《數學文章寫作：推敲篇》導讀 洪萬生

HPM 通訊第二十二卷第四期第一版

發行人：洪萬生（臺灣師大數學系退休教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：黃俊瑋（和平高中）

編輯小組：蘇意雯（台北市立大學）蘇俊鴻（北一女中）

葉吉海（桃園陽明高中）陳彥宏（成功高中）

英家銘（台北教育大學）

創刊日：1998 年 10 月 5 日 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng 聯絡信箱：suhy1022@gmail.com

《數學文章寫作：推敲篇》導讀

洪萬生

臺灣數學史教育學會理事長 臺灣師範大學數學系退休教授

書名：數學文章寫作：推敲篇 作者：結城浩

譯者： 衛宮紘

出版社：世茂出版社 出版日期：2019/12/04 語言：繁體中文

本書是結城浩《數學文章寫作》系列的第二本。第一本《數學文章寫作：基礎篇》

「著眼於寫作正確且容易閱讀的文章」，那是針對正在寫作（而尚未完成者）的提醒。至 於這第二本《推敲篇》，則是「著眼於將已經寫好的文章，改寫為更正確且容易閱讀的文 章」。因此，本書關鍵詞是「改寫」。正因為如此，作者才會提及漢語「推敲」的典故，

並且指出：「斟酌字詞是推敲的重要一面，但推敲並非只有斟酌字詞。字詞的順序、句子 的結構、增添刪減的檢討等，全都可以說是推敲。」事實上，他的「推敲的訣竅」（第7 章）甚至還提及十分具體有用的建議：「看著自己所寫的文章唸出聲音閱讀吧。比起僅用 眼睛默讀，唸出聲音比較容易發現錯字、漏字、主述語扭曲的句子、語順不適當的句 子、反覆相同的句子結構等。」

事實上，本書可以說是將結城浩自己「平時用於推敲的技巧，統整集結而成的書 籍」。換言之，本書就是他自己的現身說法，至於他（寫作）實踐的憑藉或成果，當然就 主要是他的「數學女孩」系列（針對高中層次讀者），甚至「數學女孩秘密筆記」系列

 《數學文章寫作：推敲篇》導讀

………洪萬生

 結合數學史的數位科技教學設計〜

常用對數篇(1) ………蘇惠玉

 臺灣數學文化紀行：臺北孔廟 ………英家銘

HPM 通訊第二十二卷第四期第二版

（針對國中層次讀者）了。

對我來說，這種連結呼應了我指導數學史研究生修訂論文的經驗。在提醒他們進行 細部的修訂之後，我不時敦促他們注意全文的結構。不過，我分享給研究生的說法或評 論，當然比不上結城浩來得專業。他在本書中，針對執筆、推敲、校正及評論，提供了 非常專業細緻（或技術性）的建議，對於數學寫作者或數學文章的評論者來說，都十分 受用。儘管如此，在本書第5 章〈整篇文章的平衡〉之中，結城浩還是強調「將文章的 每個句子寫得容易閱讀，與統整整篇文章的平衡是兩回事」。對此，他的比喻其實比起所 謂的「見樹不見林」更為形象化：「只要將整篇文章比喻為城鎮就能夠理解，即便每條道 路都是筆直的，若是道路組合得像是迷宮一樣的話，整座城鎮也會難以通行吧」。

結城浩的「大處著眼、小處著手」作風，就充分展現在他的「數學女孩」小說系列 之中，我要鄭重邀請讀者欣賞他榮獲日本數學學會「出版賞」的那些傑出作品。事實 上，我也曾特別針對那些數學小說，指出他的書寫之獨到特色：「這些小說也經常基於

『知識結構的高觀點』或『數學史的洞察』，來歸納或提示一些（有時是跨界的）「旅行 地圖」，藉以強調相關的數學結構意義，讓讀者不至於迷失瑣碎的解題迷魂陣中，而無法 自拔」。（請參考拙文〈《數學女孩》的數學學習與結構美學〉）。

