4.3 向量空間的子空間 4.4 生成集合與線性獨立 4.5 基底與維度

(1)

第四章向量空間

4.1 R

ⁿ上的向量

4.2 向量空間 4.2 向量空間

4.3 向量空間的子空間 4.4 生成集合與線性獨立 4.5 基底與維度

4.6 矩陣的秩與線性方程式系統 4.7 座標和基底變換

4.8 向量空間的應用

Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者

R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學電機系翁慶昌教授

(2)

4.1 R ⁿ 上的向量

有序的n項 (ordered n-tuple)

所有有序的n項所構成的集合 n個實數的序列

⁽ x

1,

x

2,

L

,

x

n

⁾

n維空間 (n-space)： Rⁿ

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 4.1節節節節 p.222

(3)

R¹= 1維空間

⇒

範例： n=1 一個實數 x⇒

n=2 一個有序的對⇒ R²= 2維空間

= 所有有序成對實數所構成的集合

⇒

) , ( x

₁

x

₂

) , ( x

₁

x

₂

= 所有實數所構成的集合

3/130

= 所有有序成對實數 ₁ ₂ 所構成的集合

n=3 一個有序的三項⇒ R³= 3維空間

⇒

= 所有有序三項實數所構成的集合

) , ,

( x

₁

x

₂

x

₃

) , ,

( x

₁

x

₂

x

₃

n=4 一個有序的四項⇒

= 所有有序四項實數所構成的集合

⇒ R⁴= 4維空間

) , , ,

( x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

) , , ,

( x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

(4)

注意：

範例：

(1) n項 可以被視為Rⁿ上的一個點，其

中x_i為它的座標值

(2) n項 可以被視為Rⁿ上的一個向量

) , , ,

(x₁ x₂ L x_n ) , , ,

(x₁ x₂ L x_n

) , , ,

(x₁ x₂ x_n

x

=

L

範例：

一個點

( x

1

, x

2

)

一個向量

( x

1

, x

2

) ( )

⁰^,⁰

(5)

( u

₁

, u

₂

, L , u

n

) , = ( v

₁

, v

₂

, L , v

n

)

= v

u

(Rⁿ上兩個向量)

相等 (equal)

若且唯若

v

u =

^u₁

=

^v₁, ^u₂

=

^v₂,L,^u_n

=

^v_n

向量加法 (vector addition)

(

^u

⁺

^v ^u

⁺

^v ^u

⁺

^v

)

=

+ v

, ,L,

u

5/130

(

u

+

v u

+

v un

+

vn

)

=

+ v

₁ ₁, ₂ ₂,L,

u

純量乘法 (scalar multiplication)

(

cu cu cun

)

c

u =

₁, ₂,L,

注意：

上述所定義的向量加法與純量乘法二者被稱為在Rⁿ上的標準運算(standard operations in Rⁿ)

(6)

負向量 (negative)

) ,...,

, ,

( − u

₁

− u

₂

− u

₃

− u

_n

=

− u

向量差 (difference)

) ,...,

, ,

( u

₁

− v

₁

u

₂

− v

₂

u

₃

− v

₃

u

_n

− v

_n

=

− v u

零向量 (zero vector)

零向量 (zero vector) ) 0 ..., , 0 , 0

=

(

0

注意：

(1) 零向量0被稱為加法單位元素(additive identity) (2) 向量-v被稱為v的加法反元素(additive inverse)

(7)

定理 4.2：向量加法與純量乘法的性質

令 u, v, 與w為在Rⁿ中之向量，及c,d為純量 (1) u+v為Rⁿ中之向量

(2) u+v=v+u

(3) (u+v)+w=u+(v+w) (4) u+0=u

7/130

(4) u+0=u (5) u+(-u)=0

(6) cu為在Rⁿ中之向量 (7) c(u+v)=cu+cv

(8) (c+d)u=cu+du (9) c(du)=(cd)u (10) 1(u)=u

(8)

範例 5： R⁴中的向量運算

令u=(2,-1,5,0)，v=(4,3,1,-1)，與w=(-6,2,0,3)為R⁴ 中的向量，求解下列中的每個 x

(a) x = 2u - (v + 3w) (b) 3(x+w)= 2u-v+x 解：(a)

).

