高毅甲

(1)

高毅甲０９２４數學１－４座號：_____ 姓名：__________

一、單選題：

( )1. cos 3

 ＝

(A) ³

2 (B) 3 (C)¹

2 (D) ³

3

答案：(C) 解析：3

 ＝60°

cos3

 ＝cos 60°＝¹ 2 編號：0102-00130 難易度：易

出處：精選試題認知歷程向度：了解

( )2. 若a＝sin 1，則下列何者正確？

(A)0.8＜a  1 (B)0.6＜a  0.8 (C)0.4＜a  0.6 (D)0.2＜a  0.4 (E)0＜a  0.2

答案：(A)

解析：∵ sin 57° 4

5＝0.8

∴ sin 1＞0.8 編號：0101-00087 難易度：易

出處：高中 107(含上學期)之前題庫新增試題認知歷程向度：了解

( )3. sin (－330° )×cos (－300° )＋

sin420°×cos390°之值為 (A)－1 (B)－¹

2 (C)0 (D)¹

2 (E)1 答案：(E)

解析：原式＝sin30°×cos60°＋sin60°×cos30

° ＝¹

2×¹

2＋ ³

2 × ³

2 ＝¹ 4＋³

4＝1，

故選(E)

編號：0104-00183 難易度：易

( )4. 若 270°＜θ＜360°，則 cos² ＋

( 1－cos ) 2 之值為

(A)2 cosθ－1 (B)1 (C)－1 (D)1－2 cosθ (E)0

答案：(B)

解析：∵ 270°＜θ＜360°

∴ cos² ＋ ( 1 cos )－  ² ＝cosθ＋1－cosθ

＝1

編號：0102-00151 難易度：易

出處：高中 107(含上學期)之前題庫新增試題認知歷程向度：了解

( )5. 設θ為第三象限角，則 3

 不可能為第幾象限角？

(A)一 (B)二 (C)三 (D)四 (E)以上皆非

答案：(B)

編號：0102-00156 難易度：易

( )6. △ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，

則 BC：AC：AB＝

(A)1：2：3 (B)3：4：5 (C)1： 3：2 (D) 2：1： 3 (E) 3：2： 5

答案：(C)

解析：∵ ∠A：∠B：∠C＝1：2：3

∴ ∠A＝¹

6180°＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°

BC：AC：AB＝sin A：sin B：sin C＝¹ 2：

3

2 ：1

＝1： 3：2

編號：0103-00167 難易度：易

( )7. 平面上有 A，B，C三點，已知 B，C 之間的距離是 20 公尺，B，A 之間的距離是 50 公尺，∠ACB＝60°，請問A，C 之間距離的最佳近似值是哪一個選項？

(A)50 公尺 (B)55 公尺 (C)60 公尺 (D)65 公尺

答案：(B)

解析：設AC＝x ( 十公尺 )，

由餘弦定理知

AB²＝AC²＋BC²－2．AC．BC．cos 60°

 25＝x²＋4－2．x．2．¹ 2

 x²－2x－21＝0，

解得 x＝² ⁸⁸

2

 ＝1± 22，因 x＞0，故 x＝1＋

22。

由於 4.6²＝21.16＜22＜4.7²＝22.09  4.6＜ 22

＜4.7 且較接近 4.7，

所以AC＝1＋ 22 1＋4.7＝5.7，選(B)。

(2)

A B C 60。

20公尺

50公尺

編號：0103-00173 難易度：易

( )8. 在△ABC中，AB＝ 3－1，BC＝ 2，

CA＝2，則下列何者正確﹖

(A)∠A＝45° (B)∠A＝30° (C)∠A＝ 135° (D)∠C＝30° (E)∠C＝135°

答案：(B)

編號：0103-00175 難易度：易

( )9. 如附圖，長 10 尺的梯子，底端著地，

頂端靠牆。若梯子與地面形成 75°角，則梯子底端到牆腳的距離等於多少尺？

(A)3 (B)5 ( 3－1 ) (C)10 ( 6－

2 ) (D)5 ( 6－ 2 ) (E)⁵

2 ( 6

－ 2 ) 答案：(E)

