後 Bapat[8]針對文獻[7]之模型提出最佳阻尼比的建議。

圖 1: Snowdon 研究之三元件之動態吸振器

(4)

4

吸振器應用的層面甚為廣泛，除上述之剛體的主系統外，亦可應用於旋轉元件與非剛體的主系統，或延伸至二維或三維的振動方向，在Korenev與Reznikov[9]的著作中可見許多範例之探討。此外，亦有將吸振器加入電子元件成為主動式（active）或適應式（adaptive）

吸振器，Sun等人[10]則比較主動式、適應式與傳統被動式吸振器的差異。爾後，Ren[11]

與Liu和Liu[12]針對傳統被動式吸振器與接地型吸振器作了吸振效能比較與討論，其兩種模型呈現在圖2中。2006年，曹淵閔[13]建立互動式雙質塊（dual reaction mass dynamic vibration absorber）與輔助式雙質塊吸振器兩種模型（auxiliary dual mass dynamic vibration absorber），如圖3所示，並與傳統被動式吸振器進行最佳化分析，比較在不同質量比與不同頻寬時之吸振效應，得知互動式雙質塊吸振器在寬頻下能獲得較佳的吸振效應，亦發現最佳之兩調諧頻率比應分別接近調諧頻寬之上下限。

圖2: Ren研究之兩種被動式吸振器模型

圖3: 互助式與輔助式雙質量塊吸振器

今日能源與經濟、政治、國防、科技、交通、社會及衛生環境等各方面均具極密切之關係，能源之重要性是無庸置疑的，人類對能源的依賴程度亦隨著工業化的進展而日益加深，但世界能源之蘊藏量有限且日益枯竭，除各國政府多年來提倡節約能源外，科學家亦陸續投入能源回收之研究。其中 Williams 與 Yates[14]首先提出可藉由線圈彈簧與貼覆壓電片之振動樑等此類裝置達到機械振動能量回收的效果。Roundy 等人[15]認為彈簧質量系統對於底座的相對運動可以提取出振動能量。Stephen[16]則以單自由度之彈簧、質量、阻尼系統為模型，推導出阻尼所吸收的振動能量。Sodano 等人[17 , 18]對於貼附壓電片之懸臂樑，以能量法推導出力電耦合之運動方程式，再輔以實驗量測出懸臂樑振動後產生之電壓，

並且對於使用壓電材料回收振動能量提出一系列相關的應用與評論。Wang[19]研發出圖 4 所繪的可發電式奈米纖維，其原理為兩條纖維相互磨擦時，較硬的鍍金奈米線會壓彎沒有鍍金的較軟奈米線，導致後者因為壓電效應而積累電荷，釋放到鍍金奈米線上，再由纖維末端的導線收集傳輸，推動各種需電裝置。

(5)

5

Hagood and Von Flotow [20]於 1991 年，完整地推導壓電分流阻尼公式，後續學者也大都沿用他們的壓電公式來設計分流阻尼電路。Lesieutre [21]彙整所有壓電分流阻尼的型別，

大致可歸類如下：1 電阻式(resistive)分流阻尼：其效能如同機械式阻尼，將能量以熱能散出；2 電感式(inductive)分流阻尼：電感結合 PZT 本身的電容效應，形成一 LC 線路，其效能如同一(m,k)機械式吸振器；3 電容式(capacitive) 分流阻尼：由於連接一電容，使得 PZT 的電容變成可變式，其效應如同一可調式(tunable)機械吸振器；4 開關式(switched) 分流阻尼：經由開關將能量轉換，甚至變成可用(usable)型態。

圖 4: 壓電纖維示意圖

以往各國學者針對不同形式之吸振器提出其理論，藉由調配吸振器系統之參數而達到最佳吸振效果，但吸振物體之振動能量往往以聲、熱，或其他動能等形式消散掉，實為可惜。綜觀近年來，各國環保意識抬頭，國際能源環境多變，傳統能源耗竭，尋求替代能源日益迫切，平日不僅節約有限能源之外，更要做到能回收再利用的綠色能源，以降低能源危機的發生率。綜結吸振與能源回收兩大議題，吾人欲設計一雙懸臂樑吸振器，根據不同的調諧頻寬條件，透過改變系統參數如 PZT 連接位置、壓電分流阻尼係數及吸振器質量比達成吸振之目的，另一方面係利用壓電纖維往復運動所產生的摩擦效應而將主系統之振動能量回收儲存成電能形式，並藉由調配系統參數以達到吸振與振能回收效果之最佳化。