8 , 9 , 11 ,

18 (

) 9 1 0 , 0 1 10 , 6 3 2 , 18 4

4 (

) 9 , 0 , 6 , 18 (

) 1 , 1 , 3 , 4 ( ) 0 , 10 , 2 , 4 (

3 2

) 3 (

2 −

−

=

− +

−

− +

−

=

−

=

−

=

+

−

=

w v

u

w v

u x

(9)

(b)

3 2

2 3 2

3 2 3

3 2 )

( 3

3 1

−

=

−

=

−

=

−

+

−

= +

+

−

= +

w v

u x

w v

u x

w v

u x

x

x v u w

x

x v u w

x

9/130

( ) ( ) ( )

( ⁹ ² ^, ^, ¹ ^,

₂¹¹

⁵ ^, ⁰ ^,

₂⁹

^, ⁴ ) ² ^, ^, ^, ⁹ ^, ³ ^, ⁰ ^,

²

9 2

1 2

3 2

1

−

=

− +

=

−

=

−

− −

−

w v

u x

(10)

定理 4.3：加法單位元素與加法反元素的性質

令v為Rⁿ中的向量，c為純量。則下列性質為真

(1) 加法單位元素具有唯一性，也就是若u+v=v，則u=0 (2) 加法反元素具有唯一性，也就是若 v+u=0，則u=-v (3) 0v=0

(3) 0v=0 (4) c0=0

(5) 若cv=0，則c=0或v=0 (6) -(-v)=v

(11)

線性組合 (linear combination)

範例 6：

在R³中 x=(-1,-2,-2)，u=(0,1,4)，v=(-1,1,2)，以及

向量x被稱為

v

₁

, v

₂

,..., v

_n的線性組合，若它可以被表示為

n 2

1

v v

v

x =

c₁

+

c₂

+

L

+

c_n _, _, _, _:_純量

n 2

1

c c

c

L

11/130

在R 中 x=(-1,-2,-2)，u=(0,1,4)，v=(-1,1,2)，以及

w=(3,1,2)。求 a, b 與 c 使得 x=au+bv+cw

解：

2 2

2 4

2 1 3

−

= +

+

−

= +

+

−

= +

−

c b

a

c b

a

c b

⇒

⇒ a

=

1, b

= −

2, c

= −

1

w

v u

x = −

2

−

所以

(12)

注意：

在

_R

ⁿ的一個向量

u =

(u₁,u₂,K,u_n)可以被表示成 ] , , ,

[u₁ u₂ L u_n

= u

 

  u u

₁ 或

一個1xn的列矩陣(列向量)

 

 

 





=

u

n

u M u

2

(因為加法與純量乘法的矩陣運算所得到的結果與相對應的向量運算的結果一樣)

一個nx1的行矩陣(行向量)

(13)

) ,

, ,

(

) , , , ( ) ,

, , (

2 2

1 1

2 1 2

1

n n

v u

v v

v u

u u

+ +

+

=

+

= +

L

v

L

u

] ,

, ,

[

] , , , [ ] , ,

, [

2 2

1 1

2 1 2

1

n n

v u

v v

v u

u u

+ +

+

=

+

= +

L

v

L

u

向量加法純量乘法

) ,

, ,

(

) ,

, ,

(

2 1

n n

cu cu

cu

u u

u c c

L L

=

= u

] ,

, ,

[

] ,

, ,

[

2 1

n n

cu cu

cu

u u

u c c

L L

=

= u

13/130

2 2

1

1 n n

 





 





+ + +

=

 





 



 +

 





 





= +

n n

n

u v

v u

v v v

u u u

M M

M

2 2

1 1

2 1 2

1

v u













=













=

n

n cu

cu cu

u u u c

c M M

2 1 2

1

u

] ,

, ,

[cu₁ cu₂ L cu_n

=

(14)

摘要與複習 (4.1節之關鍵詞)

ordered n-tuple：有序的n項

n-space：n維空間

equal：相等

vector：向量加法

scalar multiplication：純量乘法

negative：負向量

difference：向量差

zero vector：零向量

additive identity：加法單位元素

additive inverse：加法反元素

(15)

