1.2

1.2 方 方 方程 程 程式 式 式與 與 與平 平 平面 面 面曲 曲 曲線 線 線 ； ； ；隱 隱 隱函 函 函數 數 數

2 第 1 章 基本函數與極限

(5) 如果將定義域取成 (A, B) 所成的集合, 其中 A,B 是站名, 則可定義為一離散型函數, 這種定義方法, 也可以勉強稱為「多變數函數」.

(6) 如果固定為台灣某電視或電台的排行榜, 至少定義是清楚的. 但若想成一週對應到 20 首歌, 你可以想成一對多, 因此不是函數. 但這是因為我們將對應域想成所有流行歌曲 的集合, 如果將此集合定義成 (A₁, A2,·A20) 所成的集合, 其中 Ai是流行歌曲, 則這個 定義是離散型函數.

(7) 單變數函數（不論從攝氏到華氏, 或反過來）.

(8) 兩變數函數. 麻煩的是對應域的解釋. 如果是局部看, 地表可勉強想成是平面. 不然將 地球表面想成球面, 並利用經緯度, 其溫度對應也可以想成是兩變數函數.

(9) 單變數函數. 此題隱含這某輛車隨著時間變化的油量變化.

(10) 單變數函數. 在解釋上, 得先假設颱風眼是一個點, 然後考慮這個點在地表上移動的軌 跡. 在這種解釋之下, 變數是時間, 而位置可以用經緯度來標示, 原則上類似高中學的 參數式如 cos t, sin t.

1.2 方程式與平面曲線; 隱函數









(a, b)∈ 曲線 Γ ⇔ F (a, b) = C

⇔ F (−a, b) = C

⇔ (−a, b) ∈ 曲線 Γ 所以 Γ 對 y-軸對稱.

(3)

(a, b)∈ 曲線 Γ ⇔ F (a, b) = C

⇔ F (−a, −b) = C

⇔ (−a, −b) ∈ 曲線 Γ 所以 Γ 對原點對稱.









y²= 1− x² ⇒ y = ±√

1− x², −1 ≤ x ≤ 1 (2)

y²

b² = 1− x²

a² ⇒ y = ±b a

√a²− x², −a ≤ x ≤ a

2 第 1 章 基本函數與極限

(5) 如果將定義域取成 (A, B) 所成的集合, 其中 A,B 是站名, 則可定義為一離散型函數, 這種定義方法, 也可以勉強稱為「多變數函數」.

(6) 如果固定為台灣某電視或電台的排行榜, 至少定義是清楚的. 但若想成一週對應到 20 首歌, 你可以想成一對多, 因此不是函數. 但這是因為我們將對應域想成所有流行歌曲 的集合, 如果將此集合定義成 (A₁, A₂,·A20) 所成的集合, 其中 A_i是流行歌曲, 則這個 定義是離散型函數.

(7) 單變數函數（不論從攝氏到華氏, 或反過來）.

(8) 兩變數函數. 麻煩的是對應域的解釋. 如果是局部看, 地表可勉強想成是平面. 不然將 地球表面想成球面, 並利用經緯度, 其溫度對應也可以想成是兩變數函數.

(9) 單變數函數. 此題隱含這某輛車隨著時間變化的油量變化.

(10) 單變數函數. 在解釋上, 得先假設颱風眼是一個點, 然後考慮這個點在地表上移動的軌 跡. 在這種解釋之下, 變數是時間, 而位置可以用經緯度來標示, 原則上類似高中學的 參數式如 cos t, sin t.

1.2 方程式與平面曲線; 隱函數









(a, b)∈ 曲線 Γ ⇔ F (a, b) = C

⇔ F (−a, b) = C

⇔ (−a, b) ∈ 曲線 Γ 所以 Γ 對 y-軸對稱.

(3)

(a, b)∈ 曲線 Γ ⇔ F (a, b) = C

⇔ F (−a, −b) = C

⇔ (−a, −b) ∈ 曲線 Γ 所以 Γ 對原點對稱.









y²= 1− x² ⇒ y = ±√

1− x², −1 ≤ x ≤ 1 (2)

y²

b² = 1−x²

a² ⇒ y = ±b a

√a²− x², −a ≤ x ≤ a

1.2. 方程式與平面曲線; 隱函數 3

(3)

y² b² = x²

a² − 1 ⇒ y = ±b a

√x²− a², x≤ −a 或 x ≥ a

(4)

y²− xy + (x²− 1) = 0 ⇒ y =x±√

(−x)²− 4(x²− 1) 2

⇒ y = x±√ 4− 3x² 2 其中 − 2

√3 ≤ x ≤ 2

√3.









