遊戲的推廣

Apex 遊戲的推廣

葉均承

一. 研究動機與目的

M. Gardner (1969) 在 Mathematical Carnival 介紹 Apex 的遊戲:

任意給一排 k 個小於 n 的非負整數 a₁(1), a1(2), . . . , a1(k), 接著把這排 k 個數 中連續相連的二個數 a₁(i), a1(i + 1) 相加起來, 再把 a1(i) + a1(i + 1) 除以 n 後 的餘數 a₂(i) 放到原來二個數 a1(i), a1(i + 1) 中間的上面。 如此可得到新的一排 (k − 1) 個數, a2(1), a2(2), . . . , a2(k − 1), 把這一排 (k − 1) 個數中連續相連的二 個數 a₂(j), a2(j + 1) 相加起來, 然後把這個和除以 n 後的餘數 a3(j) 放到原來二 個數中間的上面。 如此又可得到一排 (k − 2) 個數 a3(1), a3(2), . . . , a3(k − 2), 照 這方式繼續作下去 . . ., 一直作到新的一排只有一個數 ak(1), 不能再作了為止。 這 些 ^k(k+1)

2 (= 1 + 2 + · · · + k) 個非負整數 ap(i), 1 ≤ p ≤ k 及 i ≤ k + 1 − p, 形 成一個三角形, 它們滿足 ap(i) + ap(i + 1) ≡ a_p+1(i)(mod n), 我們稱它們形成一 個“底為 a1(1), a₁(2), . . . , a₁(k) 的 Apex 模 n 三角形”。 Apex遊戲是在任意給一 排 k 個正整數 a₁(1), a₁(2), . . . , a₁(k) 之後, 希望不經過上面一連串冗長的運算而 能夠快速地算出最後一排那個數 (三角形最上層的數) ak(1) 是什麼?

例如給一排 6 個數 8, 3, 7, 2, 6, 1, 則底為 8, 3, 7, 2, 6, 1的 Apex 模 9 三角形最上層的 數 a₆(1) 是什麼? 照上述規則, 我們得到 a6(1) = 0 (如圖一)。

0

4 5

4 0 5

3 1 8 6

2 1 0 8 7

8 3 7 2 6 1

圖一. 底為8,3,7,2,6,1的 Apex 模9三角形

M. Gardner 同時也提起一位荷蘭讀者問他的問題 (以下簡稱荷蘭讀者的問題):

66

拿掉一副樸克牌的 10、J、Q、K 後, 剩下的36張牌是否可以排成一個底是8個非負整 數的 Apex 模 9三角形 (樸克牌只論點數不管花色)? M. Gardner 說他想到一個答 案, 但是他不告訴讀者, 希望讀者自己去想答案, 同時 M. Gardner 說他不知道是否 還有其他的答案?

這篇論文的目的有二個:

(一) 推廣 Apex 遊戲。 任意給一排 k 個正整數, 模仿 Apex 遊戲規則的方法, 但是只用一 般加法, 不用同餘的概念, 也就是把這排 k 個數中連續相連的二個數 a1(i), a1(i+1) 相加起來, 令 a₂(i) = a1(i)+a1(i+1), 再把 a2(i) 放到原來兩個數 a1(i), a1(i+1) 中間的上面。 如此可得 到新的一 排 (k−1) 個數 a₂(1), a₂(2), . . . , a₂(k−1), 再把這一排 (k−1) 個數中連續相連的二 個數 a₂(j), a2(j+1) 相加起來, 令 a3(j) = a2(j)+a2(j+1), 再把 a3(j) 放到 a2(j), a2(j+1) 這二個數中間的上面。 如此又可得到一排 (k − 2) 個數 a3(1), a3(2), . . . , a3(k − 2), 照這方式 繼續作下去 . . ., 一直作到新的一排只有一個數 ak(1)(= ak−1(1) + ak−1(2)), 不能再作了為 止。 這些 ^k(k+1)

2 個正整數 a_p(i), 其中 1 ≤ p ≤ k 及 1 ≤ i ≤ k + 1 − p, 形成一個三角形, 我 們稱它為“底為 a1(1), a1(2), . . . , a1(k)的 Apex 三角形“(沒有用模的概念)。 我們找到方法能 快速地算出三角形最上層的數 a_k(1) 及所有三角形的數全部加起來的總和。

(二) 推廣荷蘭讀者的問題。 令 1 + 2 + . . . + k = n × d, 其中 n, k, d 都是正整數 n ≥ 2 (一般來說我們不把 n 當 1, 因為這樣全部都是 0, 沒什麼好作的)。 如果我們有 d 個 0, d 個 1, d 個2, . . . , d 個 (n − 1), 模仿 Apex 遊戲規則的方法, 如果恰好能建立一個底為 k 個整數 的 Apex 模 n 的三角形, 這時我們稱之為“底為 k 的 Apex 模 n 三角形”。 我們研究“底為 k 的 Apex 模 n 三角形”的存在性? 同時找出荷蘭讀者的問題的所有解答。(荷蘭讀者的問題是 k = 8, n = 9 的情形)。