4.2 向量空間

向量空間 (vector space)

令V為一集合且在V上定義了兩個運算(向量加法與純量乘法)。

若對V在上的每個向量u, v與w及每個純量c與d都符合下列的 公理時，則稱V為向量空間

加法：

15/107

(1) u+v 屬於V 加法封閉

(2) u+v=v+u 交換性

(3) u+(v+w)=(u+v)+w 結合性

(4) 對在V中所有的u，V有零向量0使得u+0=u 加法單位元素 (5) 對在V中所有的u，在V中存在一向量使得u+(-u)=0 加法反元素

(16)

純量乘法：

(6) 屬於

c u V

純量乘法封閉

(7)

c ( u + v ) = c u + c v

分配性 (8) (c

+

d)

u =

c

u +

d

u

分配性 (9) c(d

u

)

=

(cd)

u

結合性 (9) c(d

u

)

=

(cd)

u

結合性

(10) 1(

u

)

= u

純量單位元素

(17)

注意：

(1) 一個向量空間包含四個部分：

V：非空集合 c：純量

)

：

,

( u v = u + v

+

^向量加法

一個向量集合、一個純量集合、與兩個運算

17/107

(2) 純量集合為實數集合⇒ 實數向量空間純量集合為複數集合 ⇒ 複數向量空間 (3)

^V ⁼ { } ⁰

^： ^{零向量空間}

)

：

, (

)

：

, (

u u

v u

c c =

• +

=

+

^向量加法

純量乘法

(

^V^,

⁺

^,

^• )

^{被稱為一個向量空間}

線性代數線性代數: 4.2節節節節補充補充補充補充

(18)

常見的向量空間 (1)n維空間： Rⁿ

向量加法

)

, ,

( ) ,

, ( ) ,

,

( u

₁

u

₂ L

u

_n

+ v

₁

v

₂ L

v

₂

= u

₁

+ v

₁

u

₂

+ v

₂ L

u

_n

+ v

_n

純量乘法

) ,

, (

) ,

,

( u

₁

u

₂

u

_n

ku

₁

ku

₂

ku

_n

k L = L

(2)矩陣空間：V

=

M_m_×_n(所有具有實數項的

m × n

矩陣集合) (2)矩陣空間：V

=

M_m_×_n(所有具有實數項的

m × n

矩陣集合)

範例：(m=n=2)

 

 





+ +

+

= +

 

 

 + 

 

 





22 22

21 21

12 12

11 11

22 21

12 11

22 21

12 11

v u

v v

u u

 

 



= 

 

 





22 21

12 11

22 21

12 11

ku ku

u u

u k u

向量加法

純量乘法

(19)

(3) n次多項式空間：

(所有小於或等於n次之多項式的集合) )

(x P V

=

_n

n n

n b x

a x

b a

x q x

p( )

+

( )

=

( ₀

+

₀)

+

( ₁

+

₁)

+

L

+

(

+

)

n nx ka x

ka ka

x

kp

= + +

L

+

1

) 0

(

19/107

) ( )

( )

)(

( f

+

g x

=

f x

+

g x )

, (

−∞ ∞

=

c (4) 函數空間： V

(定義在實數線上所有連續函數的集合)

) ( )

)(

(kf x

=

kf x

(20)

定理 4.4：純量乘法的性質

令V是向量空間中的任意元素，c是任意純量，

則以下的性質成立

0 0

0 v

=

(2) 0 (1)

c

v v

0 v

0 0

−

=

−

=

) 1 ( (4)

0

(3) (2)

或則

，

若c c c

(21)

注意：只要找到一個公理不符合就可以證明這集合不是向量空間。

R ,

V

∈

₂¹ 1

∉

V

=

₂¹

2

1)(1)

( (在純量相乘下並沒有封閉)

↑

↑ ↑

證明：

範例 6：整數集合不是一個向量空間

21/107

範例 7：二次多項式集合不是向量空間證明：令 p(x)

=

x² 和q(x)

= −

x²

+

x

+

1

V x

x q x

p + = + ∉

⇒ ( ) ( ) 1

在向量加法下不封閉

↑

純量整數非整數

↑ ↑

(22)

