Ministerio VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica Sociedad Matem´atica
de Educaci´on (ONEM 2011) Peruana
Tercera Fase - Nivel 1
30 de setiembre de 2011 - La prueba tiene una duraci´on m´axima de 2 horas.
- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus c´alculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN N ´UMERO ENTERO POSITIVO.
1. ¿Cu´al es el mayor n´umero natural, formado por d´ıgitos distintos, tal que al multiplicar sus d´ıgitos se obtiene como resultado 40 ?
2. Rodrigo, Sa´ul, Tom´as y Ulises son cuatro hermanos que compraron juntos un terreno que cost´o S/. 18000, se sabe que:
Lo que pag´o Rodrigo equivale a la mitad de lo que pagaron sus otros tres hermanos.
Lo que pag´o Sa´ul equivale a la tercera parte de lo que pagaron sus otros tres hermanos.
Lo que pag´o Tom´as equivale a la cuarta parte de lo que pagaron sus otros tres hermanos.
¿Cu´anto pag´o Ulises?
3. Sean A, B, C, D d´ıgitos tales que ABCD + ABC + AB + A = 4200. Calcula el valor de ABC + BCD.
4. Sup´on que la siguiente secuencia de figuras contin´ua indefinidamente. Si la Fig. 40 est´a for- mada por b cuadraditos blancos y n cuadraditos negros, calcula b − n.
Fig. 5 Fig. 4
Fig. 3 Fig. 2
Fig. 1
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5. Dos circunferencias y una recta determinan como m´aximo 6 puntos de intersecci´on, como se muestra a continuaci´on:
¿Cu´antos puntos de intersecci´on determinan, como m´aximo, tres circunferencias y tres rectas?
6. Sea M el menor entero positivo que es m´ultiplo de 20 y tiene suma de d´ıgitos igual a 11. Sea N el menor entero positivo que es m´ultiplo de 11 y tiene suma de d´ıgitos igual a 20. Halla M +N .
7. El conjunto T est´a formado por cuatro enteros positivos distintos cuya suma es igual a k. El conjunto T cumple las siguientes propiedades:
Siempre que sumemos tres elementos distintos de T el resultado es un n´umero primo.
El n´umero k es m´ultiplo de 3.
Halla el menor valor posible de k.
8. Se sabe que hay 7! formas de reordenar los d´ıgitos del n´umero 1234567, se escribe cada una de estas formas en la primera columna de un tablero de 5040 filas y dos columnas (5040 = 7!).
Luego, para escribir n´umeros en las 5040 filas de la segunda columna se sigue la siguiente regla para cada fila: si en la primera columna aparece un n´umero de la forma abcdef g entonces en la segunda columna se escribe el resultado de calcular la suma abc + ef g.
Por ejemplo, a la derecha de 1234567 se escribe 123 + 567 = 690 y a la derecha de 1234576 se escribe 123 + 576 = 699, etc.
Primera columna Segunda columna
1234567 690
1234576 699
1234657 780
... ...
7654321 1086
¿Cu´antos n´umeros de la segunda columna son pares?
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9. Sean A y B dos n´umeros de tres d´ıgitos cada uno, de tal forma que los 6 d´ıgitos usados son diferentes entre s´ı. ¿Cu´al es el mayor valor que puede tomar el m´aximo com´un divisor de A y B?
10. ¿De cu´antas formas se puede escribir, sin repetici´on, los n´umeros del 1 al 14 en la segunda fila del siguiente tablero, de modo que la suma de los n´umeros que resulten en cada una de las 14 columnas siempre sea un cuadrado perfecto?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
GRACIAS POR TU PARTICIPACI ´ ON
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