註: 底為 k 的 Apex 模 n 三角形中每個非負整數 0, 1, . . . , n − 1 出現的次數都相同, 但是底 為 a₁(1), a1(2), . . . , a1(k) 的 Apex 模 n 三角形中的每個數字出現的次數沒有限制。

二. 推廣 Apex 遊戲

我們先作幾個簡單例子, 觀察它的一些性質, 再用數學歸納法去證明, 從得到的一些數學 性質來簡化較複雜的問題。

(一) 底為 k 的 Apex 三角形 (沒有用模的概念)。

a_k(1) . . .

a₃(1) . . . a₃(k − 2)

a₂(1) . . . a₂(i − 1) a₂(i) . . . a₂(k − 1)

a₁(1) a₁(2) . . . a₁(i) a₁(i + 1), . . . a₁(k) 圖二

從圖二中底為 k 的 Apex 三角形可以觀察到 a₂(i) = a1(i) + a1(i + 1)

a₃(i) = a2(i) + a2(i + 1) = a1(i) + 2a1(i + 1) + a1(i + 2) a₄(i) = a3(i) + a3(i + 1) = a2(i) + 2a2(i + 1) + a2(i + 2)

= a₁(i) + 3a₁(i + 1) + 3a₁(i + 2) + a₁(i + 3) ...

由它們的係數 (1,1) (1,2,1) (1,3,3,1), . . . 可以聯想到巴斯卡三角形 (圖三), 用歸納法我們可 以得到下面的定理。

1



₁

0

 

₁

1





₂

0

 

₂

1

 

₂

2





₃

0

 

₃

1

 

₃

2

 

₃

3





₄

0

 

₄

1

 

₄

2

 

₄

3

 

₄

4





₅

0

 

₅

1

 

₅

2

 

₅

3

 

₅

4

 

₅

5



· · · ·



_k−1

0

 

_k−1

1

 

_k−1

2



. . .

^

^k−1

i−1

 

_k−1

i



. . .

^

^k−1

k−2

 

_k−1

k−1





_k

0

 

_k

1

 

_k

2

 

_k

3



. . .

^

^k

i



. . .

^

^k

k−1

 

_k

k



圖三. 巴斯卡三角形

定理一: 設正整數 as(i), 其中 1 ≤ s ≤ k 及 1 ≤ i ≤ k + 1 − s, 形成一個底為 a₁(1), a₁(2), . . . , a₁(k) 的 Apex 三角形, 則對於所有的 2 ≤ p ≤ k, p > l, 我們有

a_p(i) =

p−l

X

j=0

p− l j

!

a_l(j + i) (1)

證明: 當 p = 2 則 l = 1, (1) 左邊 = a2(i) = a1(i) + a1(i + 1) = (1) 右邊。

設 p = s, (1) 成立。 當 p = s + 1, (1)左邊 = as+1(i) = as(i) + as(i + 1) =

s−l

X

j=0

s− l j

!

a_l(j + i) +

s−l

X

j=0

s− l j

!

a_l(j +i+1)

=

s−l

X

j=0

s− l j

!

a_l(j + i) +

s−l+1

X

t=1

s− l t−1

!

a_l(t + i), (其中令t = j + 1)

= al(i) +

s−l

X

j=1

"

s− l j

!

+ s− l j −1

!#

a_l(j + i) + al(i + s − l + 1)

= s− l+ 1 0

!

a_l(i) +

s−l

X

j=1

s− l+ 1 j

!

a_l(j + i) + s− l+ 1 s− l+ 1

!

a_l(i + s − l + 1)

=

s−l+1

X

j=0

s− l+ 1 j

!

a_l(j + i) = (1)右邊 由數學歸納法得知, 本定理成立。

在定理一中, 令 i = 1, l = 1, 我們知道底為 k 的 Apex 三角形的最上層的數 a_k(1) =

k−1

X

j=0

k−1 j

!

a₁(j + 1) (2)

如果要計算底為 k 的 Apex 三角形全部的數之總和, 那就要利用下列大家所熟知的定理。

巴斯卡三角形定理:令 m, j 是正整數, 則 1.

^

^m_j

^

+

^

_j−1^m

^

=

^

^m+1_j

^

其中

^

^m

0



= 1;

2.

^

^j_j

^

+

^

^j+1_j

^

+ · · · +

^

^m_j

^

=

^

^m+1_j+1

^

;

3.

^

^m₀

^

+

^

^m+1₁

^

+

^

^m+2₂

^

+ · · · +

^

^m+j_j

^

=

^

^m+j+1_j

^

。

在巴斯卡三角形中, 巴斯卡三角形定理中敘述 1 是指相鄰二數之和為二數中間下方的數。

敘述 2 是指一條從

^

^j_j

^

平行左邊的邊的一串數, 其和為這一串數最下方的數的右下方的數。 敘

述 3 是指一條從

^

^m₀

^

平行右邊的邊的一串數其和為這一串數最下方的數的左下方的數。 敘述 2 可以由敘述 1 輕易得到, 另外因為巴斯卡三角形是具有對稱性的, 所以敘述 2 和敘述 3 本質是一 樣的。

