z 電阻器，電容器及電感器 。

電路學

第三章

儲能元件

基本電路元件

z 電阻器，電容器及電感器 。

z 電阻器消耗能量或將電能轉換成為其他的 能量形態；例如熱或光。

z 在理想狀況之下電容器及電感器並不消耗 能量，只儲存能量，並在一適當的瞬間裡 將能量送回到電路。

z 電容器儲存電能。

z 電感器儲存磁能。

電容器

z 由兩片厚度甚薄且導電性相當高的電極板 夾著一片電阻甚高的絕緣介電質所構成

(a)基本結構 (b)電路符號

電容器

z

任何一電容器所帶的電容量可以表示為：

C=ε

ε

A/d[F] (3-1)

ε

＝真空的介電常數為一基本物理量，其值為8.8×10

F/m。

ε

＝介電質相對於真空的相對介電常數，為一無因次單位，

工業界常以K來表示。

A＝電極板的面積。

d＝兩電極板之間的距離，亦即介電材料的厚度。

電容量的基本單位為法拉(farad，F) ，由(3-1)式可知電容

器的電容量隨著所用的介電質，介電質的厚度以及存在於

介電質表面的電極板之面積來變。

表3-1 介電常數

鈦酸鋇陶瓷 8000 水 7.8 玻璃 7.5 電木 7.0 雲母 5.0 橡膠 3.0 紙 2.5 蠟 2.25 鐵弗龍 2.0

1.008 空氣

1.000 真空

介電常數 材料

電容器

z 除了電容量以外，在使用電容器時另一個必須 知道的參數就是它所能耐的電壓，當使用超過 其所能耐的電壓時，電容器將會被破壞。

z 電容器在電路裡的主要工作是儲存電能，亦即 是指儲存電荷。當一個大小為V的電壓加入於電 容量為C的電容器兩個電極板之間時，它可以使 數量為Q的電荷量儲存於電容器裡：

Q[C]＝C[F]×V[V] (3-2)

充電&放電

z 加入電壓使電荷儲存於電容器的工作稱為 充電，當電路的連接方式有所改變時，儲 存於電容器裡的電荷量可能被移走而在電 路裡作其他的應用，使電荷量移離電容器 的工作稱為放電。

z 對一理想而沒有損失的電容器而言，在充

電過程裡儲存了多少電荷量則在放電過程

裡會放出相同數量的電荷量。

充電&放電

z

理想電容器是指所用的介電質為完美的絕緣材料，其電 阻值為無限大。

z

但實際上介電質的電阻不可能為無限大而是一有限值 (其值相當大)。當此一有限值存在時，視同為在電容器 兩電極板之間存在有一電阻器。

z

電壓加入後，將因此一電阻器的存在而產生了一個甚小 的電流在其間流動，此一小電流稱為漏電流。

z

漏電流的流動會使兩電極板之間產生放電現象。因此對 一實際電容器而言，所充的電荷量有一部份將因漏電流 的存在而損失掉，因此其放電量通常會較充電量為小。

z

充電&放電

圖3-2 電容器之漏洩

充電&放電

z 電容器沒有充電時，每一電極板上具有相同數目的正電荷以及 負電荷，若將一伏特計跨於兩電極板之間則其讀數為零[圖3- 3(a)]。

z 圖3-3(b)所示為加入電源來進行充電的情形，此時帶負電性的 電子會離開電容器右邊的電極板而往電源的正極來流動。同時 電子會離開電源的負極而流動到電容器左邊的電極板。當一個 電子離開電容器右邊的電極板，而到達電源的正極時，另一個 電子必須離開電源的負極往電容器左邊的電極板來流動，通過 介電質而補充到右邊的電極板，亦即產生電流，但因介電質為 絕緣體所以此一電流並不存在。因電子無法通過介電質，所以 它將累積在左邊的電極板，相似的在右邊的電極板因為帶負電 的電子被移走，所以在充電結束時，右邊的電極板將累積了大 量的正電荷。

z 充電結束後存在於右邊電極板的正電荷數量將等於存在於左邊 電極板的負電荷數量。因為這些電荷量存在，所以在充電完畢 後將有一個大小等於外加電源的電壓跨於電容器的兩端，如圖 3-3(c)所示。也就是指充電完畢後電容器可視同為一電源，在

充電&放電

圖3-3 電容器充電過程(a)尚未充電，(b)正在充電，(c)充電完畢

充電&放電

z 一個充電完畢的電容器在沒有漏電流存在的理 想情況之下，其電荷會一直存在於兩電極板之 上，也就是指會有一電壓跨於兩電極板之間，

欲使此一電壓降為零則必須要經過放電處理。

所謂放電處理就是在兩電極板之間連接另外一 條沒有電源存在的通路，使存在於右邊電極板 的正電荷能經由此一通路來與存在於左邊電極 板的負電荷產生中和，隨著中和量的增加，存 在於兩電極板上的電荷量亦即跨於兩電極板之 間的電壓會減少，當電荷量或電壓降為零時，