我相信在同一時間區段內，交替閱讀他的小說及創作心得（本書系列《基礎篇》及

《推敲篇》），一定可以更深刻體會他的敘事與論證之絕妙，這是一種另類的「後設認 知」，值得推動數學閱讀寫作者參考借鏡。

本書之適用讀者當然不僅於此。事實上，結城浩是為下列四類讀者而作。正如結城 浩在本書〈序言〉所指出，讀者其中就包括「修改、指導文章的人」（第四類，按照他的 指涉順序），因為他認為「改寫正確且容易閱讀文章的心態，跟修改、指導他人文章的心 態相通」。不過，他所訴求的另外三類讀者，則是更值得我們注意，因為絕大部分的讀者 都可以歸類其中。譬如，他希望本書可幫助像他自己一樣，在「寫作穿插數學式文章的 人」（第一類），其中包括學生、學校老師、補習班講師、Web 雜誌書籍的作者等。這一 類人在閱讀時，可以瞭解寫作人如何推敲文章，而獲得更深刻的閱讀經驗，因此，一般 閱讀人（第三類，包括閱讀寫作者的堆動者）也可從中獲益。至於對一般「寫作人」（第 二類，文字編輯都算在內）來說，本書提及有關論文、網頁、報告、書籍等各種文章共 通的注意事項，儘管都有數學知識的針對性，還是很有助益。

另一方面，本書第9 章的「推敲的檢查清單」，是將第 1-8 章學到的東西依序整理而 成，譬如：（數學寫作）

・「有為讀者鋪設沒有岔路的單向道嗎？」

・「有抱持作者該有的自覺與責任嗎？」

・「有區別專門術語及一般字詞嗎？」

・「有注意定義時的詞性嗎？」

・「沒有『言外之意』容易遭受誤解的句子嗎？」

HPM 通訊第二十二卷第四期第三版

・「文章具有錯讀耐性嗎？」

・「有採行多樣的讀法嗎？」

……

所有這些對於打算推動數學寫作的數學教師、撰寫教科書的編輯（多半由教師兼任），乃 至於指導研究生撰寫碩士論文的（數學教育）教授，更是貼心且便利。當然，如何引領 學生從事寫作，還是以《基礎篇》的「教戰守則」為主。至於如何進行改寫，上述這個 清單絕對是可以憑藉的不二法門，數學教師只要「照表操課」，必要時配合文學專長的教 師同仁之協助，就一定可以勝任數學閱讀與寫作的素養課程了。

本書第一刷於2014 年 12 月問世，到 2019 年 7 月已經有五刷的成績，足見（日本）

讀者對於這一類的書寫，正如對《基礎篇》一樣，都有相當高的需求。對於我們的108 課綱的素養訴求來說，本書連同（它的前篇）《基礎篇》都是教育現場不可或缺的教與學 之良伴，更是教師研習的最佳參考用書。至於對一般的讀者來說，結城浩在這個系列之 現身說法，正好是我們欣賞他的數學小說之最佳切入點。因此，本書值得我們大力推 薦，無論你是那一類的讀者，你都可以從中分享閱讀與寫作的深刻反思。

HPM 通訊第二十二卷第四期第四版

結合數學史的數位科技教學設計〜常用對數篇(1)

蘇惠玉 台北市立西松高中

108 學年度台灣教育開始實施新的課程標準，這一套標準通常被簡稱為「108 課 綱」。在108 課綱的架構下，數學老師必須做許多教學上的調整，因此在實施之前，各個 單位自然有許多的研究計畫因應而生。筆者有幸於去年開始參與由陳界山教授主持的研 究計畫，此計畫主旨為利用數位科技融入做數學課程的教學設計。在進行教學設計的過 程中，筆者嘗試結合數學史與數位科技，以學習單的方式讓數學教師可應用於108 課綱 下的高中數學教學。

以常用對數為例，在108 課綱的規範下，高一學生僅由計算機的操作來「感受」與 理解何謂常用對數，沒有對數的發明脈絡，也沒有基本的對數的運算性質，因此這個單 元的教學僅流於「認識符號」而已，無法為學生建構較完整的(常用)對數概念。因此筆者 希望藉由數學史的引入，同時結合計算機的操作，讓學生一方面理解與欣賞對數發明的 歷史緣由，同時經由計算機的操作，方便學生快速地體驗數學家使用的方法，藉此建構 數學概念知識的豐富意涵。以下的學習單僅融入對數的意義與發明的歷史緣由，其餘部 分將陸續刊登於《HPM 通訊》中。

 學習單名稱：對數概念的起源

 設計理念(使用時機、學習目標等)：

透過活動1 與活動 2 的等差與等比數列的對應，讓學生理解對數發明的動機與對數的意 義，讓學生可以從簡單的對應關係中理解對數，以補足課本直接定義之不足。本學習單 可配合課程選取適當的活動在對數單元教學時使用，亦可於選修課時完整實施。