解析：如附圖，梯子底端到牆腳的距離為 10cos75°＝10sin15°＝10× ¹

6＋ 2

＝10× ⁶ ²

4

－＝⁵

2 ( 6－ 2 )

編號：0101-00098 難易度：易

( )10. 設 tanθ＝3，則^{3 sin} ^{4 cos} 2 sin 5 cos

 

＋

－＝

(A)2 (B)1 (C)7 (D)11 (E)13 答案：(E)

編號：0102-00159 難易度：易

出處：精選試題認知歷程向度：了解二、多重選擇題：

( )1. 以下各角皆為廣義角，試判斷下列敘述

何者正確？

(A)若 sinθ＝¹

2，則θ＝30°或 150°

(B)從上午 10 時整到上午 11 時 20 分，時鐘的分針所轉的方向角是 480° (C)坐標平面上，⁴⁰

3 π是第三象限角 (D)若θ，

φ是同界角，則θ－φ＝360° (E)坐標平面上，－25 弧度的最小正同界角是－25

＋8π弧度答案：(B)(C)(E) 解析：(C) ⁴⁰

3 π＝2400°與 240°為同界角 ∴ ⁴⁰

3 π在第三象限

(E) －25－1425°，－1425°＋1440°＝15°

故－25 弧度最小正同界角為－25＋8π 編號：0102-00364

難易度：易出處：精選試題認知歷程向度：了解

( )2. 如附圖，設△ABC的三頂點A，B，C 所對的邊長分別為a，b，c，AH為高，∠B 與∠C 皆為銳角，則AH之長為

(A)b sin B (B)c sin C (C)b sin C (D)c sin B (E)a sin∠BAC

答案：(C)(D)

解析：在直角△ABH 中，sin B＝ ^AH

c ，得AH＝c sin B，

在直角△ACH中，sin C＝ ^AH

b ，得AH＝b sin C，

故(C)(D)是正確答案。

編號：0101-00242 難易度：易

( )3. 下列何者與－456°互為同界角？

(A)－96° (B)96° (C)984° (D)－

984° (E)－1536°

答案：(A)(C)(E)

解析：(A) －456°－(－96° )＝－360°＝－1×

360°

(B) －456°－96°＝－552°不為 360°的整數倍 (C) －456°－984°＝－1440°＝－4×360°

(D) －456°－(－984° )＝528°不為 360°的整數倍

(3)

(E) －456°－(－1536° )＝1080°＝3×360°

選(A)(C)(E)

編號：0102-00368 難易度：易

( )4. 下列何者與 93°互為同界角？

(A)267° (B)－267° (C)－627°

(D)1173° (E)－1173°

答案：(B)(C)(D)

解析：(A) 93°－267°＝－174°不為 360°的整數倍

(B) 93°－( －267° )＝360°＝1×360°

(C) 93°－( －627° )＝720°＝2×360°

(D) 93°－1173°＝－1080°＝－3×360°

(E) 93°－( －1173° )＝1266°不為 360°的整數倍

選(B)(C)(D)

編號：0102-00369 難易度：易

( )5. 已知 152，5775，5777 為一直角三角形之三邊長，試問下列何者為鈍角三角形之三邊長？

(A)152，5775，5778 (B)151，5775，

5777 (C)152，5774，5777 (D)151，

5776，5777 (E)153，5776，5778 答案：(A)(B)(C)

編號：0103-00425 難易度：易

( )6. 下列何者的值大於¹

2？

(A)2 sin 40° cos 40° (B)2 cos² 40

°－1 (C)2 sin² 50°－1 (D)2 sin² 70

°－1 (E) ^{2 tan 20}₂ 1 tan 20



－答案：(A)(D)(E) 編號：0104-00488 難易度：易

( )7. 設圓O 為坐標平面上之單位圓，若 P ( a , b )，Q ( c , d ) 為單位圓上兩點，則 sinPOQ 可能值為

(A)ad－bc (B)bc－ad (C)ac－bd (D)bd－ac

答案：(A)(B)

解析：令AOP＝α，AOQ＝β (α、β有向角 )

⇒ POQ＝β－α或α－β（即α－β＜180°如圖）

sinα＝b，cosα＝a，sinβ＝d，cosβ＝c sinPOQ＝bc－ad 或－( bc－ad ) 故選 (A)(B)