即表示放電工作完成。

充電&放電

z 圖3-4所示為電容器放電工作的處理方式，圖3-

4(a)的電路與圖3-3的電路相似，但其中多了一

個包含有開關2的通路，此一通路並不存在有電

源。當開關1閉合而開關2為打開時，電路如圖

3-3(b)的電路是處於充電的狀態。當充電完畢

後，將開關1打開，但使開關2閉合。當開關2閉

合時將提供了一條能使左邊電極板的電子與右

邊電極板正電荷產生中和的通路，也就是提供

了一條能使左邊電極板的電子流向右邊電極板

的通路，如圖3-4(b)所示。當中和完畢時，跨於

兩電極板之間的電壓將降為零，如圖3-4(c)所

示，就是指電容器放電完畢。

充電&放電

圖3-4 電容器的放電(a)已充電之電容器，(b)進行放電，(c)放電完畢

充電&放電

z

充電時電流的流向與放電時相反，但無論是那一種情

形，電流都是經由外部電路由某一電極板流向另一電極

板但都不會流過介電質。

靜電場

z

電容器被充電後，在其

兩電極板上分別存在有

不同極性的電荷。因這

些電荷的存在，所以在

介電質裡將存在有一電

場，此一電場是由不可

移動處於靜止狀態的電

荷所產生，因此亦稱為

靜電場。此一電場的大

小與電極板上的電荷量

成正比，並且以電力線

或電通量來表示。

電力線

z

電力線由正電荷發出而終止於負電荷，兩電荷相吸或相 斥是因電力線的連通或電力線的相互排斥所導致。

z

在任何空間裡電力線永不相交。

圖3-7 靜電場分布(a)電荷相吸引，(b)電荷相排斥

靜電場

z 在電荷周圍必有相對應的電場存在。任何一點的電場大小與電荷量 的大小以及此點與產生電場的電荷之距離有關。

當兩電荷相互靠近時，它們之間的作用力為

此一關係可以改寫為：

F=Q₁E[N] (3-3) 其中

(3-4)

是電荷Q₂在距離r處所形成的電場。由前面的推論可知，在任何一 點的電場強度E可以表示為：

E=F/Q[N/C] (3-5)

是指在任何一點的電場強度等於在該點單位電荷所受到的作用力。

] N r [

Q k Q

F= ¹₂ ²

] m / V r [

k Q E = ₂²

靜電場

若將某一單位電荷由a點移至b點所需的能量為：

(3-6) 而ab兩點之間的電壓可定義為：

(3-7) 其中d表示a與b之間的距離。

因此可知電場與電壓的關係為：

E=V/d[V/m] (3-8)

也就是指在兩點之間的電場強度等於跨於這兩點之間的 電壓除以這兩點之間的距離。

] J [ QEdx Fdx

W

= ∫

= ∫

] V [ Ed Q Edx

V

= W

= ∫

=

例3-1

z

在真空中某點P放上一電量為3×10

C的點電荷，此一點 電荷會受到5×10

N的靜電力作用，請問此一P點的電場 强度為多少？

z

[解]：由(3-5)式可知

] m / V [ 10 67

. C 1

10 3

N 10 5

Q

E F

4

= ×

×

= ×

=

電容性時間常數

z 當有一直流電源跨於電容器兩端時，將會使電 容器產生充電工作，在充電完成後跨於電容器 兩端的電壓將等於直流電源的電壓。而如果一 個已經經過充電的電容器，當它和一負載相連 接時，電容器將經由此一負載來放電。

z 無論是充電或放電都不是瞬間能完成的，而是

需要經過一段時間才可能完成。充電或放電所

需要的時間是與電路的時間常數有關，而時間

常數則與電路裡的電容值以及電阻值有關。

電容性時間常數

z 以圖3-8(a)的電路來說明充電的情形，此一電路包含有一個100V的直流電 源，一個電容量為2μF而完全沒有充電的電容器，以及一個1MΩ的電阻 器，這些元件是以串聯方式來組合。當開關閉合時，因電容器完全沒有充 電，所以跨於它兩端的電壓為零，也就是指電源與電容器之間存在有電位 差，因此會有電流在電路裡流過，以使電容器得予充電。當電容器開始充 電時，跨於它兩端的電壓會上升，使電源與電容器之間的電位差變小，因 而使在電路裡流通的電流也隨之減少。當電源與電容器之間的電位差為零 時，流通於電路裡的電流將為零，也就是指此時充電工作已完成，跨於電 容器兩端的電壓等於電源的電壓，如圖3-8(b)所示。

圖3-8 電容器之充電(a)充電開始，(b)充電完成

電容性時間常數

z

在充電過程裡，跨於電容器兩端的電壓之增加速率或流 通於電路裡的電流減少速率是與電路裡的電容值以及電 阻值有關。電路裡的電容值與電阻值的乘積稱為電路的 時間常數，τ，亦即

τ＝RC[s] (3-9)

R單位為歐姆(Ω)，C單位為法拉(F)，τ單位為秒(s)。

z

對圖3-8的電路而言，其時間常數為

τ＝RC＝2μF×1MΩ＝(2×10

)(1×10

)＝2[s]

z

某一電路的時間常數是指在該時刻裡電路的變量參數；

如電壓或電流等將達到其最終值的63.2﹪。

電容性時間常數

z 對任何一電容器而 言，在充電過程裡 其電壓對時間的變 化如圖3-9所示。由 圖上可發現電容器 的電壓是以指數方 式隨時間來增加。

電容性時間常數

z 在第一個時間常數的時段裡，亦即1RC＝2s裡，電容器將充電到其最終值 的63.2%，也就是100V×63.2%＝63.2V。

z 在第二個時間常數的時段裡，也就是由2s到4s的時段裡，電容器將充電至 所剩的電壓之63.2%。在第一個時間常數的時段裡電容器已充電到63.2V，

因此所剩的電壓為(100V－63.2)＝36.8V，在第二個時間常數的時段裡，電 容器因充電而增加的電壓量為(63.2%×36.8V)＝23.2V。也就是指由開關關 上後，經過了兩個時間常數後，電容器因充電所得到的電壓為(63.2V＋