範例 8

^：

一個不是向量空間的集合 V=R²=所有實數有序對的集合

向量加法：

( u

₁

, u

₂

) + ( v

₁

, v

₂

) = ( u

₁

+ v

₁

, u

₂

+ v

₂

)

純量乘法：

c ( u

₁

, u

₂

) = ( ku

₁

, 0 )

證明V不是向量空間

) 1 , 1 ( ) 0 , 1 ( ) 1 , 1 (

1 = ≠

Q

這集合(與兩個給定的運算)不是一個向量空間

∴

證明V不是向量空間解：

(23)

摘要與複習 (4.2節之關鍵詞)

vector space：向量空間

n-space：n維空間

matrix space：矩陣空間

polynomial space：多項式空間

function space：函數空間

23/130

(24)

4.3 向量空間的子空間

子空間 (subspace)

)

, ,

( V + •

：一個向量空間





⊆

≠

V W

W

φ

一個非空子集合

)

, ,

( W + •

：一個向量空間(在V的加法和純量乘法 的運算定義下)

的運算定義下)

⇒ W是一個V的子空間

顯然子空間 (trivial subspace)

每個向量空間V至少有兩個子空間 (1)零子空間{0}是V的子空間

(2) V是V的子空間

(25)

定理 4.5：子空間的測試

若W是向量空間V的非空子集合，則W是V的子空間若且唯若下列的封閉條件成立

(1) 若 u 與 v 都在W上，則 u+v 也是在W上

(2)

u

W c cu W

25/130

(2) 若 u 在W上且 c 是任意純量，則 cu 也是在W上

(26)

範例：

Ｒ

^２

的子空間

{ } ( ) ^0, ⁰

(1) 0 0 =

通過原點的直線

(2) R2

(3)

R 3

範例： R ³ 的子空間

通過原點的直線

(2)

通過原點的平面

(3) R3

(4)

{ }

(

^0, ^0, ⁰

)

(1)

0 0 =

(27)

範例 2：對稱矩陣集合是M_2×2的子空間

M_2×2為具有矩陣加法及純量乘法標準運算的向量空間 W為所有2×2對稱矩陣的集合

在標準運算下證明W是向量空間M_2×2的子空間向量空間

: M

M

W

⊆

Q

解：

27/130

向量空間 :

M M

W

⊆

₂_×₂ ₂_×₂ Q

)

( ₁ ₁ ₂ ₂

2

1,A W A A ,A A

A

∈

^T

=

^T

=

令

)

( ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

2

1 W, A W A A A A A A

A

∈ ∈

⇒

+

^T

=

^T

+

^T

= +

)

(kA kA kA W

A , R

k

∈ ∈

⇒ ^T

=

^T

=

的子空間

是 _2×₂

∴

W M

) (A₁

+

A₂

∈

W

) (kA

∈

W

(28)

範例 3：奇異矩陣集合不是M_2×2的子空間

M_2×2為具有矩陣加法及純量乘法標準運算的向量空間 W為二階奇異矩陣的集合

在標準運算下證明W不是向量空間M_2×2的子空間

W B

A  ∉



 



=  +

∴ 0 1

0 1

的子空間不是

₂ ₂

2 ×

∴ W M

W B

, W

A  ∈



 



= 

 ∈



 



= 

1 0

0 0

0

解：

1

(29)

範例 4：第一象限的集合不是R²的子空間證明在標準運算下的

不是R²的子空間解：

∈

W

=

(1,1) 令 u

} 0 0

: ) ,

{( ₁ ₂ ₁

≥

₂

≥

=

x x x x

W 與

29/130

∈

W

=

(1,1) 令 u

( ) ( )( ) ( ⁻

^{1 u}

⁼ ⁻

¹ ¹^,¹

⁼ ⁻

¹^,

⁻

¹

) ^∉

^W

Q (純量相乘不封閉)

的子空間不是 R

²

∴ W

(30)

範例 6：判斷R²的子空間

下列兩個子集合中，何者是R²的子空間

(a) 在直線上點的集合

(b) 在直線上點的集合

解：^(a)^W

⁼ {

⁽^x^, ^y⁾ ^x

⁺

²^y

⁼

⁰

} { ⁼

⁽

⁻

²^t^,^t⁾ ^t

^∈

^R

}

0 2

= +

y x

1 2

= +

y x

{

^x ^y ^x ^y

} {

^t ^t ^t ^R

}

W

=

( , )