2.研究方法

茲考慮一質量-彈簧組成的主系統，其中主系統含一質量塊m 及兩側固定端各連接一勁度為2

k 之彈簧，並承受一簡諧外力(harmonic force) f 。倘若外力 f 之驅動頻率(driving frequency)趨近於系統之自然頻率時，m 之響應將線性遞增至無限大，此為振動學之共振 (resonance)現象。為避免此共振現象，吾人設計在主系統上附加兩懸臂樑搭配一壓電材料為子系統，如圖 5 所示。此子系統若經由適當調配(tuning)，可替代主系統之振動而達吸取主系統振動之效果，因此稱為雙懸臂樑動態吸振器，後續簡稱 DVA。

主系統能量式如下：

1 2

T = 2m z& （1）

1 2

V = 2k z （2）

其中 m 為主系統之質量， k 為彈簧之勁度， z 為主系統之響應位移。

子系統（DVA）是由一個壓電材料連接兩根懸臂樑所構成。其雙懸臂樑動能和位能各為

( )²

1 1 1 1

0

1 2

L

T =

∫

ρ A w^& +z^& dx （3）

(6)

6

( )²

1 0 1 1 1

1 2

V =

∫

LE I w′′ dx （4）

( )²

2 0 2 2 2

1 2

T =

∫

Lρ A w^& +z^& dx （5）

( )²

2 0 2 2 2

1 2

V =

∫

LE I w′′ dx （6）

其中w為樑相對於 m 之橫向位移， E 為楊氏模數， I 為慣性矩，ρ為密度， A 為面積，L 為 長度，下標1為第一根懸臂樑，下標2為第二根懸臂樑。

由壓電分流阻尼所構成的能量式為

(

¹ * ² *

)

²

1

2 ^{x x} ^{x x}

D= c w& ₌ −w& ₌ （7）

其中c為壓電分流阻尼的相關係數，x*為壓電材料連接於雙懸臂樑的位置。

圖 5: 主系統附加雙懸臂樑吸振器

假設模態法是一種將連續系統予以離散化經常使用的方法。它的基本原理係假設系統的位移函數可用一組容許函數(admissible function)為假設模態乘以時間相關之廣義座標函數(functions of generalized coordinates)的線性函數組合。廣義座標函數決定與其相乘模態之參與量，故又稱為模態參與因子(participation factor)。使用假設模態法時，系統之位移函數所用的假設模態必須是容許函數，一般可以是多項式、三角函數、Bessel’s function、Legendre polynomial，也可以是系統簡化後的特徵函數。

本計畫的子系統為雙懸臂樑，故採用懸臂樑之固有模態為位移之假設模態，此模態符合懸臂樑邊界條件，亦具有正交性，如下式所示，

( ) ^cosh( ) ^cos( ) ^sinh( ) ^sin( )

i i i i i i

W x =⎡⎣ K x − K x ⎤⎦−α ⎡⎣ K x − K x ⎤⎦ （8）

其中

1 2 4 i

K A

EI ρ ω

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ （9）

( ) ( )

sinh sin cosh cos

i i

i

i i

K L K L

α = ⁻

+ （10）

懸臂樑相對其中心線之彎曲位移函數為

f

k2

m

Y X

DVA

x∗

PZT

(7)

7

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

,

n

i i

i

w x t η t W x t x

=

∑

⋅ =^η^Τ ^W （11）

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1

,

n

i i

i

w x t φ t W x t x

=

∑

⋅ =^φ^Τ ^W （12）

其中n為所取雙懸臂樑之模態項數，W xi( )為懸臂樑之第 i 個假設模態，ηi( )t 、φi( )t 分別為其相對之模態參與因子，或稱為廣義座標。

其中

{ 1 2 }

T

W W Wn

= L

W （13）

η^Τ ={η η1 2Lηn} （14）

{φ φ1 2 φn}

= L

φΤ （15）

將（11）與（12）式代入次系統運動方程式（3）式至（7）式中，使子系統離散，可得到子系統之能量式展開式為

2

1 1 1

0 1

1 2

L n

i i

i

T ρ A η W z dx

=

⎡⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎜ ⋅ ⎟+ ⎥

⎝ ⎠

⎣

∑

⎦

∫

^& ^& （16）

2 ''

