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6 積分的應用
6.2 體積
體積
跟求面積一樣，我們可能想知道一個物體的體積。
我們雖然知道體積的概念是什麼，但如果要利用微積分計算 一個物體的體積，我們便需要有明確的數學上的定義。
體積
我們從討論柱體的體積開始。
如右圖所刻畫，一個柱體是由底面 B
1
以及與其全等、平行的圖形 B2
作為頂面所夾成的區塊。這些區塊便由 B
1
至 B2
間的垂直線段 所組成。當底面的面積為 A ，柱體的高度 (B
1
與 B2
的垂直距離) 為 h ，則體積為 V = Ah 。圖一(a)
體積
特別地當底面為半徑為 r 的圓，則圓柱的體積為V =
r 2 h 。
若底面為長寬各為 L 跟 W 的長方形，則此柱體即為一長方 體，體積為 V = LWh 。圖一(b) 圖一(c)
體積
因此，對於一個固體區塊 S ，若 S 並非柱體，我們可以將 S 切割成一片一片高度極短的柱體，接著加總這些個別的小柱 體體積來近似 S 體積。
最後再借由取極限，將這些近似值逼近真的體積值。
我們首先考慮怎麼樣切割：考慮一個軸，利用跟軸垂直的平 面切出跟 S 相交的截面 (cross-section) 。
體積
假設 A(x) 為 S 被平面 P
x
所截的截面面積，如下圖。其中，P
x
為經過 x 點且垂直 x 軸的平面。當 P
x
隨著 x 移動，其截面的面積也隨之移動，因此可以將 A(x) 視為 x 的函數。圖二
體積
我們將 S 切割成一塊一塊等寬的平板，其寬為
x 。
我們取 [xi
–1
, xi] 中的樣本點 xi
，於是在平面 Pxi-1
及 Pxi
之 間的平板，便可以利用底面積為 A(xi
*) 高為x 的柱體來逼
近。體積
於是第 i 塊平板 S
i
的體積便可以用V(S
i) A(x
i*) x 來近似。接著我們加總所有的平板體積近似值，可得
體積
於是當分割數 n 越來越大的同時，細平板的體積也會越來越 靠近整個物體的體積。
因此我們可以利用黎曼積分來定義所謂的體積：
注意到，若當 A(x) = A 為常數的話，則體積的積分為 A(b-a)
範例一
證明半徑為 r 的球體，其內部體積為 。 解:
我們將球心放在圓點，如右圖
想計算在 x 點的截面積，也就要計 算截面上的圓的面積。
利用畢氏定理我們可以求得截面 圓的半徑為
因此截面圓的面積為
A(x) = y 2
圖四
=
(r2
– x2
)範例一 / 解
積分的上下界分別是 a = –r 以及 b = r ，待入積分式
(被積函數為偶函數)
cont’d
範例一
我們再回過頭來看利用平板 (或者說短柱體) 來逼近球體體積 的過程：下圖是分割成不同個數時，所得到的逼近值。
此時我們可以發現，球體是對 x 軸對稱 (繞著 x 軸旋轉任意 角度形狀不變) ，也因此每一個逼近的柱體都是高度極短的 圓柱，或者是看成圓盤。
圖五
體積
因此計算體積的黎曼和便是加總這些圓盤的體積：
在這裡我們的取樣點 取在每個 [x
i-1
,xi
] 的中點。現在若是任意的對 x 軸對稱的凸物體，則其在任意垂直 x 軸 平面上的截面必定為圓，而截面積則可寫為
A =
(半徑)2
體積
這種類型的物體被稱為旋轉體 (solid of revolution) 。
另一種情形，物體仍然對 x 軸對稱，但是並非是凸物體，此 時他的截面並非是圓，而是圓環。
而其面積則為外圈的圓減去內圈的圓面積。
A =
(rout
)2
–
(rin
)2
圖十