+

2

=

0

=

(

−

2 , )

∈

(a)

(

^t ^,^t

)

^{W v}

(

^t ^,^t

)

^W

v₁

= −

2 ₁ ₁

∈

₂

= −

2 ₂ ₂

∈

令

( )

( ^t ^t ^, ^t ^t ) ^W

v

₁

+

₂

= − 2

₁

+

₂ ₁

+

₂

∈ Q

( )

(

^kt ^,^kt

)

^W

kv₁

= −

2 ₁ ₁

∈

的子空間是R²

∴

W

(加法封閉) (乘法封閉)

(31)

( )

{ ⁺ ² ⁼ ¹ } ⁽ ^注意 ^: ^{零向量不在線上} ⁾

= x , y x y W

W v

=

(1,0)

∈

令

( ) ( ⁻

¹ ^v

⁼ ⁻

¹^,⁰

) ^∉

^W

Q

的子空間。

不是 R²

∴

W (b)

31/130

的子空間。

不是 R

∴

W

(32)

範例 8：判斷R³的子空間

{ }

{ ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^R }

W

R x

x x

x W

R

∈ +

=

∈

=

3 1 3

3 1

1

2 1 2

1

3

, )

, ,

(

(b)

, )

1 , , (

(a)

的子空間 ? 下列子集中，何者是

解：(a) 令

v =

(0,0,1)

∈

W

∉

W

−

=

−

⇒ (

−

1)

v =

(0,0,

−

1)

∉

W

⇒ ( 1)

v

(0,0, 1)

的子空間不是 R

³

∴ W

W

= + ∈

∈ +

=

(v ,v v ,v ) , (u ,u u ,u )

(b) 令

v

₁ ₁ ₃ ₃

u

₁ ₁ ₃ ₃

( ) ( )

(

^v1

+

^u1^, ^v1

+

^u1

+

^v3

+

^u3 ^,^v3

+

^u3

) ∈

^W

= + u

Q

v

( ) ( )

(

^v1^, ^v1

+

^v3 ^, ^v3

) ∈

^W

=

k k k k

kv

的子空間是R³

∴

W

(33)

定理 4.6：兩個子空間的交集也是子空間

的子空間。

也是表示成

交集

的與

的子空間，則都是向量空間

和若

U U)

V (

W V

U W

V

∩

33/130 線性代數線性代數

(34)

摘要與複習 (4.3節之關鍵詞)

subspace：子空間

trivial subspace：顯然子空間

(35)

4.4 生成集合與線性獨立

k

ck

c

u u u

v = + +

K

+

2 2 1

1

的線性組合。

稱為向量

則向量

v u

,

u

,L,

u

_k

2 1

線性組合 (linear combination)

若向量v可被表示成下列的形式

：純量

2

1,c , ,ck

c L

35/130

的線性組合。

稱為向量

則向量

v u

,

u

,L,

u

_k

2 1

(36)

範例 2：

的線性組合。

不是

的線性組合。

是

, , 2,2)

(1,

(b)

, , (1,1,1)

(a)

1,0,1) (

(0,1,2)

(1,2,3)

3 2 1

3 2

1

v v v w

v v

v

−

=

⇒

−

=

解：

3 3 2

2 1

1

(a)

w =

c₁

v

₁

+

c₂

v

₂

+

c₃

v

₃ (a)

w =

c

v +

c

v +

c

v

(

^1,1,1

) ( ) ( =

c1 ¹,²,³

+

c2 ⁰,¹,²

) ( +

c3

−

¹,⁰,¹

)

) 2

3 , 2

,

(c₁

−

c₃ c₁

+

c₂ c₁

+

c₂

+

c₃

=

1 2

3

1

2 1 -

3 2

1

2 1

3 1

= +

+

= +

=

⇒

c c

c

c c

(37)

















−

⇒

1 1

2 3

1 0

1 2

1 1 0

1



 →



^G^{. J}⁻ ^.

