1 0 1 1

1

1 2

L n

i i

i

V E I η W dx

=

⎛ ⎞

=

∫

⎜⎝

∑

⋅ ⎟⎠ （17）

2

2 2 2

0 1

1 2

L n

i i

i

T ρ A φ W z dx

=

⎡⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎜ ⋅ ⎟+ ⎥

⎝ ⎠

⎣

∑

⎦

∫

^& ^& （18）

2 ''

2 0 2 2

1

1 2

L n

i i

i

V E I φ W dx

=

⎛ ⎞

=

∫

⎜⎝

∑

⋅ ⎟⎠ （19）

( ) ( ) ²

1 1

1 * *

2

n n

i i i i

i i

D c η W x φ W x

= =

⎛ ⎞

= ⎜⎝

∑

^& ⋅ −

∑

^&⋅ ⎟⎠ （20）

由（1）、（2）及（16）式至（20）可得系統之總動能T 與總位能V 為

1 2

Total

T = + + （21） T T T

1 2

Total

V =V + + （22） V V 依據所得之離散能量方程式（21）式及（22）式，將其代入拉格朗日方程式中，可得系統之運動方程式，以矩陣表示如下：

[ ]^M { }^q&& ⁺[ ]^C { }^q& ⁺[ ]^K { } { }^q ⁼ ^{F e}^{i t}^ω （23）

其中

[ ]

{ } { } { }

{ }

1 2 1 2

1 1

2 2

0 0

i i

T

i ii

T

i ii

m m m m m

M m M

m M

⎡ + + ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎡ ⎤ ⎥

=⎢ ⎣ ⎦ ⎥

⎢ ⎡⎣ ⎤⎦⎥

⎣ ⎦

%

為質量（mass）矩陣。（24）

[ ]

0 0 0

0 0

ij ij

d d

C C C

C C

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥

=⎢ ⎣ ⎦ −⎣ ⎦⎥

⎢ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥

⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥

⎣ ⎦

% % %

%

為壓電分流阻尼（damping）矩陣。（25）

(8)

8

[ ] 1

2

0 0

ii

k

K K

K

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎡ ⎤ ⎥

=⎢ ⎣ ⎦ ⎥

⎢ ⎡⎣ ⎤⎦⎥

⎣ ⎦

% %

為勁度(stiffness)矩陣。（26）

{ } ^η

φ

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪

⎩ ⎭%

% z

q 為廣義座標。（27）

{ } ⁰

0

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭%

% F

F （28）

其中

1 1 1

0 L

m =

∫

ρ A dx （29）

₂ ₂ ₂

0

m =

∫

Lρ A dx （30）

1 1 1

0 L

i i

m =

∫

ρ A W dx⋅ （31）

2 0 2 2

L

i i

m =

∫

ρ A W dx⋅ （32）

2

1 1 1 0

L

ii i

M =ρ A

∫

W dx （33）

₁ _{1 1} ^''2

0 L

ii i

K =E I

∫

W dx （34）

( ) ( )^* ^*

dij i j

C =cW x W x （35）

2

2 2 2 0

L

ii i

M =ρ A

∫

W dx （36）

₂ _{2 2} ^''2

0 L

ii i

K =E I

∫

W dx （37）

由（33）、（34）、（36）及（37）式得知，此四式皆為對角線矩陣，是因為選用具有正交性模態的緣故。

求解簡諧外力作用下之系統響應，可令

{ } { }^q ⁼ ^{Q e}^{i t}^ω （38）

其中{ }^Q 為待定之係數向量，將(38)式代入(23)式中可得：

[ ] [ ] [ ]

(

⁻^ω² ^M ⁺ⁱ^ω ^C ⁺ ^K

)

