「一道面積比公式的另證」的回響

(1)

「一道面積比公式的另證」的回響 ^: 用三角形的 ^A.S.A. 面積公式

陳建燁

一、前言

在數學傳播 42 卷 1 期「一道面積比公式的另證」(參考資料 [1]) 一文中, 作者另行處理了參考資料 [2] (題目原始出處) 中的一道例題 :

「設 H 為銳角 △ABC 的垂心, 且 △ABH : △BCH : △CAH = 1 : 2 : 3, 求

△ABC 三邊長的比例值, 即 a : b : c =?」 (為描述方便, 在以下的文章中, 將此例題稱為「垂心面積比 123 問題」)

拜讀文 [1] 和文 [2] 兩篇大作, 就筆者的理解, 其共通之處, 大致上是先根據同底比高的原理, 將面積比轉化為邊長比, 再運用畢氏定理, 解出邊長之間的比例關係。差異在於, 文 [2] 先建立了一般性的公式 :

「設 H 為銳角 △ABC 的垂心, 則 △ABH : △BCH : △CAH

= (c⁴− a⁴+ 2a²b²− b⁴) : (a⁴ − b⁴+ 2b²c²− c⁴) : (b⁴− c⁴+ 2c²a²− a⁴) 」 (為描述方便, 在以下的文章中, 將此公式稱為「垂心面積比的邊長公式」)

再將「垂心面積比 123 問題」, 作為一個主要的應用。而文 [1] 是從具體問題出發, 解完之後再一般化, 重新得到垂心面積比公式。兩篇文章看似路徑不盡相同, 各有巧妙高明之處, 但在筆者眼中, 似有共通的本質與脈絡。

在接下來的文章中, 筆者將先建立「三角形面積的 A.S.A. 公式」, 即 △ABC = 1 2 · a²

cot B + cot C 。接著運用此公式, 再解一次原來的例題, 解完之後, 將之一般化, 得到「垂心面積比的邊長逆向公式」 :

「設 H 為銳角 △ABC 的垂心, 且 △BCH : △CAH : △ABH = p : q : r, 則 a: b : c =pp(q + r) :pq(r + p) : pr(p + q)」,

此公式可從面積比直接逆推出邊長比, 是原問題的一般情形之下的答案。

74

(2)

二、本文

( ^一 ) ^三角形的 A.S.A. ^面積公式 : △ABC = 1

2 · a

²

cot B + cot C

首先, 先建立「三角形的高的 cot 公式」 :

在 △ABC 中, 令 A 在邊 BC 上的高為 h^a, 則 h^a = a

cot B + cot C。證明 : 令 A 在邊 BC 上的垂足為 D, 則 h^a= AD。

不失一般性, 可設 ∠B ≥ ∠C, 再就 ∠B 分別為銳角、直角與鈍角的三種情形進行討論 : (1) ∠B 為銳角 :

此時 a = BC = BD + CD = hâ· cot B + hâ· cot C, 可得 hâ = a

cot B + cot C。 (圖 (一)) (2) ∠B 為直角 :

此時 D = B, cot B = cot 90^◦ = 0, 且 a = BC = DC = h^a· cot C, 可得 ha= a

cot C = a

cot B + cot C 。 (圖(二)) (3) ∠B 為鈍角 :

此時 a = BC = CD−BD = hâ· cot C −hâ·cot∠ABD = hâ·cot C −hâ· (− cot ∠ABC)

= hâ· cot C + hâ· cot ∠ABC = hâ· cot C + hâ· cot B, 可得 ha = a

cot B + cot C 。 (圖(三)) 接著, 即得 △ABC = 1

2a· h^a = 1

2 · a²

cot B + cot C 。

圖 (一) 圖 (二) 圖 (三)

註1 : 此公式不限於銳角三角形, 對於直角三角形與鈍角三角形皆適用。

註2 : h^a = a

cot B + cot C 此一公式, 出現在高中數學的「三角測量」中, 可將空中的高度轉化為地面上的長度。

(3)

註3 : h^a = a

cot B + cot C 也可寫成等價的 h^a = a · tan B · tan C

tan B + tan C , 但須注意直角三角形時不適用。

註4 : △ABC = 1

2 · a²

cot B + cot C 此一公式的使用時機, 主要是已知條件為「兩角夾一邊」(即所謂的 A.S.A.) 時。觀察此公式的分子與分母, 正好也呈現「兩角夾一邊」的型態, 妙哉!

( ^二 ) ^{再解「垂心面積比} 123 ^問題」 :

題目 : 設 H 為銳角 △ABC 的垂心, 且 △ABH :

△BCH : △CAH = 1 : 2 : 3, 求 △ABC 三邊長的比例值, 即 a : b : c =? ([1, 2])

解 : 令 ∠HBC = β, ∠HCB = γ, 由「三角形的 A.S.A. 面積公式」, 得

△BCH = 1

2 · a²

cot β + cot γ = 1

2 · a²

tan C + tan B 與 △BCA = 1

2 · a² cot B + cot C

⇒ 2

1 + 2 + 3 = △BCH

△BCA =

1 tan C + tan B

1 cot B + cot C

=

1 tan B + tan C

tan B · tan C tan B + tan C

,

即 1

3 = 1

tan B · tan C, 於是可得 tan B · tan C = 3。

同理, 有

3

1 + 2 + 3= △ACH

△ACB = 1

tan A · tan C, 可得 tan A · tan C = 2

以及 1

1 + 2 + 3= △ABH

△ABC = 1

tan A · tan B, 可得 tan A · tan B = 6 接著, 有

(tan A · tan B · tan C)²=(tan B · tan C) · (tan A · tan C) · (tan A · tan B)=3 · 2 · 6=36