(1) 令 F (x, y) = y − 2^x, 檢查易知 F (x, y) 不滿足性質中之條件, 因此從性質無法判斷此圖 形之對稱性.

(2) 令 F (x, y) = y − tan x, 檢查知 F (X, y) 不滿足性質中之條件, 因此從性質無法判斷此 圖形之對稱性. 但因為 y = tan x 是奇函數, 故知其對原點對稱.

(3) 令 F (x, y) = y − (x⁴− x²+ 1), 檢查知 F (x, y) = F (−x, y) 故圖形對 y-軸對稱.

(4) 令 F (x, y) = ^x₄² − y²− 1, 檢查知 F (x, y) = F (−x, y), F (x, y) = F (x, −y), F (x, y) = F (−x, −y) 故圖形對 x-軸、y-軸、原點對稱.

(5) 令 F (x, y) = y²− 4x, 檢查知 F (x, y) = F (x, −y), 故圖形對 x-軸對稱.

(6) 令 F (x, y) = x²− xy + y²− 1, 檢查知 F (x, y) = F (−x, −y), F (x, y) = F (y, x), 故圖 形對原點與 y = x 對稱.









由性質的證明知

(a, b)∈ y = λx + α 的圖形 ⇔ (b, a)∈ y = µx + β 的圖形 亦即

b = λa + α ⇔ a = µb + β 但這相當於 a 和 b 滿足下列方程組, 且有無窮多組解





λa− b = −α a− µb = β 由線性方程組的性質知

λ 1 = −1

−µ = −α β 由此可得 λ · µ = 1 且 λβ + α = 0.

1

1.2. 方程式與平面曲線; 隱函數 3

(3)

y² b² = x²

a² − 1 ⇒ y = ±b a

√x²− a², x≤ −a 或 x ≥ a

(4)

y²− xy + (x²− 1) = 0 ⇒ y =x±√

(−x)²− 4(x²− 1) 2

⇒ y = x±√ 4− 3x² 2 其中 − 2

√3 ≤ x ≤ 2

√3.









(1) 令 F (x, y) = y − 2^x, 檢查易知 F (x, y) 不滿足性質中之條件, 因此從性質無法判斷此圖 形之對稱性.

(2) 令 F (x, y) = y − tan x, 檢查知 F (X, y) 不滿足性質中之條件, 因此從性質無法判斷此 圖形之對稱性. 但因為 y = tan x 是奇函數, 故知其對原點對稱.

(3) 令 F (x, y) = y − (x⁴− x²+ 1), 檢查知 F (x, y) = F (−x, y) 故圖形對 y-軸對稱.

(4) 令 F (x, y) = ^x₄² − y²− 1, 檢查知 F (x, y) = F (−x, y), F (x, y) = F (x, −y), F (x, y) = F (−x, −y) 故圖形對 x-軸、y-軸、原點對稱.

(5) 令 F (x, y) = y²− 4x, 檢查知 F (x, y) = F (x, −y), 故圖形對 x-軸對稱.

(6) 令 F (x, y) = x²− xy + y²− 1, 檢查知 F (x, y) = F (−x, −y), F (x, y) = F (y, x), 故圖 形對原點與 y = x 對稱.









由性質的證明知

(a, b)∈ y = λx + α 的圖形 ⇔ (b, a)∈ y = µx + β 的圖形 亦即

b = λa + α ⇔ a = µb + β 但這相當於 a 和 b 滿足下列方程組, 且有無窮多組解





λa− b = −α a− µb = β 由線性方程組的性質知

λ 1 = −1

−µ = −α β 由此可得 λ · µ = 1 且 λβ + α = 0.

2

4 第 1 章 基本函數與極限









(1) 假設 f (x) 的函數圖形對 x-軸對稱. 任找函數圖形上一點 (a, f (a)), 由假設 (a, −f(a)) 也在函數圖形上, 但同樣的 x = a 只能有一對應之函數值, 因此 f(a) = −f(a), 亦即 f (a) = 0, 對任何 a 皆成立.