編號：0104-00493 難易度：易

( )8. △ABC中，C＝90，a、b、c 分別是

A、B、C 的對邊長，若b＞a，下列何者正確？

(A)sin A＜sin B (B)cos A＜cos B (C)tan A＜tan B (D)sin A＝cos B (E)cos A＜tan A

答案：(A)(C)(D) 解析：sin A＝^a

c ＜^b

c ＝sin B  (A) 正確 cos A＝^b

c ＞^a

c ＝cos B  (B) 錯誤 tan A＝^a

b＜^b

a＝tan B  (C) 正確 sin A＝^a

c＝cos B  (D) 正確 cos A＝^b

c 且 tan A＝^a

b  兩者無法比較大小，所以(E)錯誤

A C

B

c

b

a

編號：0101-00246 難易度：易

出處：精選試題認知歷程向度：了解三、非選題：

1. 已知平面上直角坐標系的原點與極坐標系的極重合，且 x 軸的正向恰為極軸。

(1) 若 P點的直角坐標為 ( －2 3 , －2 )，求其極坐標。

(2) 若 Q點的極坐標為〔6 , 315°〕，求其直角坐標。

答案：(1) 〔4 , 210°〕；(2) ( 3 2 , －3 2 ) 解析：(1) r＝ (－2 3 )²＋－( 2 )² ＝4，

(4)

cosθ＝ ^{2 3}

4

－＝－ ³

2 ，sinθ＝ ² 4

－＝－¹ 2，取θ＝210°，於是P 點的極坐標為〔4 , 210

°〕。

(2) x＝6cos 315°＝3 2， y＝6 sin 315°＝－3 2，

故Q 點的直角坐標為 ( 3 2 , －3 2 )。

編號：0102-00018 難易度：易

出處：配套

認知歷程向度：了解

2. △ABC中，∠A＝120°，AB＝12，AC＝8，若

∠A 的分角線交BC於D 點，求AD之長。

答案：²⁴ 5

解析：設AD＝x

因△ABD面積＋△ACD面積＝△ABC面積故¹

2×12×x×sin60°＋¹

2×8×x×sin60°＝¹ 2× 12×8×sin120°

⇒ 3 3x＋2 3x＝24 3 ⇒ 5x＝24 ⇒ x＝²⁴ 5 即AD＝²⁴

5

編號：0103-00015 難易度：易

出處：配套

3. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，CA＝8，求：

(1) ∠A；(2) △ABC的面積；(3) △ABC外接圓半徑。

答案：(1) 60°；(2) 10 3；(3) ^{7 3}

3

解析：(1) cosA＝

2 2 2

2 b c a

bc

＋－＝

2 2 2

8 5 7 2 8 5 

＋－＝⁴⁰ 80 ＝¹

2

∴∠A＝60°

(2) △ABC的面積＝¹

2bc sinA＝¹

2×8×5×sin60

°＝10 3

(3) 設外接圓半徑為R，則 2R＝

sin a

A ＝ ⁷

3 2

＝^{14 3}

3 ⇒ R＝^{7 3}

3

編號：0103-00083 難易度：中

出處：配套

認知歷程向度：了解 4. 計算 tan 67.5°之值答案： 2＋1

解析：tan 2

 ＝



 cos 1

sin

 





 135 cos 1

135

sin ＝

2 2 1 ( 2)

  2

＝ 2＋1 編號：0104-00048 難易度：易

5. 設θ為銳角，且 cosθ＝¹¹

14，試求 sin (θ－ 30° ) 之值。

答案：¹ 7

解析：因θ為銳角，故 sinθ＝ 1 cos－ ² ＝^{5 3}

14 。所以 sin (θ－30° )＝sinθcos 30°－cosθ sin 30°

＝^{5 3}

14 × ³

2 －¹¹ 14×¹

2＝¹ 7。編號：0104-00067

6. 試問：cos（60°－30°）＝cos 60°－cos 30

°是否成立？

答案：不成立

解析：不成立。cos ( 60°－30° )＝cos 30°＝

2 3，

cos 60°－cos 30°＝

2 1－

2 3，

故 cos ( 60°－30° )≠cos 60°－cos 30°。

編號：0101-00030 難易度：易

出處：課本隨堂練習認知歷程向度：了解

7. 試求 sin 159° sin 51°＋sin 69° sin 39

°之值。

答案： ³

2

解析：原式＝sin ( 90°＋69° ) sin ( 90°－

39° )＋sin 69° sin 39°

＝cos 69° cos 39°＋sin 69° sin 39°＝

cos ( 69°－39° )＝cos 30°＝ ³

2 。編號：0104-00150

難易度：中出處：配套

認知歷程向度：了解四、填充題：

(5)

