台灣省第一區一百學年度

台灣省第一區一百學年度 高級中學數學及自然科能力競賽

數學科筆試(一)試題 ^參考解答

注意事項：

1. 本試卷共四題計算證明題，滿分 49 分。

2. 考試時間：2 小時。

3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。

4. 將過程填寫在答案卷內。

【問題一】如圖，ABC之A三等份線交 BC 於D、E。若BD2，

DE 

3，

EC 

6， 求AB=?

解：

let

AB  x

，ADy，

2 3

3 2

3 2

6

AB AE x

AE

AD AC y

AC

  

  

，

2 2 2 2 2 2

4 9 36

cos cos cos

2 2 2

AB AD AD AE AE AC

ABD BAD DAE EAC

AB AD AD AE AE AC

     

         

  

i.e

2 2

2 2

2 2

2 2

9 9

4 4

2 3

9 4 36

4 4

2 6

x y x y

xy xy

x y

x y

xy xy

  

   



    

 



 3₂² 2₂² 12 3 4 96

x y

x y

  

   

   x

2 10 B

C A

D E 2

3

6

【問題二】如圖ABC、CDE、CFG分別為邊長 a 、b、c 的正三角形，其中C在

AG 上，

D在 BC 上，F在 CE 上， DG 交 CF 於I ，AI交 CD 於J。求

DJ CJ 的比值。(12 分)

:

解：DEI GCI A A( . )

得

IE DE IE IC DE CG

IC CG IC CG

b b c bc

c IC b c IC

 

  

    



ABJ ICJ A A( . )

得

( )

BJ AB BJ JC AB IC

JC IC JC IC

a bc

a b c ab bc ac

bc bc

JC

b c JC abc

ab bc ca

abc b ab bc DJ b

ab bc ac ab bc ac

 

  

   

  



 

 

    

   

故 DJ CJ: b ab bc(  ) :abc(ab bc ) :ac 比值為^{b a( c)} ac

 。

【問題三】有一個各位數字都不相同且都不為 0 的四位數，將這四位數的各位數字重 新排列，可得一個最大數和一個最小數(例如:2793 經重排後，最大數為 9732，最小數為 2379)，如果如得的最大數與最小數的差恰好就是此四位 數，試求所有這種四位數。

解：設此四位數為xyzu，最大數為ABCD，其中A  B C D，則最小數為DCBA，

A C G

D D E

I B

F J

由 ) ABCD

DCBA xyzu

 可知，

10 10 1

1

D A u

C B z

B C y

A D x

  

     

    

   



，可得下列關係式，

10 8

1 2 3 4

u x

z y B C y A D x y

  

  

     

      



因此( , , , )x y z u 有 3 種情形(4, 6, 7,1)、(6, 4,5,3)、(7,3, 6, 2)。檢驗之後，發現只有 6174 符合。所已答案為 6174。

A:6174

【問題四】設

a

₁



2，a_n1 a_n² a_n 1(n1)。證明:

(1)對任意固定的正整數 n 及對任意的正整數k，存在一個整數

c ，使得

_k

a

_{n k}

 c a

_{k n}



1。

(2)若mn，則

a ，

_m

a 互質。

_n 解： (1)By induction on k，

k1，take

c

₁

 a

_n



1. Then a_n1 a_n²  a_n 1 a a_n( _n  1) 1 a c_{n 1}1。 Assume k h 1時，

 c

_h，sth

a

_{n h}

 c a

_{h n}



1

When

k   h

1 ,

a

_{n h 1}

 a

_{n h} (

a

_{n h}

  

1) 1

a

_{n h h}

c a

_n



1.  Take

c

_h1

 a

_{n h h}

c

We are done.

(2)

May assume

m  n

，takek m n. Then,

a

_m

 c

_{m n}

a

_n



1。 Any divisior of

a ,

_m

a is also a divisor of 1。

_n

(

a a

_m, _n) 1

 