令所有底為 a₁(1), a1(2), . . . , a1(k) 的 Apex 三角形中全部的數之總和為 Tk。 從公式(1)、(2) 可以看出在底為 k 的 Apex 三角形中的任意數會被表示成最底層 a₁(1), a1(2), . . ., a1(k)的 線性組合, 對於 1 ≤ j ≤ i 而且 p + j ≥ i + l, ap(j) 的線性組合中 a1(i) 的係數是

^

^p−1_i−j

^

。 所有這些 a_p(j) 的線性組合中, a1(i) 的係數不為 0 的元素在底為 a1(1), a1(2), . . . a1(k), 的 Apex 三角形中形成一個平行四邊形, 如圖四中所有這些 ap(j) 的線性組合中, a1(3) 的係數 不為 0 的元素有a₁(3), a₂(2), a₂(3), a₃(1), a₃(2), a₄(1)。

a₄(1) a₃(1) a₃(2) a₂(1) a₂(2) a₂(3) a₁(1) a₁(2) a₁(3) a₁(4)

............. .. ...........

............. .............

. ............

............. . ............

............. .............

. ..... .

.. . . .. .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . . .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . ............

............. .............

. ............

............. .............

............. . ............

............. ...................

. ......................................

..............................

圖四

現在來看一些例子:

例如 k= 3時 T3 = 3a1(1) + 5a1(2) + 3a1(3)

k= 4時 T4 = 4a1(1) + 9a1(2) + 9a1(3) + 4a1(4)

k= 5時 T5 = 5a1(1) + 14a1(2) + 19a1(3) + 14a1(4) + 5a1(5) 其中 k = 4 的情形計算如下: (為了方便描述, 我們令

^

⁰₀

^

≡1).

T₄=

^X

1≤i≤4

X

1≤p≤5−i p−1

X

j=0

p−1 j

!

a₁(j + i)

= 0 0

!

a₁(1) + 1 0

!

a₁(1) + 1 1

!

a₁(2) + 2 0

!

a₁(1) + 2 1

!

a₁(2) + 2 2

!

a₁(3) + 3 0

!

a₁(1) +3

1

!

a₁(2) + 3 2

!

a₁(3) + 3 3

!

a₁(4) + 0 0

!

a₁(2) + 1 0

!

a₁(2) + 1 1

!

a₁(3) + 2 0

!

a₁(2) + 2

1

!

a₁(3) + 2 2

!

a₁(4) + 0 0

!

a₁(3) + 1 0

!

a₁(3) + 1 1

!

a₁(4) + 0 0

!

a₁(4)

=

0 0

!

+ 1 0

!

+ 2 0

!

+ 3 0

!!

a₁(1)+

1 1

!

+ 2 1

!

+ 3 1

!

+ 0 0

!

+ 1 0

!

+ 2 0

!!

a₁(2)

+

2 2

!

+ 3 2

!

+ 1 1

!

+ 2 1

!

+ 0 0

!

+ 1 0

!!

a₁(3)+

0 0

!

+ 1 1

!

+ 2 2

!

+ 3 3

!!

a₁(4) 從上面的例子中, a₁(3), a2(2), a2(3), a3(1), a3(2), a4(1), 的線性組合中, a1(3) 的係數

^

⁰₀

^

,



₁

0



,

^

¹₁

^

,

^

²₁

^

,

^

²₂

^

,

^

³₂

^

在巴斯卡三角形中形成一個平行四邊形, 這個平行四邊形與 a1(3), a₂(2), a2(3), a3(1), a3(2), a4(1) 在底為 a1(1), a1(2), a1(3), a1(4) 的 Apex 三角形中形成 的平行四邊形恰好顛倒。 我們可以推廣這個性質到一般的情形。 利用巴斯卡三角形定理, 我們可 以計算所有底為 a₁(1), a1(2), . . . , a1(k) 的 Apex 三角形的元素總和。 由 (1) 知道, ap(j) 的 線性組合中 a₁(i) 的係數

^

^p−1_i−j

^

, 在下面定理中, 我們用嚴格的數學方法來計算一般的 Tk。

定理二:

T_k=

^X

1≤i≤k

X

1≤p≤k+1−i

a_p(i) =

k

X

m=1

"

k+ 1 m

!

−1

#

a₁(m) (3)

證明:

T_k=

^X

1≤i≤k

X

1≤p≤k+1−i p−1

X

j=0

p−1 j

!

a₁(j + i)

=

k

X

m=1



 X

1≤i≤m

X

1≤p≤k+1−i

p−1 m− i

! 



a₁(m)

=

k

X

m=1



 X

1≤i≤m

k− i+ 1 m− i+ 1

! 



a₁(m)

=

k

X

m=1

k+ 1 m

!