^{{ } { }}^Q ⁼ ^F （39）

由上式，當外力之激振頻率ω 已知時，可以解得：

{ }^Q ⁼^⎡_⎣^H( ) { }^ω ^⎤_⎦⁻¹^⋅ ^F （40）

其中

( )

{

²[ ] [ ] [ ]

}

H ω = −ω M +iω C + K

⎡ ⎤

⎣ ⎦ （41）

若將（39）式取一項展開，則主系統響應可表示成

z=Ze^{i t}^ω （42）

(9)

9

其中 Z 為 z 之振幅，ω 為驅動頻率，t 為時間。

將（39）式一項展開可得：

( )

11 11

2 2 2

1 2 1 11 21

2 2

11 111 111 1

2 2

21 211 211 1

0 0

i t

d d

m m m k m m z F

m M i C K i C e

m i C M i C K

ω

ω ω ω

ω ω ω ω η

ω ω ω ω φ

⎡− + + + − − ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎢ − − + + − ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬=

⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ − − − + + ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎣ ⎦

（43）

將（42）式代入（43）式，化簡後可得：

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )

{ } ⁽ ⁾

11 2 2

2 2 2 2

111 111 211 211 111 111 211 211

2 2 2 2 2 6

111 111 211 211 21 111 11 211 1 2 111 211

2 2 4 2

1 2 211 21 111 1 2 111 11 211 2 111 111

K M K M K M K M Cd

Z

k m K M K M m M m M m m M M

m m M m K m m M m K m m K K

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω

⎡ ⎤

⎡ − − ⎤ + − + −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⎧⎪ − − − +⎡⎣ + − + ⎤⎦ +⎫⎪

⎨ ⎬

⎡ + − ⎤ +⎡ + − ⎤ − +

⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎩ ⎭

( ) ( )

( )

11 11

11

1 2

2

3 2

111 211 111 211 111 1 211 2 111 2 211 2 111 211

5 2 2

11 21 2 11 21 111 1 111 2 111 211 1 211 2 211

d d

d

F

C k K k K C K m K m K m K m K m K m k M k M

C m m m m m M m M m M m M m M m M

ω ω

ω

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ×

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎧⎪ + − + + + + + + + ⎫⎪ ⎪

⎪ ⎪

+ ⎨ ⎬

⎪ ⎪+ − − − + + + + + + ⎪ ⎪

⎪ ⎩ ⎭ ⎪

⎩ ⎭

（44）

藉由文獻[13]參考互助式雙質塊吸振器最佳化設計之參數，對照本計畫之系統需求，定義如下變數以利後續簡化，

11

111 211 1 2

1 2 1 2

111 211

2 2

1 2 11 21 11 21

1 2 11 21 12

1 111 1 211 1 211 111 111

, , , , , , ,

, , , , ,

2

st m

m m m

d

k K K

Z F

k m M M

m m m m m m C

m m m M m M m M M K

ω ω

λ ω ω ω ω γ γ

ω ω ω

µ µ µ µ µ ς

= = = = = = =

= = = = = =

（45）

其中Z 為靜力作用於主系統之靜變形量，_st ω_m為主系統之自然頻率，ω₁為吸振器子系統

（M₁₁₁，K₁₁₁）之自然頻率，ω₂為吸振器子系統（M₂₁₁，K₂₁₁）之自然頻率，λ 為驅動頻率比，γ₁，γ₂為調諧（tuned）頻寬，µ₁，µ₂為質量比，ς 為阻尼比。

將（45）式代入（44）式可得：

st

k Z Z Z = × F

(10)

10

( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )

11 11

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

1 2 1 2

211 111

2 2 2 2 2 2 6 2

1 2 11 21 1 2

2 2 4 2 2 2

1 2 21 1 1 2 11 2 2 1 2

2 2 2 2

1 2

211 111

1

d d

m

d d

m m

C C

M M

C C

M M

ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω µ µ µ µ ω µ µ µ ω µ µ µ ω ω µ ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

⎧ ⎡ ⎤ ⎫

⎪⎡ − − ⎤ + − + − ⎪×

⎨⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

= ⎧⎪ − − − +⎡⎣ + − + ⎤⎦ + ⎫⎪

⎨ ⎬

⎡ + − + + − ⎤ − +

⎪⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

⎛ +

⎜⎝

+

( )

