回響 : 一道不等式的另一種證法

數學傳播 38卷3期, pp. 93-96

回響 ^: 一道不等式的另一種證法

連威翔

在 142 期的 「從 Cauchy 不等式的一種證法談起」 一文當中, 作者以特殊的方法證明以 下命題:

命題 1. 若 a1, a2, . . . , an 為滿足

∑n i=1

ai = 1 的正數, λ ≥ _n¹2,則 (

a₁+ λ a₁

)(

a₂+ λ a₂

)· · ·(

a_n+ λ a_n

)≥(1 n + nλ

)n

. (1)

在本文中, 筆者將從上述命題於 n = 2, 3 的情形開始證明, 再證明一般 n 的情形, 以期 提供另外一種證明方式。

(一) 當命題 1 的 n = 2 時, 命題為:

命題 2. 若 a1, a₂ 為滿足

∑2 i=1

a_i = 1 的正數, λ ≥ 1 4, 則 (

a₁+ λ a₁

)(

a₂+ λ a₂

)≥(1 2 + 2λ

)2

(2) 證明:

左式 =(a²₁ + λ a₁

)(a²₂+ λ a₂

)

=

[(a₁− ¹₂)²+ a₁+ λ−¹₄ a₁

] [(a₂− ¹₂)²+ a₂+ λ− ¹₄ a₂

]

≥(a₁ + λ− ¹₄ a₁

)(a₂+ λ− ¹₄ a₂

)

= (

1 + (λ− 1 4) 1

a₁ )(

1 + (λ− 1 4) 1

a₂ )

= 1 + (λ− 1 4)· ( 1

a₁ + 1

a₂) + (λ− 1

4)²· 1

a₁a₂ (3)

93

94 數學傳播 38卷3期 民103年9月

由算幾不等式, 可知

a₁a₂ ≤(a₁+ a₂ 2

)2

= (1

2 )2

= 1

4 ⇒ 1

a₁a₂ ≥ 4 (4)

一樣利用算幾不等式, 並利用 (4), 可得 1

a₁ + 1

a₂ ≥ 2 ·(1 a₁ · 1

a₂ )¹

2 ≥ 2 · 2 = 4 (5)

將 (4), (5) 代入 (3) 可得

左式 ≥ 1 +( λ− 1

4

)· 4 +( λ− 1

4 )2

· 4

= [

2(λ−1 4) + 1

]2

= (1

2 + 2λ )2

=右式,

(2) 得證, 且當不等式的等號成立時, 不難由 (3), (4), (5) 看出 a₁ = a₂ = 1

2, (6)

(二) 當命題 1 的 n = 3 時, 命題為:

命題 3. 若 a1, a₂, a₃ 為滿足

∑3 i=1

a_i = 1 的正數, λ ≥ 1 9, 則 (

a₁+ λ a1

)(

a₂+ λ a2

)(

a₃+ λ a3

)≥(1 3+ 3λ

)3

(7) 證明: 由 (6), 可預期 (7) 的左式其最小值可能發生在 a1 = a₂ = a₃ = 1

3 時, 因此對 (7) 的 左式進行類似 (3) 的操作如下:

左式 =(a²₁+ λ a₁

)(a²₂ + λ a₂

)(a²₃+ λ a₃

)

=

∏3 k=1

(ak− ¹₃)²+²₃ak+ λ− ¹₉

a_k ≥

∏3 k=1

2

3ak+ (λ− ¹₉)

a_k =

∏3 k=1

[2

3+ (λ− 1 9)· 1

a_k ]

= 8 27 +4

9 · (λ −1 9)·

∑3 k=1

1 a_k + 2

3· (λ − 1

9)²·∑

i<j

1

a_ia_j + (λ−1

9)³· 1

a₁a₂a₃ (8) 由算幾不等式, 可知

a₁a₂a₃ ≤(a₁ + a₂+ a₃ 3

)3

= (1

3 )3

= 1

27 ⇒ 1

a₁a₂a₃ ≥ 27 (9)

回響: 一道不等式的另一種證法 95

一樣利用算幾不等式, 並利用 (9), 可得

∑3 k=1

1

a_k ≥ 3 ·( 1 a₁a₂a₃

)¹₃

≥ 9 (10)

∑

i<j

1

a_ia_j ≥ 3 ·( 1 a²₁a²₂a²₃

)¹

3 = 3·( 1

a₁a₂a₃ )²

3 ≥ 27 (11)

