以古典幾何研究一高考試題

數學傳播

31

4

, pp. 78-80

以古典幾何研究一高考試題

石長偉

2005 年江西省高考理科壓軸題: 設拋物線 Γ : y = x² 的焦點為 F , 動點 P 在直線 l : x − y − 2 = 0 上運動, 過點 P 作拋物線的兩條切線 P A 、 P B, 且與拋物線 Γ 分別相切 於 A 、 B 兩點, (1) 求 ∆AP B 的重心 G 的軌跡方程; (2) 證明 ∠P F A = ∠P F B。

標準答案與好多雜誌提供的都是純粹的解析法, 因為解析法本身運算麻煩, 為了簡化思維, 所以筆者對此題進行了古典幾何法的深入探索, 直接將此題的結論推廣到圓錐曲線中, 並加強 了推廣命題。

1. 預備知識

1.1 若 (如圖 1.1) 圓錐曲線 Γ 的割線 AB 延長交相應於 焦點 F 的準線 l 於 C, AF 交 Γ 於 D, 則 CF 平 分 ∠AF B 的外角 ∠BF D

證明: 分別過 A 、 B 作 AA^′⊥ l, BB^′⊥ l, 知 BB^′ : AA^′ = BC : AC; 根據圓錐曲線統一定義知 AF = e· AA^′, BF = e · BB^′; 所以 AF : BF = AC : BC, 由 三 角 形 外 角 平 分 線 性 質 定 理

知 CF 平分 ∠AF B 的外角 ∠BF D。 ^圖1.1 1.2 若 (如圖 1.2) 圓錐曲線 Γ 的切線 P Q 交相應於焦點

F 的準線 l 於 Q, 則 ∠P F Q 為直角。

證明: 根據切線的定義, 當圖 1.1 中的 B 點無限接近 至與 A 重合時, 割線變為切線, 由 1.1知 ∠P F Q 為 直角。

圖1.2

78

以古典幾何研究一高考試題

79

1.3 若 (如圖 1.2) 圓錐曲線 Γ 的切線 P Q 交相應於焦點 F 的準線 l 於 Q, O 為 P Q 上的任 意一點, 且 OK⊥ l, OH⊥ P F , 則 HF = e · OK。

證明: 由1.2知 OF ⊥ F P , ∵ OH⊥ F P , ∴ F H : F P = QO : QP , 過點 P 作 P P^′⊥ l,

∵OK⊥ l, ∴ QO : QP = OK : P P^′, 即 OK : P P^′ = F H : F P , 又據圓錐曲線統一 定義知 P F = e · P P^′, 所以 HF = e · OK。

2. 命題推廣

2.1 若 (如圖 2.1) O 為焦點為 F 的圓錐曲線 Γ 外的一 點, 過點 O 作 Γ 的兩條切線 OA 、 OB, 切點分別是 A 、 B, 且 A 、 B 點在 Γ 的同支上, 則 ∠OF A =

∠OF B (“同支”是指橢圓、 拋物線及雙曲線的一支)。

證明: 過 O 點作 OH¹⊥ AF, OH²⊥ BF, OK⊥ l, 由 1.3知 OK ·e = H¹F, OK ·e = H²F, 故 H¹F = H2F 。 在 Rt∆OH¹F 與 Rt∆OH²F 中, OF 公 用, H1F = H²F, 所以 ∆OH¹F ∼= ∆OH²F, ∴

∠OF A= ∠OF B。 ^圖2.1

2.2 若 (如圖 2.2) O 為焦點為 F 的圓錐曲線 Γ 外的一 點, 過點 O 作 Γ 的兩條切線 OA 、 OB, 切點分別 為 A 、 B, 且 A 、 B 點在 Γ 的異支上, 則 ∠OF A +

∠OF B = π (“異支”是專指雙曲線的兩支)。

證明: 過 O 點作 OH1⊥ AF, OH2⊥ BF, OK⊥ l, 由 1.3知 OK · e = H¹F, OI · e = H²F, 故 H¹F = H2F 。 在 Rt∆OH¹F 與 Rt∆OH²F 中, OF 公 用, H1F = H²F, 所以 ∆OH¹F ∼= ∆OH²F, ∴

∠OF H1 = ∠OF H2。 又 ∵ ∠AF H2+ ∠H2F O+

∠OF H1 = π, ∴ ∠OF A + ∠OF B = π。

圖2.2

3. 命題加強

若 O 為焦點為 F 的圓錐曲線 Γ 外的一點, 過點 O 作 Γ 的兩條切線 OA 、 OB, 切點 A

、 B 在 Γ的同支上, 延長 AB 交準線於 K, 延長 BF 至 Q, 1 當切點 A, B 在對稱軸的異側

80

31

4

96

12

時 (如圖 3.1); 2 當切點 A, B 在對稱軸的同側時 (如圖 3.2); 則 ∠OF K 為直角 (“同支”是 指橢圓、 拋物線及雙曲線的一支)。

圖3.1 圖3.2

證明: 1 由 1.1知 ∠QF K = ∠AF K, 又由 2.1知 ∠BF O = ∠AF O, 但是 ∠AF O =

∠OF Q+ 2∠QF K, 並且 ∠OF Q + ∠BF O = π, 故 2(∠OF Q + ∠QF K) = π, 所以

∠OF K 為直角。

2 由 1.1知: ∠AF K = ∠QF K, 又由 ∠AF O = ∠BF O, 因為 ∠QF K + ∠AF K +

∠AF O+ ∠BF O = π, 即 2(∠AF K + ∠AF O) = π, 所以 ∠OF K 為直角。

圓錐曲線問題的純幾何證法與解析法相較而言, 純幾何法顯得優越多, 讀者不妨在解決問 題時, 多一法考慮, 必有異種收穫。

—本文作者任教於陝西省西安東方中學—