⇒ tan A · tan B · tan C = 6 (∵ △ABC 為銳角三角形)。

所以有 tan A = 2, tan B = 3 與 tan C = 1

(4)

再來,

由 1 : 2 : 3 = △ABH : △BCH : △CAH

= 1

2· c²

tan A + tan B : 1

2 · a²

tan B + tan C : 1

2 · b² tan A + tan C

=1 2 · c²

2 + 3

:1 2· a²

3 + 1

:1 2· b²

2 + 1

= c² 5 : a²

4 : b² 3, 即得 a² : b² : c² = 8 : 9 : 5, 所以可得 a : b : c =√

8 : 3 :√

5, 再一次求得三邊長的比。

( ^三 ) ^解題之後

注意到在上述的解題過程中, 可看到

tan A : tan B : tan C = 2 : 3 : 1 = △BCH : △CAH : △ABH, 這是個巧合嗎?

這個問題, 可以用以下的事實來回答 :

定理: 設 H 為銳角 △ABC 的垂心, 則 △BCH :△CAH :△ABH =tan A:tan B :tan C。

證明 : 令 A, B, C 在邊 BC, CA, AB 上的垂足分別為 D, E, F , 則有

△BCH : △CAH =1

2CH · BF :1

2CH· AF

= BF : AF

= (CF · cot B) : (CF · cot A) = tan A : tan B.

同理, 有 △CAH : △ABH = tan B : tan C, 所以有 △BCH : △CAH : △ABH = tan A : tan B : tan C。

註 : 亦即「銳角 △ABC 被垂心所分成三個三角形的面積比, 恰等於相對應三內角正切值的比」, 不妨將此一事實, 稱為「垂心面積比的正切定理」。

有了以上的事實, 再回頭將原問題一般化 :

定理 : 設 H 為銳角 △ABC 的垂心, 且 △BCH : △CAH : △ABH = p : q : r, 則 a : b : c =pp(q + r) : pq(r + p) : pr(p + q)。

證明 : 先由「垂心面積比的正切定理」, 有

tan A : tan B : tan C = △BCH : △CAH : △ABH = p : q : r,

(5)

由此可令 tan A = pk, tan B = qk, tan C = rk, 再由「三角形面積的 A.S.A. 公式」, 有

△BCH : △CAH : △ABH

=1

2 · a²

cot HCB + cot HBC : 1

2· b²

cot HAC + cot HCA : 1

2· c²

cot HAB + cot HBA

= a²

tan B + tan C : b²

tan C + tan A : c² tan A + tan B

= a²

qk+ rk : b²

rk+ pk : c² pk+ qk

= a²

q+ r : b²

r+ p : c² p+ q.

至此, 可得 p : q : r = △BCH : △CAH : △ABH = a²

q+ r : b²

r+ p : c²

p+ q, 所以可得 a : b : c =pp(q + r) :pq(r + p) : pr(p + q)。

註1 : 此定理將三邊長的比用垂心所分成的三個三角形的面積比表示, 故將之稱為「垂心面積比的邊長逆向公式」。

註2 : 再回到「垂心面積比 123 問題」, 其中 p : q : r = △BCH : △CAH : △ABH = 2 : 3 : 1, 由以上的「垂心面積比的邊長逆向公式」, 可得

a: b : c =p

p(q + r) :p

q(r + p) : p

r(p + q)

=p2 · (3 + 1) : p3 · (1 + 2) : p1 · (2 + 3) =√

8 : 3 :√ 5 再一次印證了原問題的答案。

( ^四 ) ^邊與角

注意到

tan A : tan B : tan C = sin A

cos A : sin B

cos B : sin C cos C

=

a 2R b²+ c²− a²

2bc :

b 2R c²+ a²− b²

2ca :

c 2R a² + b²− c²

2ab

(由正弦與餘弦定理, 其中 R 為 △ABC 的外接圓半徑)

= 1

b²+ c²− a² : 1

c² + a² − b² : 1 a² + b²− c²

= (c²+a²−b²)(a²+b²−c²) : (b²+c²−a²)(a²+b²−c²) : (b²+c²−a²)(c²+a²−b²)

= [(a²)²− (b²− c²)²] : [(b²)²− (a²− c²)²] : [(c²)²− (a²− b²)²]

= (a⁴− b⁴+ 2b²c²− c⁴) : (b⁴− c⁴+ 2c²a²− a⁴) : (c⁴− a⁴+ 2a²b²− b⁴)

(6)

以上的算式, 說明了「垂心面積比的邊長公式」與「垂心面積比的正切定理」是互相等價的。

三、結語

相對於文 [1] 與文 [2], 本文可說以「角」為主, 整體上使用了較多的三角函數。在高中三角函數的教學中, 主要的三角形面積公式有 △ABC = 1

2bcsin A 與「海龍公式 : △ABC = ps(s − a)(s − b)(s − c), 其中 s = 1

2(a + b + c)」此兩公式, 分別可視為「三角形面積的 S.A.S 公式與 S.S.S. 公式」, 而本文所用到的 △ABC = 1

2· a²

cot B + cot C, 可視為「三角形面積的 A.S.A. 公式」, 補上了一塊拼圖, 在處理已知角較多的幾何或三角問題時, 增加了一個可考慮的方向。

參考資料

1. 連威翔。一道面積比公式的另證。數學傳播季刊, 42(1), 80-84, 2018。

2. 劉俊傑。換個觀點看三角形的四心。數學傳播季刊, 30(2), 28-39, 2006。

—本文作者任教台北市立第一女子高級中學—

「一道面積比公式的另證」 的回響