23.2V)＝86.5V，或最終值的86.5%。

z 在第三個時間常數的時段裡，也就是由4s至6s，電容器因充電所增加的電 壓為[(100V－86.5V)×63.2%]＝[13.5V×63.2%]＝8.532V，因此在第三個時間 常數終了時，電容器因充電所得到的總電壓為[86.5V＋8.532V]＝95V，也 就是指在此時它已充電到最終值的95%。

z 在第四個時間常數時段裡[由6s至8s]，電容器因充電所增加的電壓為[(100V

－95V)×63.2%]＝[5V×63.2%]＝3.2V。因此在此一時段終了時電容器充電 所得到的總電壓為95V＋3.2V＝98.2V，也就是達到最終值的98.2%。

z 在第五個時間常數時段裡[由8s至10s]，電容器因充電所增加的電壓為 [(100V－98.2V)×63.2%]＝[1.8V×63.2%]＝1.1V，因此在經過5個時間常數 後，電容器所充的電壓已達98.2V＋1.1V＝99.3V，也就是達到最終值的 99.3%。此時電容器視同為已經充電完成。

電容性時間常數

z 在充電過程裡充電電流會隨著電容器電壓的增加而減少，在充電完 成後此一充電電流將減少至零。

圖3-10 充電電流的時間關係曲線

電容性時間常數

z

流動於圖3-8電路裡的充電電流可以表示為：

i=(V

－V

)/R (3-10)

其中V

表示電源電壓，V

表示跨於電容器兩端的電壓

z

在開關關閉的瞬間，因電容器沒有電壓存在；V

＝0，

所以充電電流為：

i=(100V－0V)/1MΩ=100[μA]

為最大值。但隨著充電工作的進行V

會增加，充電電 流會隨之而減少。因V

隨著時間常數的增加作63.2%比 例的方式來上升，因此充電電流將隨此一比例來減少。

z

當第一個時間常數終了時，電容器電壓上升到63.2V，

此時充電電流將下降至

i=(100V－63.2V)/1MΩ=36.8[μA]

也就是在此一時段裡電流衰減了63.2%。

電容性時間常數

z

在第二個時間常數時段裡，充電電流繼續以63.2%的比 例來下降，在此一時段裡，充電電流下降了

63.2%×36.8μA＝23.3[μA]

在此一時段終了時，充電電流只剩下

100μA－(63.2μA＋23.3μA)＝13.5[μA]

也就是指充電電流下降到只剩下13.5%。

z

在第三個時間常數的時段裡，充電電流繼續以63.2%的 比例來下降到5μA，也就是只剩下5%。

z

在第四及第五個時間常數的時段裡，充電電流分別下降 到1.8μA及0.7μA，也就是指在第五個時間常數終了時，

充電電流下降到0.7μA也就是只剩下0.7%，如此小的一

個數值可視為接近於零，也就表示充電工作已完成。

電容性時間常數

z 在純電阻性電路裡電流增加會導致電壓增加，兩者以同步的方式來變化，

也就是說對電阻器而言，流過它的電流與跨於它的電壓是為同相。但在電 容性電路裡，電壓與電流不再是同相，電壓的增加會導致電流的減少，如 圖3-11所示，也就是指兩者為異相。在電容性電路裡電流是領先電壓，也 就是指在此一電路裡先有電流的流通才產生跨於電容器兩端的電壓。

圖3-11 電容性電路的電流與電壓關係

電容性時間常數

z 在充電過程裡電壓是以指數方式來上升，

而電流則是以指數方式來下降。但在放電 過程裡電壓及電流都是以指數方式來減 少，但放電電流的方向是與充電電流的方 向相反，如圖3-12所示。

z 由圖3-12可知在放電開始的瞬間電壓及電

流均為最大，隨著時間的增加，它們均以

63.2%的比例以指數方式來減少，經過五

個時間常數後均降到零。

電容性時間常數

圖3-12 放電過程(a)電壓與(b)電流的變化情形

電容器的組合

z

如同電阻器一樣，電容器也可以作串聯或並聯的連接。

圖3-13 電容器的並聯

電容器的組合

z 由並聯組合的條件可知，跨於每一電容的電壓是相等的而且等於外加電 壓，流入每一電容器的電流或電荷量的總和是等於總電流或總電荷量Q_T， 因此

Q_T＝Q₁＋Q₂＋⋅⋅⋅⋅⋅＋Q_n[C] (3-11) 因Q＝CV，所以

C_TV_T＝C₁V₁＋C₂V₂＋⋅⋅⋅⋅⋅＋C_nV_n[C] (3-12) 其中C_T及V_T分別表示總電容量及外加電壓。

C_i及V_i(i＝1，2，⋅⋅⋅⋅⋅，n)分別表示每一電容器的電容量及跨於 它們之上的電壓。

由並聯條件可知

V_T＝V₁＝V₂＝⋅⋅⋅⋅⋅＝V_n[V] (3-13) 所以

(3-14)

z 在並聯時，總電容量等於各個電容器的電容量之總和，此一情形與電阻器 串聯者相似。

= ∑ +

⋅

⋅

⋅

⋅ + +

+

= =

n

1

i n

n 3

2 1

T C C C C C [F]