−

0 0

1 2

1 0

1 1

0 1

t c

t

c

= + = − − =

⇒ 1 1 , 2 1 2 , 3

37/130

3 2

1 1

3

2

v v v

w = − +

⇒^t⁼

此系統有無線多組解

(38)

3 2

1

v v

v

w

₁ ₂ ₃

) (

c c

c b

+ +

=

















⇒

2 1

2 3

2 - 0 1

2

1 1

- 0 1



^Guass

 

⁻^Jordan

 

^Eliminatio

  

ⁿ

→

















−

7 0

0 0

4 2

1 0

1 1

0 1



3 2 1 2 0 0 0 7 

此系統無解

⇒

3 3 2

2 1

1

v v v

w ≠

c

+

c

+

c

⇒

(39)

為向量空間V的子集合，若在V中的 向量均可以寫成集合S中向量的線性組合，則稱S為V的 生成集合

生成集合 (spanning set)

= ) (S

span {

c1

v

1

+

c2

v

2

+

L

+

c_k

v

_k

∀

c_i

∈

R

}

{

k

}

S

= v

₁,

v

₂,L,

v

令

39/130

) (S中所有向量之線性組合所構成的集合

(40)

V S

span ( ) =

)

(

S 生成 V S spans V

⇒

被 S 生成 V

是 V 的生成集 S

注意：

{ }

⁰

) (

(1) ^span

φ = ) (

(2) S ⊆ span S

) ( )

(

, (3)

2 1

S span S

span S

S

V S

S

⊆

⇒

⊆

注意：

(41)

{

⁽¹^,²^,³^),⁽⁰^,¹^,²^),⁽ ²^,⁰^,¹⁾

}

^生成 ³^。

證明集合 S

= −

R

範例 5：

,

) u , u , (u

3 2 1

3 2 1 3

的線性組合。

是否可以為

中任意一個向量我們必須確定在

v v v

u =

R

解：

41/130

R³

u

₁

v

₁ ₂

v

₂ ₃

v

₃

u ∈

⇒

=

c

+

c

+

c

3 3

2 1

2 2

1

1 3

1

2

3

2

u u u

= +

+

= +

=

−

⇒

c c

c

c c

有的值一致。

所這個系統是否和

問題因此被化簡來確定

u

₁,

u

₂,

u

₃

(42)

0 1

2 3

0 1

2

2 0

1

≠

−

=

Q A

均有唯一解對所有的

x = b

⇒ A

) 3

(S R span

=

⇒

(43)

定理 4.7： span(S)為V的子空間

{

k

}

S

v

,

v

, ,

v

=

₁ ₂ L 若

子空間的

為 ) (

(a) span S V V為一向量空間

為向量空間V的一個向量集合，則

43/130

的最小子空間中包含

是

) (

(b) span S V S

(包含S之其他V的子空間一定包含span(S))

(44)

若方程式只有顯然解 ( 0)

(1) c

=

c

=

L

=

c

=

{ }

0 v

v v

v

= +

+ +

=

k k k

c c

c S

L L

2 2 1

1

2

1, , ,

線性獨立 (linear independent)

線性相依 (linear dependent)

稱為線性相依則

若方程式有非顯然解

(2) S

稱為線性獨立。

則

若方程式只有顯然解

) 0 (

(1) ₁ ₂

S

c c

c

= =

L

=

_k

=

(45)

是線性獨立

(1)

φ

為線性相依 (2)

0 ∈

S ⇒ S

{ }

^{為線性獨立}

(3)

v ≠ 0

⇒

v

(4) S

⊆

S

注意：

45/130

2

1

(4) S

⊆

S

為線性相依為線性相依 ₂

1 S

S ⇒

為線性獨立為線性獨立 ₁

2 S

S ⇒

(46)

( ) ( ) ( ) { ^1, ^2, ³ ^, ^0, ^1, ² ^, ⁻ ^2, ^0, ¹ }

= S

範例 8：線性獨立的測試

0

2

0 2

2 1

3 1

= +

+

=

−

c c

=

⇒

+

₂ ₂ ₃ ₃ 0

1

v

c

v

c

v

c 解：

確定下列在R³中的向量集合是線性獨立或線性相依

v

₁

v

₂

v

₃

0

2 3

0

2

3 2

1

2 1

= +

+

= +

+

c c

c

⇒ c

= +

+

₂ ₂ ₃ ₃ 0

1

v

c

v

c

v

c

















−

⇒

0 1

2 3

0 0

1 2

0 2

0 1



 →



^Gauss^-^Jordan^Eliminatioⁿ

















0 1

0 0

1 0

0 0

0 1

(

^{只有顯然解}

)