 學習單內容(教學例題、教學活動等)：

活動1：等差與等比的對應

現在我們所使用的對數定義是由歐拉（Leonhard Euler, 1707-1783）於 1728 年給出，

但是對數的發明卻歸功於蘇格蘭數學家納皮爾（John Napier, 1550-1617）。納皮爾是 個有廣泛興趣的人，對宗教尤其狂熱，他所製作的對數表出現在1614 年的著作《對 數的奇妙準則（Mirifici Logarithmorum canonis Descriptio）》，以及在他死後由他兒子 整理出版的《如何建構對數的奇妙準則（Mirifici Logarithmorum canonis

Constructio）》（1619 年）中。納皮爾是如何產生對數的概念不得而知，不過可以知道 的是，納皮爾應該熟知三角學中的積化和差關係，如

^{2sin sin A B  cos( A  B )  cos( A  B )}

因此他知道在三角學的計算中，可以經由計算和與差來得到兩數的乘積。另外，他也 熟知之前的數學家如法國數學家許凱（Nicolas Chuquet, 1445-1488）、德國數學家史蒂 費爾（Michael Stifel, 1487-1567）所觀察到等差數列與等比數列之間對應關係的結 果。

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問題：

1. (1)觀察下面的對應表，利用計算機計算在空白的對應處填入適當的數字

y 1 2 3 4 5 6 8 9 10 x 2 4 8 16 64 128 256 512 1024 y 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x

(2) 觀察上表，如果要計算 128×8192，可以怎麼利用上表達成計算？計算結果為 何？

(3) 若 x=300，那麼對應 y 值的範圍為何？

(4) 觀察 x 列，這個數列是以什麼為底的指數值？

(5) 納皮爾發現相鄰兩數間的間隔太大，中間有許多數找不到指數次方對應。若想要 讓間隔縮短，可以做甚麼樣的調整？

活動2：動起來~補上空洞就完整了

P 點在直線 L 上以等速度前進；Q 點在直線 M 上前進的速度與距離成比例，如 下圖

直線L 上相鄰兩點間的距離相同，亦即若

AB

＝a，

AC  2 a

，

AD  3 a

，…，

因此當P 點在直線 L 上等速前進時，經過每個相鄰區間的時間間隔都會相等；

而Q 點在長度為 1 單位的直線 M (另一端點為 M)上以成比例的方式移動，從 A’點出發，

使得每一區間的左端點到最右端的點的距離成等比，亦即

A M '  1

，

B M '  r

，

'

2

C M  r

，

D M '  r

³，…

設P 點與 Q 點同時分別從 A 與 A’點，以相同的初速度出發，當 P 點經過 B、C、D、

E、…時，Q 點相對地通過 B’、C’、D’、E’、…，亦即 Q 點通過相鄰區間的時間間隔也 會相等。

問題：

1. 當 P 點到達與 A 的距離為 na 的點時，Q 點到達的點與 M 的距離為何？若將兩數列的

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對應關係以函數L 表示，即 ( )

L r

ⁿ =？

2. (1) 當 Q 點走到與 M 的距離為 s

 r

時，此時P 點與 A 的距離為何？

(2)令

t 

³

r

，當Q 點走到與 M 的距離為

t

⁴時，此時P 點與 A 的距離為何？

當Q 走到與 M 的距離為 x 時，P 點與 A 的距離為 y，納皮爾將 y 視為 x 的「對數」，為 了區別，我們將此對應關係稱為納皮爾對數。納皮爾選擇以

1 10 

^7為底，此為他設計的 表中的公比，他稱此為「比例（proportion）」。若已知一數

N 

10 (1 10 )⁷



^{7 L}，其對應的 指數次方為L。納皮爾完成了艱鉅的計算工作之後，他將每個乘方的指數稱為「對數 logarithm」，logarithm 這個字源自於希臘文 logos 與 arithmos，logos 有比、比例（ratio, ratio-number）的意思，不過它也有計算、推算（reckoning, calculation）之意；而 arithmos 的用法如現代的「數論」，用來表示更高層的數字理論。因此納皮爾可能用 logarithm 來表示「比例」，也有可能用此來表示一種數字理論。

3. (1) 計算下表中的指數值：

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.9

^x

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.99

^x

觀察上表，

0.9

^k與

0.9

^k1間的距離，與

0.99

^k與

0.99

^k1間的距離，何者較大？

(2) 納皮爾為何選擇以

1 10 

^7為底？請說明你的看法。

(3) 納皮爾為何要計算

N 

10 (1 10 )⁷



^{7 L}？請說明你的看法。

4. (1) 計算下表中的 N，準確到小數點後第 7 位：

L

N 

10 (1 10 )⁷



^{7 L} L

N 

10 (1 10 )⁷



^{7 L}

1 11

2 12

3 13

4 14

5 15

6 16

7 17

8 18

9 19

10 20

(2) 利用上表，計算 9999993.0000021×9999989.0000055

 教學指引(問題答案、教學提醒等)