−1

!

a₁(m)

三. 推廣荷蘭讀者的問題

在對“底為 k 的 Apex 模 n 三角形”的一些例子作詳細的觀察、 探討和分析。 我們得到下 列性質:

性質1. 由公式 (2) 我們得到 Tk ≡ d(1 + 2 + . . . + n)(mod n)

性質2. 當 n = 1 + 2 + . . . + k 時, 若我們要把 0, 1, 2, . . . , n − 1 排成一個底為 k 的 Apex 模 n 的三角形, 則 Apex 模 n 三角形最上層的那個數必定為 0, 因為若 0 不是在最上層, 那這 Apex 模 n 三角形必有二個相同的數出現, 這與已知不符, 所以最上層那個數必為 0。

性質3. 當 n = st 時, 我們知道底為 k 的 Apex 模 n 三角形也是形成一個底為 k 的 Apex 模 s 三角形。 只要從我們得到所有底為 k 的 Apex 模 s 三角形中的每一個元素 xi 改

為 y_i = xi+ ris, 0 ≤ ri ≤ t −1, 我們可以得到所有底為 k 的 Apex 模 n 三角形 (其中 可能會多得到一些錯誤的底為 k 的 Apex 模 n 三角形)。

性質4. 當 n = st 時, 我們知道所有的底為 k 的 Apex 模 s 三角形有 a 個及所有的底 為 k 的 Apex 模 t 三角形有 b 個。 由性質 3 及中國餘式定理知道, 所有的底為 k 的 Apex 模 n 三角形都可以從 mn 對 (A,B) 推導出來, A 是底為 k 的 Apex 模 s 三角形, B 是底為 k 的 Apex 模 t 三角形, 其中可能會多得到一些錯誤的底為 k 的 Apex 模 n 三角形。

當 k = 1 時, 就只有一個 1, k = 2 時第一排的數是 1、2, 上面是 3。

1. 底為3的 Apex 模 n 三角形

當 k = 3 時, 為了書寫方便, 我就把底部那 3 個數稱為 a, b, c 三數, 則圖五是底為 3 的 Apex 三角形。 因為 1 + 2 + 3 = 6 × 1 = 3 × 2 = 2 × 3, 所以 n 可以是 2、3、6 。

a+ 2b + c a+ b b+ c

a b c

圖五

(1) n = 2 (底為 3 的 Apex 模 2 三角形)。

由公式 (2) 知道圖五的六個數相加之和等於 3a + 5b + 3c, 同時它也等於 3(0+1)。 所以 3a + 5b + 3c ≡ 3(1 + 0) ≡ 1 ≡ a + b + c(mod 2), 既然 a + b + c ≡ 1, 所以 a、b、c 的組 合就只有 111、100、010、001。 這四種經過簡單計算及驗算之後, 它們都形成底為 3 的 Apex 模 2 三角形。 以下四種是 n = 2 時所有的答案。

0

0 0

1 1 1

1

1 0

1 0 0

0

1 1

0 1 0

1

0 1

0 0 1

(2) n = 3 (底為 3 的 Apex 模 3 三角形)。

由公式 (2) 知道圖五的六個數相加之和等於 3a + 5b + 3c, 同時它也等於 2(0+1+2)。 所 以 3a + 5b + 3c ≡ 2(0 + 1 + 2) ≡ 0 ≡ 2b(mod 3)。 我們可得 b ≡ 0(mod 3) 。

0

a 3 − a a 0 3 − a

圖六

所以圖六中 a = 1, 2 時都成立, 共有二組解。

(3) n = 6 (底為 3 的 Apex 模 6 三角形)。

n= 6 時, 我們有三種作法, 一種是照先前方法去分析, 另二種方法是根據性質 2 及性質 3 去分析。

解一: 由性質 2, 我們知道最上層的數是 a + 2b + c = 0, 我們又知道 3a + 5b + 3c ≡ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ≡ 3(mod 6), 我們可得 b = 3(mod 6) 和 a + c = 0(mod 6)。 所以 答案共有四組解:

0

4 2

1 3 5

0

1 5

4 3 2

0

2 4

5 3 1

0

5 1

2 3 4

解二:我們知道 Apex 模6三角形也是形成一個 Apex 模3三角形。 因而只要從我們所得到 二組 Apex 模3三角形再去分析就可以了。 若 x = z(mod3) 則可能 x = z 或 z + 3(mod 6)。

所以我們得到八組可能解, 其中正確的解有以下四組 (a = 1, 2, 4, 5):

0 4a 2a

a 3 5a

解三:我們所得到二組“底為3的 Apex 模3三角形”及四組“底為3的 Apex 模2三角形”。

所以我們得到八組可能解, 其中正確的解有四組 (同上)

2. 底為4的 Apex 模 n 三角形

現在我們來看當 k = 4 時的情況: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 × 1 = 5 × 2 = 2 × 5, 所以 n 可 以等於 2、5 或 10三種。 當 k = 4 時, 我們可以畫出底為 4 的 Apex三角形 (圖七):

a+ 3b + 3c + d

a+ 2b + c b+ 2c + d

a+ b b+ c c+ d

a b c d

圖七

(1) n = 2 (底為 4 的 Apex 模 2 三角形)。

由公式 (2) 知道圖七的十個數相加之和等於 4a + 9b + 9c + 4d, 同時它也等於 5(0+1)。

所以 4a + 9b + 9c + 4d ≡ 5(0 + 1) ≡ 1 ≡ b + c(mod 2)。 這樣 b 和 c 中一個為 0, 一個為 1; 然而三角形有對稱性, 所以就先設 b 為 0, c 為 1, 即可得到圖八。

a+ d + 1 a+ 1 d

a 1 d+ 1

a 0 1 d

圖八

若 d = a, 因為已經有二個 1, 而圖八中有五個 1, 所以 a = d = 0。 這樣可得到一組解:

1

1 0

0 1 1

0 0 1 0

若 a 6= d, 則我們又可得到二組解:

0

1 1

0 1 0

0 0 1 1

0

0 0

1 1 1

1 0 1 0

如果考慮 b = 1, c = 0 時的情況, 我們又有另外對稱的三組解, 所以共有六組解。

(2) n = 5 (底為 4 的 Apex 模 5 三角形)。

因為 4a + 9b + 9c + 4d ≡ 2(0 + 1 + 2 + . . . + 4) ≡ 0 ≡ 4(a + b + c + d)(mod 5), 所以我們知道 a + b + c + d ≡ 0(mod 5), 因此底為 4 的 Apex 模 5 三角形可以改寫成圖九:

2(b + c)

a+ 2b + c c− a

a+ b b+ c −(a + b)

a b c −(a + b + c)

圖九

到這裡, 好像一下子沒有什可以繼續分析的了。 由於圖九中有二個 0, 所以我們就再來試試看 0 在那裡? 由三角形的對稱性, 所以只需要試試左半邊那 6 個數就可以了。 又 b + c 和 2(b + c) 同時等於 0, 因而實際上我們只要分析這 5 個數 b + c, a + 2b + c, a + b, a, b 可能為 0 的情況就 行了。

(a) 若 b + c = 0, 我們將得到四個解。

因為 b + c = 0, 所以可以把 c 視為 −b, 又 d = −(a + b + c) = −a。 這樣圖九可改寫 成圖十。

0

a+ b −(a + b)

a+ b 0 −(a + b)

a b −b −a

圖十

底為 4 的 Apex 模 5 三角形中的十個整數是恰有 5 對 0,1,2,3,4。 因為在圖十中已經出現二個 0, 二個 −(a + b) 及二個 a + b, 所以 a + b 6= 0 而且 a, b, −b, −a 會恰巧形成二對。 但是 (i) a 6= −a, 否則 a ≡ 0(mod 5), 這樣圖十中至少有三個 0(不合)。 (ii) a 6= −b, 否則 a+ b ≡ 0(mod 5)。 由 (i), (ii), 我們知道 a = b, 而且 −a 可視為 4a; −2a 也可視為 3a, 如 果我們得到這樣情況所有的四個解 (如圖十一, 其中 a 代表 1、2、3、4)。

0 2a 3a

2a 0 3a

a a 4a 4a

圖十一

(b) 若 a + 2b + c = 0, 我們將證明這會導致矛盾。

因為 a + 2b + c = 0, 所以 c = −(a + 2b), 又 d = −(a + b + c) = b。 我們可改寫圖九 為圖十二。

−2(a + b)

0 −2(a + b)

a+ b −(a + b) −(a + b)

a b −(a + 2b) b

圖十二

因為在圖十二中已經出現二個 b, 二個 −(a + b), 二個 −2(a + b) 及一個 0, 所以要從 a, a+ b, −(a + 2b) 中再找一個 0。

若 a = 0 則圖十二會有三個 b (不合); 若 a + b = 0, 則 −(a + b) = 0 = −2(a + b), 則圖九會至少有六個 0(不合); 若 −(a + 2b) = 0, 則 b = −(a + b), 這樣圖十二至少就會有四 個 b (不合)。 所以 a + 2b + c 6= 0。

(c) 若 a + b = 0, 我們將證明這會導致矛盾。

因為 a + b = 0, 所以 b = −a, 我們又知道 d + c = −(a + b) = 0, 所以 d = −c。 又可 將圖九改寫為圖十三。

2(c − a) c− a c− a

0 c− a 0

a −a c −c

圖十三

圖十三中有三個 c − a, 這與規定不符, 所以 a + b 6= 0。

(d) 若 a = 0, 我們將證明這會導致矛盾。

因為 d = −(a + b + c) = −(b + c), 可改寫圖九為圖十四。

2(b + c) 2b + c c

b b+ c −b

0 b c −(b + c)

圖十四

因為在 (圖十四) 中已經出現二個 b, 二個 c 及一個 0, 所以要從 −b, b + c, 2(b + c), −(b + c), 2b + c 中再找一個 0。

因為 b 6= 0, 則 −b 6= 0; 因為 b + c, 2(b + c), −(b + c) 三者同時為 0, 而圖十四不會超 過二個 0, 所以它們都不等於 0; 若 2b + c = 0, 則 b = −(b + c), 這樣圖十四會有三個 b(不 合); 所以 a 6= 0。

(e) 若 b = 0, 我們將證明這會導致矛盾。

因為 d = −(a + b + c) = −(a + c), 所以可改寫圖九為圖十五。

2c

a+ c c− a

a c −a

a 0 c −(a + c)

圖十五

因為在圖十五中已經出現二個 a, 二個 c 及一個 0, 所以要從 −a, 2c, a + c, −(a + c), c − a 中 再找一個 0。 因為 a 6= 0, 則 −a 6= 0; 因為 c 6= 0, 則 2c 6= 0; 因為 a + c, −(a + c) 二者同時 為 0, 圖十五會有超過二個 0(不合); 若 c − a = 0, 則 c = a, 這樣圖十五至少會有四個 a (不 合); 所以 b 6= 0 。