0 c

c

c₁

=

₂

=

₃

=

⇒

為線性獨立

⇒ S

(47)

判斷下列在P₂中的向量集合是線性獨立或線性相依 S = {1+x-2x² , 2+5x-x² , x+x²}

即

c₁

v

₁+c₂

v

₂+c₃

v

₃ = 0

c₁(1+x-2x²) + c₂(2+5x-x²) + c₃(x+x²) = 0+0x+0x²

v

₁

v

₂

v

₃

解：

47/130

即 c₁(1+x-2x ) + c₂(2+5x-x ) + c₃(x+x ) = 0+0x+0x

⇒

c₁+2c₂ = 0 c₁+5c₂+c₃ = 0

-2c₁+ c₂+c₃ = 0

^

 





 







− 2 1 1 0 0 1 5 1

0 2 1 1

 







 







0 0

3 0 1 1

1 0 0

2 1



 →



^{高斯消去法}

⇒

⇒系統有無限多組解 (系統有非顯然解)

⇒ S是線性相依 (例如 c₁=2 , c₂=-1 , c₃=3)

(48)

判斷在下列2×2矩陣空間的向量集合是線性獨立或線性相依











 



 



 



 



 



=



0 2

0 , 1

1 2

0 , 3

1 0

1 S 2

v

₁

v

₂

v

₃ 解：



 



=





 



+





 



+





 





0 0

0 2

0 c 1

1 2

0 c 3

1 0

1 c

₁

2

₂ ₃

c₁

v

₁+c₂

v

₂+c₃

v

₃ = 0

v

₁

v

₂

v

₃

(49)





0 0

0 1

3

2





0 0

1 0

0 0

0

⇒

1

⇒ 2c₁+3c₂+ c₃ = 0

c₁ = 0

2c₂+2c₃ = 0 c₁+ c₂ = 0

49/130



 







1 1 0 0 0 2

2 0

0 0

0 1



 







0 0 0 0 0 1

0 0

1

 0



 →



^{高斯消去法}

(系統只有顯然解) c₁ = c₂ = c₃=0

⇒

S是線性獨立

⇒

(50)

定理 4.8：

集合 S = {v₁,v₂,…,v_k}, (k

≥

2) 是線性相依若且唯若至少 有一個向量v_j可以寫在S中其他向量的線性組合

(⇒) c v +c v +…+c v = 0 證明：

線性相依 Q

⇒ c_i

≠

0不是全為零

k i

i

v v v v

v

i k 1

i 1 i 1

i 1

c c c

c c

c + + + + +

=

⇒ L

⁻ ₋ ⁺ ₊

L

(⇒) c₁

v

₁+c₂

v

₂+…+c_k

v

_k = 0

(51)

) ( ⇐

假設

(非顯然解)

⇒

_{S是線性相依}

v

_i = d₁

v

₁+…+d_i-1

v

_i-1+d_i+1

v

_i+1+…+d_k

v

_k

⇒ d₁

v

₁+…+d_i-1

v

_i-1+d_i+1

v

_i+1+…+d_k

v

_k = 0

⇒ c₁=d₁ , c₂=d₂ ,…, c_i=1 ,…, c_k=d_k

51/130

⇒

_{S是線性相依}

定理 4.8 的推論：

在向量空間V中的兩個向量u和v是線性相依 若且唯若其中一個是另一個向量的倍數。

(52)

摘要與複習 (4.4節之關鍵詞)

linear combination：線性組合

spanning set：生成集合

trivial solution：顯然解

linear independent：線性獨立

linear dependent：線性相依

4.3 向量空間的子空間 4.4 生成集合與線性獨立 4.5 基底與維度

第四章 向量空間

4.1 R

4.2 向量空間 4.2 向量空間