C

電容器的組合

z 電容器的並聯可以利用圖3-14的方式來加予說明，圖3-14(a)裡所示 為兩個電容器分別為2μF及4μF的電容器並聯組合的情形，假設這 兩電容器所用的介電材料及厚度均相同，則當它們並聯時，其組合 情形，如同圖3-14(b)所示，也就是合成一個面積較大的電容器。由 電容的關係可知當ε_r及d為一定時，A的增加將會導致C的增加。

電容器的組合

z 在串聯時，流過每一個電容器的電流或電荷是相同 的，而跨於每一電容器的電壓之總和則等於外加電 壓，因此

V_T＝V₁＋V₂＋⋅⋅⋅⋅⋅＋V_n[V] (3-15) 因此

(3-16) 因

Q_T＝Q₁＝Q₂＝⋅⋅⋅⋅⋅＝Q_n[C]

所以

(3-17) 或

(3-18)

] V C [ Q C

Q C

Q C

Q

n n

2 2

1 1

T

T = + +⋅ ⋅⋅ ⋅⋅+

] F / 1 C [

1 C

1 C

1 C

1 C

1 ⁿ

1

i i

n 2

1 T

= ∑ +

⋅

⋅

⋅

⋅ + +

= =

] F )[ C / 1 ( )

C / 1 ( ) C / 1 ( C 1

n 2

1

T = + +⋅⋅⋅⋅⋅+

電容器的組合

z

在只有兩個電容器串聯的特殊情形下，其總電容量可以 表示為：

(3-19) 其情形與電阻器並聯者相似。

已充電的電容器在串聯時，如同電阻器串聯一樣可用來 作為分壓器使用，也就是

(3-20) 其中C

及V

分別表示總電容器及總電壓

V 表示跨於 電容器兩端的電壓

] F C [ C

C C C

2 1

2 1

T

= +

] V [ C V

V C

X T

CX

= ×

例3-2

z

試求下圖電路的總電容量。

z

[解]：因為是並聯，所以總電容量為

C

=C

＋C

＋C

=1μF＋0.5μF＋0.75μF=2.25μF

例3-3

z

試求左電路的總電容量。

z

[解]：因為是串聯，所以 總電容量為

F]

6[

. 0 F]

5714[

. F 0 75 . 1

1

F 1 F 5 . 0 F 25 . 0

1

) F 1 1 ( ) F 2 1 ( ) F 4 1 (

1

) C 1 ( ) C 1 ( ) C 1 ( C 1

3 2

1 T

μ

≈ μ μ =

=

μ + μ +

= μ

μ +

μ +

= μ

+

= +

例3-4

z

若所加入的電源電壓為24V，試求跨於例3-3電路中每一 個電容器的電壓為多少？

z

[解]：由分壓器法則可知

7[V]

. 13 F 24V

1

F 5714 .

V 0 C

V C

9[V]

. 6 F 24V

2

F 5714 .

V 0 C

V C

4[V]

. 3 F 24V

4

F 5714 .

V 0 C

V C

T 3

T C

T 2

T C

T 1

T C

3 2 1

= μ ×

= μ

×

=

= μ ×

= μ

×

=

= μ ×

= μ

×

=

電容器的i ∼v特性

z 當加上電壓後在電容器的兩電極板上存在有不

同電性的電荷，因此形成了一電場，而使它能

儲存能量，而儲存有多少能量，則必須要先求

知有多少電流流過電容器以及跨在電容器的電

壓為多少。因介電質為高絕緣性物質，所以流

過與電容器相連接導線的傳導電流是無法直接

流過電極板，但若所加入的是隨時間變化的電

壓時，則電容器內會產生漂移電流，此一漂移

電流等於傳導電流。

電容器的i ∼v特性

z 由電流的定義可知

若q(t)是儲存於電容器電極板上的電荷量，即 若C為定值，即

(3-21) 或

(3-22)

其中i_C(t)及v_C(t)分別表示流過電容器的電流及跨於電容器的電壓。

] A dt [ ) dq t ( i_C =

] A )[

t ( dt Cv ) d

t (

i_C = _C

] A dt [

) t ( Cdv )

t (

i_C = ^C

] V [ dt ) t ( C i

) 1 t (

v_C = ∫₋^t_{∞ C}

電容器的i ∼v特性

z 若將(3-22)式從t＝－∞積分到某個時間t，且假設v(－∞)＝0，可得 到：

(3-23)

其中v_C(t_o)表示由時間t＝－∞到t＝t_o電容器電極板聚集的電荷所產 生的電壓。

若設t_o＝0，則(3-23)式可改寫為：

(3-24)

其中v_C(0)稱為初始電壓，它表示在電路工作前已經存在於電容器 的電壓，此一初始電壓對電路的工作會產生影響。

] V [ dt ) t ( C i

) 1 t ( v

dt ) t ( C i

dt 1 ) t ( C i

dt 1 ) t ( C i

) 1 t ( v

t t C o

C

t t C t

C t

C C

o

o o

+ ∫

=

∫

∫ +

∫ =

= _{−∞ −∞}

] V [ dt ) t ( C i

) 1 0 ( v ) t (

v_{C C t}^t _C

∫o

+

=

電容器的i ∼v特性

z

當電荷聚集在電極板時即表示電容器儲存有能量，此一 能量可由傳導到電容器的功率來求得。由功率的關係可 知：

(3-25) 因此所儲存的能量為：

(3-26)