從 (a) ∼ (e) 的推論, 我們可證明底為 4 的 Apex 模 5 三角形共有四組解。

(3) n = 10 (底為 4 的 Apex 模 5 三角形)。

我們知道底為 4 的 Apex 模 10 三角形也是形成一個底為 4 的 Apex 模 5 三角形。 所以 我們只要從我們所得到所有底為 4 的 Apex 模 5 三角形的四組解再去分析就可以了。 底為 4 的 Apex 模 5 三角形中有二個 0, 它們在底為 4 的 Apex 模 10 三角形中是 0 和 5, 已知底為 4 的 Apex 模 10 三角形最上層的數是 0, 所以, 另一個就是 5。 若 x = k(mod 5), 則 x = k 或 k + 5(mod 10)。 所以得到以下八組解 (a = 1, 3, 7, 9), 其中如果 a 與 10 不互質, 則 0, a, 2a, . . . , 9a 中必有重複的數出現, 所以不合。

0 2a 8a

7a 5 3a

a 6a 9a 4a

0 2a 8a

7a 5 3a

6a a 4a 9a

3. 底為5的 Apex 模 n 三角形

k = 5 時, 我們可以得到

a+ 4b + 6c + 4d + e

a+ 3b + 3c + d b+ 3c + 3d + e

a+ 2b + c b+ 2c + d c+ 2d + e

a+ b b+ c c+ d d+ e

a b c d e

圖十六

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 × 1 = 3 × 5 = 5 × 3, 所以 n 可以等於 15、3 或 5。

(1) n = 15。 我們將證明底為 5 的 Apex 模 15 三角形不存在。

我們知道底為 5 的 Apex 模 15 三角形也是形成一個底為 5 的 Apex 模 5 三角形。 所以我 們將要從我們得到所有底為 5的 Apex 模5三角形和底為5的 Apex 模3三角形的 c 都是0, 由 中國餘式定理已知底為 5 的 Apex 模 15 三角形的 c 是 0, 這與底為 5 的 Apex 模 15 三角形中 只有一個 0 互相矛盾。 所以底為 5 的 Apex 模 15三角形不存在。

首先我們考慮底為 5 的 Apex 模 3 三角形。 因為 a + 4b + 6c + 4d + e ≡ 0(mod 15) 及 5a + 14b + 19c + 14d + 5e ≡ 0 + 1 + 2 + . . . + 14 ≡ 0(mod 15)。 我們首先考慮底為 5 的 Apex 模 3 三角形, 則 a + b + d + e ≡ 0(mod 3) 及 2(a + b + d + e) + c ≡ 0(mod 3), 所 以 c ≡ 0(mod 3)。

再來我們考慮底為 5 的 Apex 模 5 三角形。 由於 a + c + e + 4(b + d) ≡ 0(mod 5) 及 −(b + c + d) ≡ 0(mod 5), 我們得到 a + 2c + e ≡ 0(mod 5), 所以我們可以令 d ≡

−(b + c), e ≡ −(a + 2c), 這樣圖十六可以改寫成圖十七。

0

a+ 2b + 2c −(a + 2b + 2c)

a+ 2b + c c 2c − a − 2b

a+ b b+ c −b 2c − a − b

a b c −(b + c) −(a + 2c)

圖十七

圖十七中恰有 3 個 0, 由三角形的對稱性, 我們試試左半邊的數那個可能等於 0。

(a) 若 a = 0, 我們將證明這會導致矛盾。

當 a = 0, 可改寫圖十七為圖十八。

0

2(b + c) −2(b + c)

2b + c c 2(c − b)

b b+ c −b 2(2b + c)

0 b c −(b + c) −2c

圖十八

因為在圖十八中已經出現二個 b, 二個 c 及二個0, 所以要從圖十八其他9個數, −b, −2c, b+c, 2(b + c), −(b + c), −2(b + c), 2b + c, 2(2b + c) 及 2(c − b) 中再找一個 0。 因為 b 6= 0, 則

−b 6= 0; 因為 c 6= 0, 則 −2c 6= 0; 因為 b + c, 2(b + c), −(b + c) 及 −2(b + c) 四者會同時 為 0, 這樣會造成圖十八會超過三個 0(不合); 若 2(c − b) = 0, 則 b = c, 這樣圖十八會有四個 b (不合), 所以 a 6= 0。

(b) 若 b = 0, 我們將證明這會導致矛盾。

當b = 0, 可改寫圖十八為圖十九。

0

a+ 2c −(a + 2c)

a+ c c 2c − a

a c 0 2c − a

a 0 c −c −(a + 2c)

圖十九

因為在圖十九中已經出現三個 0, 三個 c 及二個 a, 二個 2c − a 及二個 −(a + 2c), 所以要 從 a + c, a + 2c, −c 中再找一個 a。(i) 因為 c 6= 0, 則 a + c 和 a + 2c 都不等於 a; (ii) 若 a = −c, 則 a + c = 0; 這樣圖中有四個 0(不合)。 由 (i) 與 (ii), a + c, a + 2c, −c 都不等於 a, 則圖中只有二個 a (不合), 所以 b 6= 0。