( ) ( )

( )

11

11 11

11

2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2

3 11

2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4

2 2 1 2 2 11 1 2

111 211

4 4 4 4 4

12 21 1 2

111

2

d

m

d d

m

d

C M

C C

M M

C M

ω ω ω ω ω µ ω ω µ ω ω

ω ω

ω ω ω ω µ ω ω µ ω ω ω µ ω ω µ ω µ ω µ ω ω µ ω ω µ ω µ

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎪⎪

⎪⎨ ⎬

⎪⎪

⎪ ⎧ ⎞ ⎫

⎪ ⎪ ⎟− + + + ⎪

⎪ ⎪ ⎠ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪

⎪ ⎨− + + + + − + + + ⎬

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪+ − − + + + ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎪⎭

⎩

1 2

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎪⎭

（46）

其中

st

Z

Z 為主系統質塊之無因次化響應。

吸振指標之定義

吾人定義一吸振指標（power absorption index）以方便探討主系統加裝上吸振器後之吸振效應。此定義係於頻率響應函數圖中，計算耗能的比較方式。其表示式為

(11)

11

* P

Pa P

dva no a

= （47）

其中P_dva為加入吸振器後主系統在頻寬下之正規化（normalized）功率頻譜，P_{no a}^則為主

系統未加入吸振器時的對應值。

正規化功率頻譜 P 表示式為

2

P= ^R

L st

Z d Z

λ

λ λ

∫

（48）

其中λ_R為吸振頻寬之上限，λ_L為吸振頻寬之下限。吸振指標大小指示吸振效應之好壞，

當吸振指標愈小表示加裝吸振器後之吸振效果愈佳。

振能回收指標之推導與定義

當激振外力作用在主系統機台上時，由雙懸臂樑相互運動，造成纖維壓電材料伸縮時所產生壓電效應，將其所產生的電能回收再利用，吾人可將纖維壓電材料之纖維數量模擬 成一壓電分流阻尼 c，由 PZT 所形成的分流阻尼能量可定義一振能瞬間回收功率P_{h inst}

Ph inst =c w

(

&¹x x₌ * −w&² x x₌ *

)

² （49）

其中

(

w&¹ x x₌*−w&² x x₌*

)

²為吸振器懸臂樑w&₁^與懸臂樑w&2之相對速度的平方。振能瞬間回收功率可表示成

(

¹ * ² *

)

² ¹ ¹ ²

2 2

1 1

2 2

1 1 1 2

( ( ) ( *) ( ) ( *))

( *)( ( ) ( ))

( *)[ cos( ) cos( )]

h inst x x x x

P c w w c t W x t W x

cW x t t

η ϕ

ω η ω α ω ϕ ω α

= =

= − = −

= −

= − − −

& &

& & ₍₅₀₎

其中α₁，α₂為相位角

驅動頻率ω作用一週期( t 2π

= ω )所回收振能為振能瞬間回收功率對時間的積分，可求得每週期時間下的回收能量

2

hcycle 0 h inst

E P dt

π

=

∫

ω

2

2 2

1 1

0

2 2

1 1 1 2

0

2 2

2

1 1 1 1 1 2

( *)( ( ) ( ))

( *) cos( ) cos( )

= ( *) ( 2 cos( ))

hcycle

E cW x t t dt

cW x t t dt

cW x

π ω

η ϕ

ω η ω α ϕ ω α

ωπ η ϕ η ϕ α α

= −

= ⎡⎣ − − − ⎤⎦

+ − −

∫

& &

(51)

進一步可求得每週期循環之下振能平均回收功率P_{h av}

2 2

1 1 1 1 1 2

( *) ( 2 cos( ))

2

hcycle hav

E cW x

P ω η ϕ η ϕ α α

τ

+ − −

= = (52)

(12)

12

將(45)式之變數定義代入(52)式中，整理可得

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 2

( *) ( 2 cos( )) 2

hcycle hav

m

E cW x F A B

P m D

ω η ϕ η ϕ α α

τ ω

+ − − −

= = = (53)