] W dt [

) t ( ) dv t ( Cv )

t ( v ) t ( i ) t (

p

=

=

] J C [

) t ( q 2 ) 1 t ( 2 Cv ) 1

t ( 2 Cv ) 1

t ( dv ) t ( v C

dt dt ) t ( ) dv t ( v C dt dt

) t ( ) dv t ( v C )

t ( w

2 2 C

C )

t ( v

0 ) ( v 2

C C

) t ( v

) (

V C

t C

C

t C

C C

=

=

∫ =

=

= ∫

= ∫

=

−∞ −∞

∞

−

∞

−

磁的現象

z 電與磁的關係相當密切。沒有磁的作用，所有的發電機、電動機、

變壓器、繼電器、自動開關等設備均無法工作。電與磁之間的作用 是經由所謂電磁感應所產生，磁鐵的運動可產生電流，電流的流通 可形成磁場，並形成電路基本三元件之一的電感器之工作。

z 凡是能吸引鐵的物質均稱為磁鐵，使物質具有此一吸鐵性之作用稱 為磁化。依形成方式磁鐵可分為天然磁鐵及人造磁鐵兩種。依磁性 存在之久暫來分，磁鐵可分為暫時磁鐵及永久磁鐵兩種。暫時磁鐵 之磁性只有在磁化時存在，磁化作用移去後，磁性即消失。但永久 磁鐵之磁性歷久不衰。

z 在磁鐵裡，磁性最強的部位稱為磁極，磁極有南極(S極)及北極(N 極)之分。如同電荷一般，磁極間有作用力存在，同極性的磁極相 斥，異極性的磁極相吸。磁極間之作用力如電荷作用力一般可用庫 倫定律來表示

。

磁的現象

z 庫倫磁力定律是指兩磁極間之作用力與兩磁極強度之乘積成正比，

而與磁極間距離之平方成反比，即：

F=km₁m₂/r²[N] (3-27)

其中，m₁及m₂分別表示磁極強度，其單位為韋伯(Weber，Wb)。k 為一隨所用單位以及磁極存在的介質的特性而定。在SI系統裡，

k=1/4πμ[m/H] (3-28) μ稱為導磁係數，它可表示為：

μ＝μ_oμ_r (3-29)

μ_o為真空中之導磁係數其為一物理量，其單位為亨利/公尺(H/m)，

而大小為

μ_o＝4π×10－7[H/m]

μ_r為物質相對於真空之導磁係數，稱為相對導磁係數。如同ε_r一 樣，定義為相隔距離不變之磁極，置於真空中與置於介質中作用力 之比。設在真空中之作用力為F_o，在介質中之作用力為F，則：

μ_r=F_o/F=μ_o/μ (3-30)

磁的現象

z 磁極的特性就是N極與S極必須相伴而生，不像正負電荷可以單獨 存在。任何一磁鐵，其中一端為N極，另一端為S極。若從中間將 磁鐵截成二半，則每一半會自動形成包含有N極及S極之磁鐵。

z 磁極間因有作用力存在，故被認為在其周圍有一與地球引力場相似 的力場存在，此一力場稱為磁場。磁場之分佈情形可由小指南針在 磁鐵周圍運動時，其指針的指向來判定，如圖3-18所示。通常可用 所謂磁力線來表示磁場，如圖3-19所示。

磁的現象

磁力線具有以下之特點(磁鐵磁力線之分布如圖3-20所示)：

(1)磁力線本身有伸縮之特性，磁力線之間彼此相斥，互不相交。

(2)磁力線為封閉曲線，由N極出發，經由空間回至S極，然後在磁鐵內部由S 極回至N極而完成迴路。

(3)磁力線離開或進入磁鐵時，必垂直於磁鐵表面。

(4)磁力線的疏密，表示磁場之大小。

(5)磁力線上某點之切線方向，表示該點磁場之方向。

磁的現象

z 通過某一面積之磁力線數稱為磁通，以φ來表示，其單位為韋伯 (Wb)。在空間中，每單位面積垂直通過之磁通數稱為磁通密度，以 B來表示，設截面積為A之空間所垂直通過之磁通為φ，則

B=φ/A[T] (3-31)

磁通密度單位為特斯拉( T)，相當於每平方公尺有1韋伯之磁通。

z 在磁的現象裡另一個重要而必須要考慮的參數為磁場強度，磁場強 度是指單位磁極在磁場中某點所受到之作用力

H=F/m[N/Wb] (3-32)

z 因磁通密度可用來表示磁場之大小，因此磁通密度與磁場強度具有 以下的關係：

B＝μH[T] (3-33)

z 磁場強度與磁通密度均為向量，其方向為單位N極之受力方向。磁 場強度之單位為牛頓/韋作(N/Wb)，或安匝/公尺(A/m)，在電磁感應 裡以後者的用途較廣。

磁化曲線

z 在目前實際使用的磁鐵材料多為人工磁鐵，這 些磁鐵在製造完成後並不具有磁性，必須將之 置於磁場內經過所謂磁化處理後才具有磁性。

在磁化過程中表現磁化力與物質之磁通密度的 關係曲線稱為磁化曲線或磁滯迴路。因為此一 曲線所表示的是物質內磁通密度B與外加磁場H 之間的關係，故通常稱之為B~H曲線。

z 一般材料，其剩磁較大者，適於製造永久磁

鐵，而剩磁較小者，適用作為暫時磁鐵。在使

用任何磁鐵時，必須要知道其磁化曲線，以了

解材料過去的磁特性，以選擇適當的材料。

磁化曲線

z 當磁化開始時，物質沒有磁性，

故H=0及B=0，如圖3-21上的o 點。當磁場增加時，磁通密度會 隨之而上升，首先磁通密度快速 上升，然後緩慢增加，最後達到 飽和。其變化過程如oa線所示。

若降低H，B並不循原線回至原 點，而沿abc的路徑下降，在到 達b點時，因外加磁場為零，故 此時之磁通密度稱為剩磁，此一 磁通密度較磁場變化為遲緩之現 象，稱為磁滯。當磁場往反方向 增加，使磁通密度下降至零，此 時的反向磁場大小oc稱為頑固磁 力。若磁場繼續向負方向增加，

