✐
✐
“C41N15” — 2017/2/23 — 21:45 — page 48 — #1
✐
✐
✐
✐
✐
✐ 數學傳播 41 卷 1 期, pp. 48-49
回響 : 橢圓光學性質的向量證明
連威翔
在數學傳播 158 期 「橢圓的曲率公式和萬有引力的平方反比規律」 一文第二節中 (參考 [1]), 作者使用平面向量研究曲線上質點運動與曲線的曲率、 曲率半徑的關係, 簡潔易懂, 因此 引發筆者的研究興趣。
在本文中, 筆者也將以向量的觀點研究沿著橢圓軌跡運動的一質點, 並證明 《橢圓的光學 性質》, 以下是對該性質的敘述, 隨後則是筆者的證明:
橢圓的光學性質: 如下圖, 令橢圓長軸長為 2a、 焦距為 c, 設兩焦點為 F1、 F2。 P 為橢圓上一 運動質點, A、B 為過 P 的橢圓切線上、 位於 P 點不同側的兩點:
圖1
則不論 P 在橢圓上的哪個位置, 均有 ∠AP F1= ∠BP F2。 證明: 令位置向量 X1 =−−⇀
F1P , X2 =−−⇀
F2P , 兩者均以時間 t 為變數, 則根據定義有
|X1| + |X2| = 2a (1) X1 − X2=−−⇀
F1F2 (2)
注意 −−⇀
F1F2 是長度為 2c 的常向量。 將 (2) 式等號兩側對時間 t 微分, 可知
X1′ − X2′ = (0, 0) ⇒ X1′ = X2′ (3) 又因為位置向量 X1 對時間 t 微分, 即為圖 1 動點 P 在橢圓上移動的速度向量 (切向量), 設 其為 V , 同理向量 X2 對 t 的微分也是, 因此由 (3) 可知
X1′ = X2′ = V (4)
48
✐
✐
“C41N15” — 2017/2/23 — 21:45 — page 49 — #2
✐
✐
✐
✐
✐
✐ 回響: 橢圓光學性質的向量證明 49
在圖 1 中令 ∠AP F1 = θ1, ∠BP F2 = θ2, 假設 P 沿著橢圓進行逆時針方向運動, 此時圖 1 中點 P 的運動情形可參考下圖:
圖 2
一般來說, 求向量 X(x(t), y(t)) 的長度 |X| 對時間 t 的導函數時, 將有 d|X|
dt =d(px(t)2+ y(t)2)
dt = 2x(t)x′(t) + 2y(t)y′(t) 2px(t)2 + y(t)2
=(x(t), y(t)) · (x′(t), y′(t))
|X| = X· X′
|X|
因此, 取 (1) 式兩側對時間 t 的導函數可得 X1· X1′
|X1| + X2· X2′
|X2| = 0 (5)
由 (4), (5) 式並參考圖 2, 由內積定義可知 X1· V
|X1| +X2· V
|X2| = 0 ⇒ X2· V
|X2| = −X1· V
|X1|
⇒ (−X2) · (−V )
| − X2|| − V | = (−X1) · V
| − X1||V | ⇒ cos θ2 = cos θ1
⇒ θ1 = θ2 或 θ1+ θ2 = 2π
但由圖 2 可知 ∠F1P F2 ≥ 0, 故 θ1+ θ2 ≤ θ1 + θ2 + ∠F1P F2 = π, 因此得到 θ1 = θ2 ⇒
∠AP F1 = ∠BP F2, 這樣就證出了橢圓的光學性質。
值得一提的是, 在 [1] 文末的註 5 中, 作者以平面幾何的方法巧妙地證明了橢圓的 「焦切 距乘積定理」, 證明中也使用了 《橢圓的光學性質》, 因此筆者寫下本文的一點研究心得, 希望也 可供對 [1] 文有興趣的讀者參考。
參 考資料
1. 張海潮, 莊正良。 橢圓的曲率公式和萬有引力的平方反比規律。 數學傳播季刊, 40(2), 24-34, 2016。
—本文作者任職麥當勞竹南民權中心—