1. 活動 1 問題 1(5) 參考答案：要使得相鄰兩次方之間的乘冪值(例如

a

ⁿ與

a

^n1，a>0，n 為非負整數)間的差距縮小，有兩個方法，①使用分數次方，②讓底越接近 1 越好。

2. 活動 2 的目的在呈現納皮爾的想法，等差與等比的對應是離散的，因此他必須解決中 間的空洞問題，他的做法是利用運動的觀點，利用點的連續運動，兩數線間每一點都

HPM 通訊第二十二卷第四期第七版

有對應。

3. 活動 2 問題 3 利用兩個乘冪

0.9

^x與

0.99

^x的計算，讓學生透過計算理解底越接近1 時，

同底的兩指數值之間的差距越小。由此將可理解納皮爾為何選擇

1 10 

^7為底。

4. 納皮爾將他選擇的底，在乘以 10⁷，計算

N 

10 (1 10 )⁷



^{7 L}，主要目的在減少小數的計 算，當時雖然有十進制的小數觀念與記號，但是使用仍不普遍。

5. 問題 4(2)答案為

10 (1 10 )

¹⁴



^{7 18}=99999820000153。如果學生已經學完常用對數單元之後 再實施本活動，可讓學生注意比較與現在使用之常用對數的差別。

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《HPM 通訊》聯絡員 日本：陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group) 基隆市：許文璋（銘傳國中）

台北市：楊淑芬（松山高中）杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍（成功高中）

蘇俊鴻（北一女中）陳啟文（中山女高）蘇惠玉（西松高中）蕭文俊（中崙高中）

郭慶章（建國中學）李秀卿（景美女中）王錫熙（三民國中）謝佩珍、葉和文（百齡高中）

彭良禎、鄭宜瑾（師大附中）郭守德（大安高工）張瑄芳（永春高中）張美玲（景興國中）

文宏元（金歐女中）林裕意（開平中學）林壽福、吳如皓 (興雅國中) 傅聖國（健康國小）

李素幸（雙園國中）程麗娟（民生國中）林美杏（中正國中）朱賡忠（建成國中）吳宛柔（東湖 國中） 王裕仁（木柵高工）蘇之凡（內湖高工）

新北市：顏志成（新莊高中） 陳鳳珠（中正國中）黃清揚（福和國中）董芳成（海山高中）孫梅茵

（海山高工）周宗奎（清水中學）莊嘉玲（林口高中）王鼎勳、吳建任（樹林中學）陳玉芬

（明德高中）羅春暉 (二重國小) 賴素貞（瑞芳高工）楊淑玲（義學國中）林建宏 （丹鳳國 中）莊耀仁（溪崑國中）、廖傑成（錦和高中）

宜蘭縣：陳敏皓（蘭陽女中）吳秉鴻（國華國中）林肯輝（羅東國中）林宜靜（羅東高中）

桃園市：許雪珍、葉吉海（陽明高中）王文珮（青溪國中） 陳威南（平鎮中學）

洪宜亭、郭志輝（內壢高中） 鐘啟哲（武漢國中）徐梅芳（新坡國中） 程和欽 (大園國際高 中)、鍾秀瓏（龍岡國中）陳春廷（楊光國民中小學）王瑜君（桃園國中）

新竹市：李俊坤（新竹高中）、洪正川（新竹高商）

新竹縣：陳夢綺、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）

苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)

台中市：阮錫琦（西苑高中）、林芳羽（大里高中）、洪秀敏（豐原高中）、李傑霖、賴信志、陳姿研（台 中女中）、莊佳維（成功國中）、李建勳（萬和國中）

彰化市：林典蔚（彰化高中）

南投縣：洪誌陽（普台高中）

嘉義市：謝三寶（嘉義高工）郭夢瑤（嘉義高中）

台南市：林倉億（台南一中）黃哲男、洪士薰、廖婉雅（台南女中）劉天祥、邱靜如（台南二中）張靖宜

（後甲國中）李奕瑩（建興國中）、李建宗（北門高工）林旻志（歸仁國中）、劉雅茵（台南科學 園區實驗中學）

高雄市：廖惠儀（大仁國中）歐士福（前金國中）林義強（高雄女中）

屏東縣：陳冠良（枋寮高中）楊瓊茹（屏東高中）黃俊才（中正國中）

澎湖縣：何嘉祥 林玉芬（馬公高中）

金門：楊玉星（金城中學）張復凱（金門高中） 馬祖：王連發（馬祖高中）

附註：本通訊長期徵求各位老師的教學心得。懇請各位老師惠賜高見！

HPM 通訊第二十二卷第四期第八版

臺灣數學文化紀行：臺北孔廟

英家銘

臺灣數學史教育學會秘書長

國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系副教授

數學因為有悠久的歷史，很自然地在不同社會文化中都可以找到它的痕跡。舉例來 說，儒家文化在臺灣、中國、韓國與越南等東亞國家一直佔有主流文化的地位，臺灣各 地都有孔廟，而臺北的孔廟，也可以看到數學相關的文物喔！