其中(53)式中的 A、B、D 分別為

{ }

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 11 2 11 1 22 21 1

( *) [( )( )] [( )( )] 2[( )(2 )]

A W= x λ ς× × λ µ γ −λ + λ µ γ −λ + λ µ +λ µ ςγ λ (54)

{ }

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 11 2 22 21 1

1

2 2 2 2 2 2 2 2

11 1 22 21 2 1 2

( *) 2 [( )( )] [( )(2 )]

[( )( )] [( )(2 )] ( ) B W x

cos

λ ς λ µ γ λ λ µ λ µ ς γ λ

λ µ γ λ λ µ λ µ ς γ λ α α

= × × − + +

× − + + −

(55)

( )( )( )

⁽ ⁾

[ ] [ ]

{ }

⁽ ⁾

( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 6 2

1 2 11 21 1 2

2 2 4 2 2 2

1 2 21 1 1 2 11 2 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2

2 2 2

1

11 1 2 12 21 1 2

2

1

1 1

2

1 2 1

D

λ γ λ γ λ µ µ µ µ λ

µ µ µ γ µ µ µ γ λ µ γ γ λ

µ γ γ µ λ γ γ µ γ µ λ γ γ µ γ µ

µ µ

ς γ λ

µ µ µ µ µ µ µ µ

µ

⎧ − − − +⎡⎣ + − + ⎤⎦ + ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

+ − + + − − +

⎪ ⎪

⎩ ⎭

⎛ ⎞

+ − + + + − + + +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ ×

+ − + + + + − − + + +

2

λ4

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎡ ⎤

⎪ ⎪

⎢ ⎥

⎪ ⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

(56)

(53)式為振能平均功率之表示式，可再進一步表示成無因次形式P _hav ₂

/

hav hav

m

P P

F mω

= (57)

故可得

₂ /

hav hav

m

P A B

P F mω D

= = − (58)

吾人在此特定義一振能回收指標(vibration power harvesting index)以方便探討 PZT 回收功率效應。在外力頻率為寬頻之下，將無因次化振能回收平均功率積分頻寬，所穫得之值定義為振能回收指標P_h^∗，表示式為

^R

L

h h av

P ^λ P d

λ λ

∗ =

∫

(59) 若吾人著重於回收功率效應的分析，則可藉由振能回收指標大小判斷回收功率效應之好壞，當振能回收指標愈大即 PZT 回收功率效果愈佳。

3. 參數分析與討論

現將探討裝置雙懸臂樑吸振器後，系統的吸振與振能回收效應，由（46）式可得知，

吸振器影響主系統響應之參數有六，分別是質量比µ₁與µ₂，調諧頻寬γ₁與γ₂，壓電分流阻尼係數c及壓電材料連接雙懸臂樑的位置x*。因此以下將討論吸振器之六個參數對於吸振與振能回收兩指標之影響。

運用壓電分流阻尼之雙懸臂樑吸振器及智慧型吸振器之分析與研發

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫 ■ 成 果 報 告

□期中進度報告 運用壓電分流阻尼之雙懸臂樑吸振器及智慧型吸振器

之分析與研發

計畫類別： ■ 個別型計畫 □ 整合型計畫

計畫編號：NSC 97－ 2221 － E － 011 － 036－MY2

執行期間：

計畫主持人：黃 世 欽 共同主持人：

計畫參與人員：

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 ■ 完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、

列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

執行單位：國立台灣科技大學

中 華 民 國

目 錄

摘要 3

3

5

12

18

21

22

24

25

25

運用壓電分流阻尼之雙懸臂樑吸振器及智慧型吸振器 之分析與研發

∫

∫

∫

∫

(

)

f

m

∑

∑

∑

∫

∫

∑

∑

∫

∫

∑

∑

∑

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

{

}

( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( )

( )

∫

(

)

(

)

(

)

∫

∫

∫

{ }

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫 ■ 成果報告

□期中進度報告運用壓電分流阻尼之雙懸臂樑吸振器及智慧型吸振器

計畫主持人：黃世欽共同主持人：

中華民國

目錄

運用壓電分流阻尼之雙懸臂樑吸振器及智慧型吸振器之分析與研發