1. 將直角坐標(－ ⁶

2 ,－ ²

2 )化成極坐標＝

______。（輻角θ取為 0° θ＜360°）

答案：〔 2 , 210°〕

編號：0102-00235 難易度：易

出處：各校試題認知歷程向度：了解

2. 設 270°＜θ＜360°，且 sinθ＋cosθ＝¹ 5，試求 sinθ－cosθ＝______。

答案：－⁷ 5

編號：0102-00236 難易度：易

3. △ABC中，∠A＝60°，AB＝8，AC＝4，則∠

A 的內角分角線段 AD＝________。

答案：^{8 3}

3

解析：△ABC面積＝△ABD面積＋△ACD面積 1

2×8×4×sin 60°＝¹

2×8×AD×sin 30°＋¹ 2

×4×AD×sin 30°，

8 3＝3．AD⇒AD＝^{8 3}

3

C B

A

D 8 4

編號：0103-00237 難易度：易

4. △ABC之∠A、∠B、∠C對邊分別以 a、b、c表示，且a：b：c＝5：6：7，則 ¹

sin A： ¹ sin B： 1

sin C＝______。

答案：42：35：30 編號：0103-00254 難易度：易

出處：各校試題認知歷程向度：了解 5. △ABC中，

(1) 若∠A：∠B：∠C＝3：5：7，則△ABC是何種三角形？^答：______三角形。

(2) 若 sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則△ABC 是何種三角形？^答：______三角形。

答案：(1) 銳角；(2) 鈍角

解析：(1) ∠A：∠B：∠C＝3：5：7，最大角是∠

C

而∠C＝180× ⁷

3 5 7＋＋＝84，

故△ABC 是銳角三角形

(2) a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝3：5：7，最大角是∠C

而 cosC＝

2 2 2

3 5 7 2 3 5 

＋－＝－¹

2，得∠C＝120，

故△ABC 是鈍角三角形編號：0103-00299

難易度：中出處：配套

6. 如圖，圓內接五邊形 ABCDE中，AB＝AE＝8，

BC＝CD，∠A＝120°，∠CDB＝30°，求此圓半徑＝______，五邊形面積＝______。

答案：8，80 3

編號：0103-00361 難易度：中

7. 多項式 8x³－6x＋ 3除以x＋cos 310°，得餘式為。

答案：2 3

解析：cos 310＝cos 50，

所求餘式為 8 (－cos 50 )³－6 (－cos 50 )＋

3

＝－8 cos³50＋6 cos 50＋ 3

＝－2 ( 4 cos³50－3 cos 50 )＋

3

＝－2 cos 150＋ 3

＝－2 (－ ³

2 )＋ 3＝2 3

編號：0104-00402 難易度：中

出處：各校試題認知歷程向度：了解 8. 若 tanα＝－³

4，且 270°＜α＜360°，求 cos³

2

 ＝______。

答案： ^{9 10}

50

－

編號：0104-00423 難易度：中

(6)

9. 請問 9 時 15 分時，鐘面上時針與分針所夾的角度為______弧度。

答案： 23π 24

解析：分針 1 分鐘走 6°；時針 1 分鐘走 0.5°

9 點 15 分時針與分針相隔

90°＋6° × 15－0.5°．15＝172.5°

172.5°＝172.5

180 π＝ 69

72 π＝ 23 24 π 編號：0102-00257

10. 等腰直角三角形ABC 中，∠A＝90°，AB＝3

2，今將BC三等分，D、E為等分點，則AD

＝。答案： 10

解析：AD²＝AB²＋BD²－2AB×BD×cos 45°

＝18＋4－2×3 2×2× ¹

2

＝22－12 ＝10

∴ AD＝ 10

編號：0103-00281 難易度：易