(c) 若 a + b = 0。 我們將證明這會導致矛盾。

因為 a + b = 0, 所以 b = −a。 可改寫圖十七為圖二十。

0

2c − a a−2c

c− a c a+ 2c

0 c− a a 2c

a −a c a− c −(a + 2c)

圖二十

圖二十中有二個 0, 二個 a, 二個 c 及二個 c−a, 所以要 −a, 2c, a+2c, −(a+2c), a−2c, 2c−

a, a− c 中找一個0。(i) 因為 a 6= 0, 則 −a 6= 0; (ii) 因為 c 6= 0, 則 2c 6= 0; (iii) 因為 a+ 2c, −(a + 2c) 會同時為 0, 2c − a與 a − 2c 也會同時為 0。 這樣會造成圖二十超過三個 0(不合), (iv) 因為 a − c = 0 則 a = c, 會有四個 a (不合)。 由以上推論可知 a + b 6= 0。

(d) 若 b + c = 0, 我們將證明這會導致矛盾。

因為 b + c = 0, 所以可以把 c 視為 −b, d = −(b + c) = 0。 這樣圖十七可改寫成圖二十 一。

0 a −a a+ b −b b− a

a+ b 0 −b 2b − a

a b −b 0 2b − a

圖二十一

因為在圖二十一中已經出現三個 0, 三個 −b, 二個 a, 二個 2b − a 及二個 a + b, 所以要從 b,−a, b − a 中找一個 a 。(i) 若 a = b 則 b − a = 0, 這樣圖二十一至少有四個 0 (不合)。(ii) 若 a = b − a 則 2b − a = a + b, 則圖十八至少有四個 a + b (不合)。(iii) 若 a = −a 則 a = 0, 這樣圖二十一至少有六個 0(不合)。 根據以上的推論圖二十一只有二個 a, 所以 b + c 6= 0。

(e) 若 a + 2b + c = 0, 我們將證明這會導致矛盾。

因為 a + 2b + c = 0, 所以 a = −(2b + c)。 我們可改寫圖十七成圖二十二。

0 c −c

0 c −2c

−(b + c) b+ c −b b−2c

−(2b + c) b c −(b + c) 2b − c 圖二十二

因為在圖二十二中已經出現三個 c, 二個 0, 二個 −(b + c), 所以要從其他的八個數 −c, −2c, b+ c, −b, b − 2c, −(2b + c), b, 2b − c 中再找一個 0。

因為 −c, −2c, c 會同時為 0; b 和 −b 會同時為 0; (b + c), −(b + c) 會同時為 0; b − 2c 和 −(2b + c) = −2(b − 2c) 會同時為 0, 因為圖二十二中只有三個 0, 所以它們都不為 0。

若 2b − c = 0, 則 c = 2b = −(b + c), 我們可得到五個 c (不合), 根據以上的推論, 所 以 a + 2b + c 6= 0。

(f) 若 a + 2b + 2c = 0, 我們將證明這會導致矛盾。

因為 a + 2b + 2c = 0, 所以 a = −2(b + c), e = −(a + 2c) = 2b。 我們可改寫圖十七 成圖二十三。

0

0 0

−c c −c

−(b + 2c) b+ c −b b− c

−2(b + c) b c −(b + c) 2b

圖二十三

因為在圖二十三中已經出現三個 0, 二個 c 及二個 −c, 所以剩下的八個數 b, −b, b + c, −(b + c), −2(b + c), 2b, b − c, −(b + 2c) 都不為0, 但是, b = c + (b − c); −b = c − (b + c); b + c = c+b; −(b+c) = c−(b+2c); −2(b+c) ≡ c−2(b−c)(mod 5); 2b ≡ c+2(b+2c)(mod 5);

所以我們知道這六個數 b, −b, b + c, −(b + c), −2(b + c), 2b 都不等於 c; 又因為 b − c = c+ (b − 2c); −(b + 2c) ≡ c − (b − 2c)(mod 5); 所以 b − c, −(b + 2c) 同時等於 c (不合)。

根據以上的推論, 圖二十三只有二個 c (不合), 所以 a + 2b + 2c 6= 0 。

從 (a) ∼ (f) 的推論, 我們證明所有底為 5 的 Apex 模 5 三角形的 c都是 0, 另外我們已知 所有底為 5 的 Apex 模 3 三角形的 c 也都是 0。 由中國餘式定理已知底為 5 的 Apex 模 15三角 形的 c 是 0, 這與底為 5 的 Apex 模 15三角形中只有一個 0 互相矛盾。 所以底為 5 的 Apex 模 15 三角形不存在。

(2) 當 n = 3 及 n = 5 時, 可以仿照前面的作法, 分各種情況討論。 下列我們寫出所有底 為 5 的 Apex 模 3 和模 5 三角形的第一排數字 a₁(1), a₁(2), . . . , a₁(5)。

底為 5 的 Apex 模 3 三角形:

01020 01121 01201 02010 02102 02212 10210 12012 12110 20120 21021 21220 底為 5 的 Apex 模 5 三角形:

11044 14332 14423 22033 23114 23341 32214 32441 33022 41132 41223 44011

4. 寫電腦程式來找所有的底為 k 的 Apex 模 n 三角形。

k = 6, 7, 8, . . . , 都可以用上面演算法來找答案。 另外也可以寫電腦程式來找所有的答案, 我們可以選擇每一個 a₁(i), 1 ≤ i ≤ k, 為 0, 1, . . . 或 n − 1 後, 去建構底為 5 的三角形; 接 著去計算三角形中的數 a_p(i), 1 ≤ p ≤ k, i ≤ k + 1 − p 是否恰好是 d 個 0, d 個 1, . . . , d 個 n − 1, 如果對的話, 那麼它就是一個底為 k 的 Apex 模 n 三角形。 照這個方法我們可以 找出所有的答案。 可是當 k 大一點時, 電腦就會跑很久。 例如 k = 8, n = 36 時我們要考慮 36 × 35 × 34 × 33 × 30 × 29(= 1, 220, 096, 908, 800) 種底為 8 的三角形。 但是如果我們先 找底為 8 的 Apex 模 3 三角形, 最上層的數是 0 及全部的數之和 = ^d×n(n−1)₂ 的條件, 那只有考 慮 3⁶(= 729) 種底為 8 的三角形, 經過檢驗之後, 我們可以找出所有的底為 8 的 Apex 模 3 三 角形, 再利用同餘定理, 從這些底為 8 的 Apex 模 3 三角形去建構底為 8 的 Apex 模 9 三角形, 結果總共有 114組答案。

若把底為 8 的 Apex 模 9 三角形中的每一個數乘以 s, 其中 s = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 則我們會 得到另一組新的底為 8 的 Apex 模 9 三角形。 下列我們寫出 19(= ¹¹⁴₆ ) 組底為 8 的 Apex 模 9 三角形的第一排數字 a₁(1), a1(2), . . . , a1(8) 。

01348056 01478223 10430865 12345678 12435432 13706802 14280648 15263748 15301758 15672348 16136838 16276215 17620863 31078620 31118886 31281786 61148250 61318683 63107328

同樣地, 我們藉由先找底為 8 的 Apex 模 2 的三角形再建構所有的底為 8 的 Apex 模 4 的 三角形, 另外我們已得到所有的 114組底為 8 的 Apex 模 9 三角形。 由中國餘式定理, 我們可以 找出所有底為 8 的 Apex 模 36 三角形, 但是結果是 0 個。 我們也發現到 k = 6, 7, 8 (已討論過 k = 5 的情形) 時也都沒有底為 k 的 Apex 模 ^k(k+1)₂ 三角形。

四. 荷蘭讀者的問題

如果直接考慮荷蘭讀者的問題底為的最上層的數就不一定是 0 了。 所以我們要先考慮 3⁷ (= 2187) 種底為 8 的 Apex 模 3 三角形, 結果共有 190 種答案, 再利用中國餘式定理, 從這 些“底為 8 的 Apex 模 3 三角形”去建構“底為 8 的 Apex 模 9 三角形”, 結果總共有 306組答案。

下列我們寫出 51(= ³⁰⁶₆ ) 組底為8的 Apex 模 9三角形的第一排數字 a₁(1), a₁(2), . . ., a₁(8)。

01348056 01478223 01608753 01650375 03158874 10204341 10251765 10430865 10435572 10685358 10756038 10857735 12345678 12435432 12505206 12857817 13518867 13521402 13706802 14228730 14280648 14340201 14512584 14641308 15263748 15301758 15601320 15672348 16034208 16136838 16276215 16551702 16554234 17327526 17536752 17620863 17836785 18205833 18364086 18776205 30170715 31053618 31078620 31118886 31281786 31781685 61148250 61318683 61570320 63107328 66140718

附註:

為了完整性, 我們列出一些用電腦程式計算出的結果:

底為 5 的 Apex 模 3 三角形總共有 12組答案;

底為 5 的 Apex 模 5 三角形總共有 12組答案;

底為 6 的 Apex 模 3 三角形總共有 52組答案;

底為 6 的 Apex 模 7 三角形總共有 12組答案;

底為 6 的 Apex 模 21三角形總共有 0 組答案;

底為 7 的 Apex 模 2 三角形總共有 12組答案;

底為 7 的 Apex 模 4 三角形總共有 64組答案;

底為 7 的 Apex 模 7 三角形總共有 78組答案;

底為 7 的 Apex 模 28三角形總共有 0 組答案;

底為 8 的 Apex 模 2 三角形總共有 40組答案;

底為 8 的 Apex 模 4 三角形總共有 300組答案;

底為 8 的 Apex 模 3 三角形總共有 190組答案;

底為 8 的 Apex 模 9 三角形總共有 306組答案;

底為 8 的 Apex 模 36三角形總共有 0 組答案。

五. 參考資料及其他

1. M. Gardner, Mathematical Carnival, Mathematical Association of America, Washing- ton, 1969.

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本文作者就讀於萬芳高中國中部

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