到達d點時，則B沿de方向變 化，當H＝0時，有一反向剩磁 oe存在，若將H繼續增加，使B

可重返a點。 圖3-21 磁滯迴路

電流之磁感應

z 磁場除了由磁鐵產生外，亦可由通以電流之導體來產生，如圖3-22 所示。當電流I通過導體時，在距離導體中心r處的磁場強度為：

H=I/(2πr)[A/m] (3-34)

此一磁場的方向可用安培右手法則來表示，以右手握導體，姆指指 向電流方向，則其餘四指所指之方向，即為磁力線之方向，如圖3- 23所示。

圖3-22 電流之磁場效應 圖3-23 安培右手法則

電流之磁感應

z 若將導體彎曲成圓環形，即形成一單匝線圈，當電流通過單匝線圈 時，根據右手法則，線圈周圍有磁場，其分布情形如圖3-24所示。

同時因對稱關係，單匝線圈所產生的磁場大多集中於線圈中心，而 在線圈外，因互相抵消而使磁場變弱。設此一單匝線圈的半徑為 a，所通過的電流為I，則在線圈中心點的磁場為：

H=I/2a[A/m] (3-35)

電流之磁感應

z 將導體繞成具有N匝的多匝線圈，若其厚度遠小 於半徑，則磁場集中於線圈內部及其大小為：

H=NI/2a[A/m] (3-36)

z 若將導線沿一定軸繞成螺旋形之長管，或一多 匝線圈所繞成之管狀線圈，其長度遠較其半徑 為大者，稱為螺管。當通以電流時，螺管的磁 場分布如圖3-25所示。欲表示此一磁場的分布 可用右手螺管法則來表示，即以右手握螺管，

除姆指外，以其餘各指表示電流方向，則姆指

之指向為磁場方向，如圖3-26所示。

電流之磁感應

圖3-25 螺管磁場 圖3-26 右手螺旋法則

電流之磁感應

z

若螺管之長度遠大於其半徑，則螺管內各點之磁場強度 除靠近兩端者外，頗為均勻，其大小與導線中電流及螺 管所含線圈之匝數成正比，與螺管之長度成反比，而與 螺管之半徑無關。即：

(3-37) 若螺管之長度與其半徑相差不大時，則

(3-38) 其中，L表示螺管長度，a表示其半徑。

在上两式裡，均可發現NI此一乘積的存在。此一乘積稱 為磁動勢(mmf)為磁通之來源，以F來表示，其單位即安 匝(A-t)。可知在相同的電流之下，線圈圈數愈多，所產 生的磁場愈大。

( ^{L a} ) ^{[ A / m ]}

L

H = NI 〉〉

] m / A ) [

L a

4 ( H NI

12

2 2

+

=

法拉第感應定律

z 電流的流動可以產生磁場，相反的磁場的變化也可以產生電動勢或 電流。此一因磁場變化而導致電流產生的現象稱為是電磁感應。

z 電磁感應可以用圖3-27的實驗組合來觀察。此一實驗組合包含了一 塊棒型的電磁鐵，一個和電流表串聯在一起的線圈，此一電流表的 零點是位於中央。當電磁鐵與(線圈/電流表)組合兩者維持不動時，

電流表並不產生工作。

圖3-27 電磁感應實驗組合

法拉第感應定律

z

當電磁鐵與(線圈/電流表)產生相對運動，使兩者相互 靠近時，電磁鐵的磁力線將會切割到線圈，當此一現 象發生時將在線圈裡感應得到一電動勢，進而產生了 電壓並導致電流在線圈裡流動，如圖3-28(a)所示。當 電磁鐵固定於線圈內不再產生運動時，並不會產生感 應電壓，因此不再有電流流動，如圖3-28(b)所示。若 將電磁鐵以反方向來拉離線圈時，因存在有相對運 動，因此又可以感應出電壓，而使電流再度產生，但 因運動方向相反，所以感應到的電流之流向為相反，

如圖3-28(c)所示。如果電磁鐵之運動速度加快，則所

感應得到的電壓及電流也相對的變大，同時若電磁鐵

不斷作往返工作時，電流的流向也不斷作往復的變

化，如圖3-28(d)所示。若採用磁場強度較大的電磁鐵

[圖3-28(e)]或採用圈數較多的線圈[圖3-28(f)]也可以使

感應得到的電壓及電流變大。

法拉第感應定律

圖3-28 電磁感應

法拉第感應定律

z 如果某一導體與某一磁場兩者間產生相對運動，則會在導體裡感應 出一電壓。此一感應電壓的大小與線圈的圈數，磁場的大小及相對 運動的速率有關，此一關係稱為法拉第感應定律，它可以表示為：

(3-39)

其中V_ind表示感應所得到的電壓，N表示圈數亦即匝數，φ表示穿過 線圈之磁通量。線圈匝數與其交鏈磁通量之乘積稱為通鏈

λ=Nφ [Wb] (3-40)