(2) 令 Γ 表示 y = f (x) 的函數曲線.

(a, b)∈ Γ ⇔ b = f(a)

⇔ b = f(−a) (假設)

⇔ (−a, b) ∈ Γ

這表示對任意 (a, b) 在函數曲線 Γ 上, (−a, b) 必定也在函數曲線上, 於是 y = f(x) 的 函數圖形對 y-軸對稱.

(3) 令 Γ 表示 y = f (x) 的函數曲線.

(a, b)∈ Γ ⇔ b = f(a)

⇔ −b = −f(a) = f(−a) (假設)

⇔ (−a, −b) ∈ Γ

這表示對任意 (a, b) 在函數曲線 Γ 上, (−a, −b) 必定也在函數曲線上, 於是 y = f(x) 的函數圖形對原點對稱.









偶函數: y = cos x, y = x⁴− 1, y = 2.

奇函數: y = tan x, y = x 1 + x². 都不是: y = log x.









(1) (cos t)²+ (sin t)²= 1, 所以 (cos t, sin t) 是 x²+ y²= 1 的參數式.

(2) 因為 1+(tan t)²= (sec t)² ⇒ (sec t)²−(tan t)²= 1, 所以 (sec t, tan t),−^π₂ < t < ^π₂, 是 x²− y²= 1 的參數式.

(3) 因為 ^{(2 cos t)}₄ ²+ (sin t)²= (cos t)²+ (sin t)²= 1, 所以 (2 cos t, sin t) 是 ^x₄²+ y²= 1 的參 數式.

(4) 因為 (t¹²)²− (t¹³)³= t− t = 0, 所以 (t¹², t¹³), t > 0, 是 x²− y³= 0 的參數式.

(5) 因為 (2(t³− t)) = 2 · (t³− t), 所以 (t³− t, 2(t³− t)) 是 y = 2x 的參數式.

(6) 因為 (f (t)) − f((t)) = f(t) − f(t) = 0, 所以 (t, f(t)) 是 y − f(x) = 0 的參數式.

1.3. 反函數 5









(5) (6) (4) (2) (3) (1)

1.3 反函數









(1) 1 − 1 ⇒ y = b 與 f(x) 的函數圖形頂多只交於一點：

若 y = b 與 f(x) 的函數圖形的交點多於一點, 這表示有相異兩點 x₁ 與 x₂ 滿足 f (x1) = b = f (x2), 這違反了 1− 1 性質.

(2) y = b 與 f (x) 的函數圖形頂多只交於一點 ⇒ 1 − 1：

若 y = f(x) 違反 1 − 1 性質, 這表示有某兩相異點 x = p 和 x = q, 其函數值 相 等 f(p) = f(q), 若 令 b 為 此 函 數 值 f(p), 則 y = b 與 y = f(x) 的 圖 形 交 於 (p, f (p)) = (p, b) 和 (q, f (q)) = (q, b) 兩點, 違反了 y = b 與 f (x) 的函數圖形頂多只交 於一點的假設.









左、右兩圖是 1 − 1；中圖不是 1 − 1.









(1) f (1) = 0 = f (−1), 所以 y = f(x) = x⁴− 1 不是 1 − 1 函數.

(2) 設 a, b 滿足 a³+ 2a + 1 = b³+ 2b + 1, 則

a³− b³+ 2(a− b) = 0 ⇒ (a − b)(a²+ ab + b²+ 2) = 0

⇒ a = b 或 a²+ ab + b²+ 2 = 0

但 a²+ ab + b²+ 2 = (a +^b₂)²+³₄b²+ 2 > 0, 除非 a = b = 0. 所以無論如何皆推得得 a = b, 因此 y = x³+ 2x + 1 是 1− 1 函數.

(3) f (0) = 0 = f (π), 所以 y = f (x) = sin x 不是 1 − 1 函數.

(4) f (1) = log 2 = f (−1), 所以 y = f(x) = log(x²+ 1) 不是 1− 1 函數.

(5) 設 a, b 滿足 2^a− 2^−a= 2^b− 2^−b, 則

2^a− 2^b+ (₂¹b −₂^1a) = 0 ⇒ (2^a− 2^b)(1 +₂a¹·2^b) = 0

⇒ 2^a= 2^b (��1 +₂a¹·2^b > 0)

⇒ a = b 因此 y = 2^x− 2^−x 是 1 − 1 函數.

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