回響

數學傳播 43卷2期, pp. 80-83

回響 ^: 托勒密定理的證明補充

連威翔

一、 前言

在數學傳播 164 期 「五合一定理」 一文中 (請參考 [1]), 作者蔡聰明教授在最後結語處給 出關於五個定理或定律間的邏輯網路:

表1

上表中, 各箭頭所指方向的證明推導, 在 [1] 文內相應的各小節中都可以找到。

在 [1] 文中, 如同表 1 所示, 作者先以 「三角形的餘弦定律」 證明 「圓內接四邊形的餘弦 定律」, 再透過該定律證明 「托勒密定理」。 然而, 是否能直接以 「三角形的餘弦定律」 證明 「托 勒密定理」 呢? 答案是肯定的, 在第二節中, 筆者將介紹一個直接的證明。

除此之外, 筆者也找出另外一種透過解析幾何、 並使用三角函數差角公式的證明方法, 希 望能供有興趣的讀者參考。

二、 筆者的證明

第一種證明: 請先參考下圖, 隨後則是筆者要介紹的證明:

圖1

80

回響: 托勒密定理的證明補充 81

托勒密定理: 上圖中, 已知圓內接四邊形 ABCD 的四邊長為 a, b, c, d, 對角線長為 e, f, 則有 ef = ac + bd。

證明1: 因為 ∠ABC = π − ∠ADC, 對 ABC 與 ACD 使用三角形的餘弦定律, 可知 cos∠ABC = cos(π − ∠ADC) = − cos ∠ADC

⇒a²+ b² − f²

2ab =−c²+ d²− f² 2cd

⇒ cd(a²+ b²− f²) = ab(f²− c²− d²)

⇒ (ab + cd)f² = ab(c²+ d²) + cd(a²+ b²)

⇒ f² = ac(bc + ad) + bd(ad + bc)

ab + cd = (ac + bd)(ad + bc)

ab + cd . (1) 對 ABD 與 BCD 使用餘弦定律, 同理可知

e² = (ac + bd)(ab + cd)

bc + ad . (2)

將 (1), (2) 相乘可得 e²f² = (ac + bd)², 因此 ef = ac + bd。

透過以上證明過程, 我們就成功以三角形的餘弦定律直接推得托勒密定理。

其實在 [1] 文中, 作者完成表 1 內各箭頭所指方向的證明推導後, 也另外以托勒密定理推 得三角形的餘弦定律。 因此, 配合上面已完成的證明 1, 我們知道托勒密定理與三角形的餘弦定 律可以彼此互推。

看完上面的證明, 我們準備來看底下另一種透過解析幾何的證明。

第二種證明: 先回到圖 1, 再次介紹托勒密定理如下:

托勒密定理: 如圖 1, 已知四邊形 ABCD 內接於一圓, 試證明:

AC× BD = AB × CD + BC × DA. (3) 證明2: 請先參考下圖:

圖2

82 數學傳播 43卷2期 民108年6月

上圖中, 我們將四邊形 ABCD 的外接圓半徑視為一單位長, 並建立坐標系, 將圓心置於原點, 再將頂點 A 置於 (1, 0)。 接著, 假設以直線 OA 為始邊、 以直線 OB, OC, OD 為終邊的廣 義角分別為 θ1, θ₂, θ₃,其中 0 < θ1 < θ₂ < θ₃ < 2π, 則我們有

B(cos θ₁, sin θ₁), C(cos θ₂, sin θ₂), D(cos θ₃, sin θ₃).

計算 AB, BC 的長度時, 利用半角公式可知

AB =

#

(cos θ₁− 1)²+ sin²θ₁ =

2− 2 cos θ1 =

$ 2− 2

1− 2 sin² θ₁ 2

= 2

$ sin² θ₁

2 = 2

sin θ₁ 2

, BC =

(cos θ₁− cos θ2)²+ (sin θ₁− sin θ2)² =

2− 2 cos(θ2 − θ1)

=

$ 2− 2

1− 2 sin² θ₂− θ1

2 

= 2

$

sin²θ₂− θ1

2 = 2

sin θ₂− θ1

2

.

因為 0 < θ₁

2 < π 且 0 < θ₂− θ1

2 < θ₂

2 < π, 可知 θ₁

2 與 θ₂− θ1

2 兩角度的正弦值為正, 因 此

AB = 2 sinθ₁

2, BC = 2 sinθ₂− θ1

2 . (4)

同理將有

AC = 2 sinθ₂

2, DA = 2 sinθ₃

2, BD = 2 sinθ₃− θ1

2 , CD = 2 sinθ₃− θ2

2 . (5) 利用 (4), (5) 的結果, 知 (3) 的左式可表為

AC× BD = 4 sinθ₂

2 × sin θ₃− θ1

2 . (6)

至於 (3) 的右式則為

AB × CD + BC × DA = 4 sinθ₁

2 × sinθ₃ − θ2

2 + 4 sinθ₂− θ1

2 × sinθ₃ 2

= 4 sinθ₁ 2 ×

sin θ₃ 2 cosθ₂

2 − sin θ₂ 2 cosθ₃

2 

+4 sinθ₃ 2 ×

sin θ₂ 2 cosθ₁

2 − sinθ₁ 2 cos θ₂

2 

= 4 sinθ₂ 2 ×

sin θ₃ 2 cosθ₁

2 − sin θ₁ 2 cosθ₃

2 

= 4 sinθ₂

2 × sinθ₃ − θ1

2 . (7)

比較 (6), (7) 兩式, 可知圖 2 有 AC × BD = AB × CD + BC × DA, 定理得證。

回響: 托勒密定理的證明補充 83

三、 結語

筆者推測, [1] 的作者應該知道第二節中證明 1 的手法, 但是因為想介紹 「圓內接四邊形 的餘弦定律」 給大家, 所以才刻意在 [1] 文中以它作橋樑, 連結三角形的餘弦定律與托勒密定理 (如同表 1 所示)。

至於第二節中的證明 2, 其實是筆者在戶外慢跑的過程中所想到的 (多虧了夏夜的涼風), 這個證明其實多少受到底下差角公式的解析證明所啟發:

cos(α− β) = cos α cos β + sin α sin β.

會有動機想再找一個證明, 是因為筆者認為證明 1 應該有不少人也會推導, 所以才會想再找一 個較不常見的證法做為對照。 不過, 沒想到寫完證明 2 之後, 才發現其篇幅比證明 1 多了不少。

無論如何, 第二節中的兩個證明都不難, 有高中數學程度的讀者應該都可以理解。 希望本 文的兩個證明, 可作為讀者學習托勒密定理的參考, 也可將本文視為對 [1] 文的補充。 最後, 如 果閱讀本文時能帶給大家一些樂趣, 那就更棒了。

參考資料

1. 蔡聰明。 五合一定理。 數學傳播季刊, 41(4), 60-68, 2017。 Available from : http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d414/41406.pdf.

—本文作者投稿時任職四方牧場^—

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http://www.math.sinica.edu.tw/www/file upload/conference/201907TO/Topology.html