臺灣數學史教育學會在2019 年初成立之後，就致力於推廣數學史與數學文化，包含 臺灣的數學文化。本會理事蘇意雯教授之前無意間在臺北孔廟發現有數學相關展間，十 分驚艷，於是就建議我們學會與孔廟合作辦理推廣活動。我們在2019 年 10 月與 11 月總 辦理六場「六藝之數」導覽活動，由本會理事長洪萬生教授、理事蘇意雯教授與筆者主 講，共吸引約兩百人次的學生與社會人士參與，反應十分良好。對於沒有辦法直接道場 參加活動的朋友，我們就利用本刊的空間來向大家介紹啦～

圖一：臺北孔廟，右方為大成殿，左方西廡即為六藝之「數」展間所在地。

孔廟從2011 年起利用他們原有的空間設立「六藝」展間。所謂「六藝」，原本是指 禮、樂、射、御、書、數這六項西周的貴族教育，春秋戰國時代之後也成為儒家學派教 育的內容。很可惜的是，現代學者對於秦、漢之前的東亞算學內容所知甚少，所以在臺 北孔廟「數」之展間介紹的大多是漢代以後的東亞算學內容。雖然我們對於孔子與其弟 子本身懂多少數學知道的不多，但因為「數」是孔門六藝之一，使得被儒家哲學宰制的 中國、朝鮮、越南等文化中，對於數學有興趣的知識份子，即使把讀四書五經的力氣拿 去學數學，也能宣稱他們沒有逾越士大夫的本份。某些身份或家族的成員還可以通過數

HPM 通訊第二十二卷第四期第九版

學相關的科舉考試成為國家公務員。

孔廟「數」之展間內有許多展版，用中、英、日、韓四種語言介紹東亞古代的數 系、計算方法與工具，以及重要的數學內容，其中很大的篇幅是關於東亞算學最重要的 經典《九章算術》，包含方田、粟米、衰分、少廣、商工、均輸、盈不足、方程、勾股等 九章的內容概述，還包含一個開立方的例題，參觀者可以很快認識東亞算學的基本內 容。

圖二：《九章算術》內容介紹

HPM 通訊第二十二卷第四期第一○版

圖三：開立方例題

除了展版的介紹之外，筆者覺得這個展間做有趣的部分，是實物的展覽。15 世紀以前的 古代東亞，主要的計算工具是「算籌」。這個展間裡面就有漢代與隋代算籌的複製品供大 家觀賞喔～

HPM 通訊第二十二卷第四期第一一版

圖四：漢代與隋代算籌

可惜算籌只能觀賞，不能拿來做計算。但展間中也有可以動手操作體驗的道具。《九章算 術》中第九章「勾股」講的就是直角三角形相關的問題，而來展間參觀的朋友，也可以 用操作的方式體驗兩股平方和等於斜邊平方的「勾股定理」。

圖五：勾股定理體驗區

HPM 通訊第二十二卷第四期第一二版

除了勾股定理之外，筆者覺得最有趣的部分，就是關於立體幾何的體驗。在圖六的 體驗區中有幾個立體，包含「立方」（正立方體）、「壍堵」（直角三角柱）、陽馬（底面為 正方形，有一稜垂直底面的四角錐），以及鼈臑（四個面均為直角三角形的三角柱）。這 四個立體都是第三世紀劉徽證明《九章算術》商工章各體積公式所需要的基本立體，而 這四個立體互相的關係是：一個陽馬與一個鼈臑可以組成一個壍堵，而兩個壍堵可以組 成一個立方，也就是說，兩個陽馬加上兩個鼈臑可以組成一個立方體。各位大朋友、小 朋友在離開展間前，可以挑戰看看你是否有辦法把正立方體組起來。筆者的觀察是，小 朋友通常可以比成人更快把立方體組出來。

圖六：立體體驗區

看完這個介紹，你是不是也想來體驗一下東亞數學文化的魅力呢？歡迎到臺北孔廟六藝 之「數」展間！

參考資料：臺北市孔廟儒學文化網 https://www.tctcc.taipei/