(3-39)式亦可解釋為線圈所感應之電壓與其磁通鏈之瞬間變化率成 正比，即

(3-41)

(3-39)及(3-41)式中之負號所代表的意義為感應電壓所產生之感應電 流，恆有一效應反對感應作用之產生，亦即反對磁通量之變化，此 一關係稱為楞次定律。

] V t [ N V_ind

Δ φ

− Δ

=

] V t [ V

Δ λ

− Δ

=

法拉第感應定律

z 楞次定律可用來決定感應電壓之極性或感應電流之流向，當線圈之 磁通有增減趨勢時，感應電流之磁場有阻止線圈磁通之減增趨勢，

如圖3-29所示，當磁鐵N極移向線圈時，線圈中之磁通將增加，則 感應電流所產生之磁通將與由磁鐵N極所發出者相反，易言之，亦 即在線圈左側感應一N極以反對磁鐵N極之進入。相反的，當磁鐵 N極移離線圈時，感應電流之磁場將在線圈左側感應出一S極，以 反對磁鐵N極之移離。

自感

z 當通過線圈之電流發生變動，而使線圈本身之通鏈發生變化，線圈 即感應出電壓。若產生感應電壓之通鏈變化是由線圈本身電流所引 起，則此一線圈具有自感。

z 設有一N匝之線圈，通有i(t)之電流，所產生之磁通量為φ(t)，由法 拉第感應定律可知此線圈之自感電壓為

(3-42) 其中L稱為線圈之自感量或電感，它可表示為

(3-43)

單位為亨利(H)，以磁的單位來表示即1H＝1Wb-t/A，由(3-43)式可 知亨利也可定義為單位電流變化率所感應之伏特數。

] V t[ L i t i N i

N t V_ind

Δ

= Δ Δ Δ Δ

φ

= Δ Δ

φ

= Δ

] H t[ I V N i

L ^ind

Δ

= Δ Δ

φ

= Δ

自感

z

電路之電感為電路之固有性質，自感電壓之方向可由楞 次定律決定，若電路之電流增加，則自感電壓將反對電 流之增加，其方向與電流相反。若電路之電流減少，自 感電壓將反對電流之減少，其方向與電流同方向。由上 述的說明可知電感效應具有反對電流變化之特質。具有 電感性質之元件稱為電感器。

z

電感器是將導體圍繞於一磁性材料，亦即是將線圈架構 於磁性材料上所形成。電感器的電感量是與

1.線圈的圈線亦即匝數 2.線圈的面積

3.線圈的長度

4.所用的磁性材料

等有關。

自感

z

線圈的圈數愈多電感量 愈大，如圖3-30所示，

基本上電感量是與圈數 的平方成正比。

圖3-30 電感量與圈數的關係

自感

z

線圈的面積愈大，則電感量愈大，電感量是與面積成 正比，如圖3-31所示。

圖3-31 電感量與線圈面積的關係

自感

z 電感量是與線圈的圈數及面積成正比，但與線圈的長度成反比，在 圈數及面積為固定時，線圈愈長電感量愈小，如圖3-32所示。

圖3-32 電感量與線圈長度的關係

自感

z 若所使用的磁性材料其導磁係數愈大，則電感量愈大[導磁係數為 表示材料磁特性能力之一個參數，導磁係數愈大則表示其磁特性愈 強]，如圖3-33所示，表3-2所示為某些常用材料的導磁係數。

表3-2 某些材料的導磁係數

*相對導磁係數μ_r是 指材料相對於真 空或空氣導磁係 數之值，為一無 因次單位。

**導磁係數μ^**的單 位為Hm-1。

1.26 1×10^－6

超高導磁合金

8.8×10^－3 7,000

矽鐵

6.9×10^－3 5,500

變壓器鐵

5.65×10^－4 鋼材 450

1.1×10^－4 鑄鐵 90

7.56×10^－5 鈷 60

6.28×10^－5 鎳 50

1.26×10^－6 真空或空氣 1

μ**

μ_r^* 材料

電感器

z 對任何一電感器而言電感量可以表示為：

(3-44) 其中N表示圈數

A表示線圈的面積 l表示線圈的長度

μ表示所用磁性材料的導磁係數 ]

H l [

A L N

2

μ

=

電感器

z

電感器可分為固定電感器及可變電感器兩種，圖3-34所 示為這兩種電感器的電路符號。

圖3-34 電感器的電路符號(a)固定，(b)可變

電感器

z 固定電感器依所用的磁性材料來分大致上可分為空氣芯，鐵芯及陶鐵體芯 三種。空氣芯電感器是以空氣來作為磁性材料。其特徵為電感量不隨所加 入的電流來變，其值通常較小(大約在10μH以下)，常使用在高頻設備方 面，如AM及FM收音機，電視，或其他通訊發射及接收電路方面。鐵芯電 感器是將線圈繞於具有較高導磁係數的鐵質材料之上而成。圖3-35(a)所示 為其一結構例子，而圖3-35(b)所示為其電路符號，此類電感器有較高的電 感量，可達數佰亨利，但只適用在直流及低頻交流電路。陶鐵體芯電感器 是將線圈繞於以陶瓷體所製成的磁性材料之上而成，其電路符號與鐵芯者 相似。