將 (9), (10), (11) 代入 (8) 可得 左式 ≥ 8

27+ 4· (λ −1

9) + 18· (λ − 1

9)²+ 27· (λ − 1 9)³

= [

3· (λ − 1 9) + 2

3 ]3

= (1

3+ 3λ )3

=右式,

(7) 得證, 且當不等式的等號成立時, 可由 (8), (9), (10), (11) 看出有 a1 = a2 = a3 = 1

3. (12)

(三) 由以上針對命題 1 於 n = 2, 3 的情形之證明過程, 我們可對 (1) 中 n 為任意滿足n ≥ 2 之正整數的情形加以證明, 而得到更一般的結果, (1) 的證明如下:

證明:

左式 =

∏n k=1

(a²_k+ λ a_k

)

=

∏n k=1

[(a_k− _n¹)²+ ²_na_k+ λ− _n¹2

a_k

]

≥

∏n k=1

[2

n + (λ− 1 n²)· 1

a_k ]

= (2

n )n

+ (2

n )_n−1

·( λ− 1

n² )·

∑n i=1

1 ai

+· · ·

+ (2

n )n−k

·( λ− 1

n² )k

· ∑

is<it for s<t

1 a_i1a_i2· · · aik

+· · ·

+ (

λ− 1 n²

)n

· 1

a1a2· · · an

(13) 由算幾不等式, 可知

a₁a₂· · · · an ≤ (∑ⁿ

i=1

a_i

n )n

= (1

n )n

⇒ 1

a1a2· · · an ≥ nⁿ. (14) 觀察 (13) 中的一般項

(2 n

)n−k

·( λ− 1

n² )k

· ∑

is<it for s<t

1 a_i1a_i2· · · aik

96 數學傳播 38卷3期 民103年9月

其中的求和式 ∑

is<it for s<t

1

ai1ai2· · · ai_k 共有 Ckⁿ 項, 且對任意滿足 1 ≤ i ≤ n 的足標 i 而言, 在 所有 C_kⁿ 項中共有 C_kⁿ₋₁⁻¹ 項含有 1

a_i 這個因式, 因此, 可利用算幾不等式及 (14) 的結果, 得知

∑

is<it for s<t

1 a_i1a_i2· · · aik

≥ C_kⁿ·( ∏

is<it for s<t

1 a_i1a_i2· · · aik

)_Cn¹

k

= C_kⁿ·( 1 a₁a₂· · · an

)^C_Cn^k−1n−1

k ≥ Ckⁿ· (nⁿ)^kn = C_kⁿ· n^k (15) 其中

C_kⁿ₋₁⁻¹

C_kⁿ = (n− 1)!/[(k − 1)!(n − k)!]

n!/[k!(n− k)!] = k

n, 1≤ k ≤ n.

將 (15) 的結果代入 (13), 可得 左式 ≥(2

n )n

+ (2

n )n−1

·( λ− 1

n²

)· C1ⁿ· n + · · ·

+ (2

n )n−k

·( λ− 1

n² )k

· Ckⁿ· n^k+· · · +( λ− 1

n² )n

· Cnⁿ· nⁿ

= (2

n )n

+ C₁ⁿ (2

n )n−1(

nλ−1 n

)

+· · · + Ckⁿ

(2 n

)n−k( nλ−1

n )k

+· · · +( nλ−1

n )n

=

∑n k=0

C_kⁿ (

nλ− 1 n

)k

·(2 n

)_n−k

= (

nλ− 1 n + 2

n )n

= (1

n + nλ )n

=右式,

(1) 得證, 且當不等式的等號成立時, 若且唯若 (13) 中的 ≥ 及 (15) 中的兩個 ≥ 均取等號。

其中 (13) 的 ≥ 取等號時, 表示:

a₁ = a₂ =· · · = an= 1

n (16)

而有了 (16), 將先使 (14) 的等號成立, 因此 (15) 的第二個 ≥ 等號成立。 此外, (16) 也使 (15)最左端的求和式中每一項皆相等 (均為 n^k),故 (15) 的第一個 ≥ 等號成立。 因此, (16)就 是 (1) 等號成立的充要條件。

綜合以上所述, 可知命題 1 正確, 且從證明過程中可知 λ ≥ 1

n² 的限制有其必要性。

—本文作者投稿時任職苗栗縣竹南鎮景鴻工程行—