電感器

z

可變電感器其電感量為可變者，圖3-36(a)所示為其結 構，而其電路符號如圖3-36(b)所示。

圖3-36 可變電感器(a)結構 (b)電路符號

電感性時間常數

z

電感器對穩定的直流沒有任何作用，但它會對如圖3-37

所示的脈波型電流會產生作用，主要是因為當電流增加

或減少時會使磁場產生變化進而感應出電壓。

電感性時間常數

z 圖3-38所示為一串聯電路，包含有一直流電源，一個作限流用的電阻器以 及一個電感器，當開關關上時，電流將往電感器方向來流動，因而使電感 器產生了一個磁場並感應出一電壓，由楞次定律可知此一感應電壓反對電 流的增加，使電流無法馬上達到其最大值。

z 如同電容性電路一般，在此一電路裡電流必須經過五個時間常數的時間才 能達到其最大值。在電感性電路裡時間常數與電路裡的電感值以及電阻值 有關，它可以表示為：

τ＝L/R[s] (3-45)

圖3-38 電感性電路

電感性時間常數

z 圖3-39所示為電感性電 路電流增加率與時間的 關係。在第一個時間常 數的時段裡電流上升到 最大值的63.2%，而在第 二個時間常數裡電流繼 續上升並到達剩餘值的 63.2%，亦即86.5%，在 後續的時段裡，電流以 同樣的速率上升到第五 個時間常數終了時，電 流已上升至99.3%，而視 同為到達一飽和量。

圖3-39 電感性電路電流增加率與時間的關係

電感性時間常數

z 當電源被移走，同時電感 器被連接到一短路線，如 圖3-40(a)的b點時，存在 於電感器裡的磁場將被釋 放而產生了一流通於電路 裡的電流，但此一電流是 以衰減的形態存在，如圖 3-40(b)所示，也就是以五 個時間常數的時段來衰減 至零，在圖3-40(a)裡同時 表示了跨於電感器及電阻 器上的電壓變化。

圖3-40 電感器電流衰減之時間關係

例3-5

z 設有一電感性電路，其電源為12V直流，R=60Ω及L=24mH，試求當開關 關上後，流於其內的電流變化。

z [解]：此一電路的時間常數為，τ＝L/R＝24mH/60Ω＝400[μs]。

此一電路的最大電流為I_max＝V_s/R＝12/60Ω＝200[mA]。

第一個時間常數終了時；亦即開關關上後400μs，電流的大小為：

I＝63.2%×Imax＝0.632×200mA＝126.4[mA]

第二個時間常數終了時，亦即開關關上後800μs，電流的大小為：

I＝86.5%×Imax＝0.865×200mA＝173[mA]

第三個時間常數終了時，亦即開關關上後1200μs，電流的大小為：

I＝95%×Imax＝0.95×200mA＝190[mA]

第四個時間常數終了時，亦即開關關上後1.6ms，電流的大小為：

I＝98.2%×Imax＝0.982×200mA＝196.4[mA]

第五個時間常數終了時，亦即開關關上後2ms，電流的大小為：

I＝99.3%×Imax＝0.993×200mA＝198.6[mA]

接近於200mA，整個電流變化的情形如圖3-41所示。

例3-5(續)

圖3-41 例3-5的圖

電感器的組合

z

當電感器串在一起，如圖3-42所示時，其總電感量為：

L

＝L

＋L

＋L

＋……＋L

＝ [H] (3-46) 其結果與電阻器串聯或電容器並聯者相似。

∑

1 i

L

電感器的組合

z 如果將多個電感器並聯在一起，如圖3-43所示，則其總電感量可以 表示為：

(3-47) 在只有兩個電感器並聯的特殊例子裡

其情形與電阻器並聯或電容器串聯者相似。

= ∑ +

⋅⋅

⋅⋅

⋅ + +

+

= =

n

1

i i

n 3

2 1

T

] H / 1 L [

1 L

1 L

1 L

1 L

1 L

1

] H L [ L

L L L

2 1

2 1

T = +

例3-6

z

試求圖3-44電路的總電感量。

z

[解]：L

＝L

＋L

＋L

＝5mH＋7mH＋10mH＝22[mH]

圖3-44 例3-6的電路

例3-7

z 試求圖3-45電路的總電感量

z [解]：

圖3-45 例3-7的電路 mH

9 . 2

) mH 20 / 1 ( ) mH 5 / 1 ( ) mH 10 / 1 (

1

) L / 1 ( ) L / 1 ( ) L / 1 ( L 1

3 2

1 T

=

+

= +

+

= +

電感器的i∼v特性

z 電感器的電壓是正比於產生磁場的電流之時變率，當Δt趨近於零時電 壓電壓可以寫為：

(3-50) 由此可得知流過電感器的電流為：

(3-51) 或

(3-52) 若t_o＝0，則

] V dt [ L di )

t ( v

=

] A [ dt ) t ( L v

) 1 t (

i_L = ∫₋^t_{∞ L}

] A [ dt ) t ( L v

) 1 t ( i ) t (

i_{L L o t}^t _L

∫o

+

=

] A [ dt ) t ( L v

) 1 0 ( i ) t (

i

=

+ ∫

電感器的i∼v特性

z

由此可知傳到電感器的功率為：

(3-53) 因此，電感器所儲存的能量為：

(3-54)

] W dt [

) t ( )di t ( Li )

t ( i ) t ( v ) t (

p_L = _{L L} = _L ^L

] J )[

t ( 2 Li ) 1

t ( 2Li 1

di ) t ( i L

dt dt ) t ( )di t ( Li L

) t ( w

2 L )

t ( i

0 ) ( i 2 L

) t ( i

) (

i L L

t L

L L

=

=

= ∫

= ∫

=

−∞

−∞

∞

−