橢圓偏微分方程漫談
陳俊全
一. 橢圓方程
偏微分方程粗分為橢圓、 拋物及雙曲三 類型, 它們是怎麼分的? 這麼分又有什麼 好處? 首先, 考慮最簡單的情況, 假設函數 u = u(x1, x2) 只有兩個變數, 並且滿足一 階方程 (即最高次微分只有一次)
aux1 + bux2 = 0, (1.1) 其中 a, b 為常數, ux1 = ∂x∂u1, ux2 = ∂x∂u2。通 常解這類方程的方法是把左邊的微分組合解 釋為沿 (a, b) 方向的“方向微分”, 即引進 s 及考慮 u(x1+ sa, x2+ sb), 則 u 沿 (a, b) 方向的變化率為
d
dsu(x1+ sa, x2+ sb) = aux1+ bux2 = 0.
由此, 可推得在每一條直線 {(x1+ as, x2+ bs) : −∞ < s < ∞} 上, u 都是常數。 反 之, 若 u 在這些直線上是常數, 則必定滿足 方程 (1.1)。
現在, 考慮難一點的二階方程 (即最高 次微分為兩次)
aux1x1+ bux1x2 + cux2x2 = 0, (1.2) 其中 a, b, c 為常數, ux1x1 = ∂x∂12∂xu1, ux1x2 = ∂x∂12∂xu2, . . .。 一個解 (1.2) 的自然
想法是把二階偏微分的組合分解成兩個一階 微分的作用。 如果二次方程
aλ2+ bλ + c = 0 (1.3) 有兩實根 λ1 及 λ2, 則可將 (1.2) 改寫成
0 = aux1x1 + bux1x2 + cux2x2
= a
"
∂
∂x1(ux1 − λ1ux2)
−λ2
∂
∂x2(ux1− λ1ux2)
#
≡ a( ∂
∂x1 − λ2 ∂
∂x2
)
·( ∂
∂x1 − λ1 ∂
∂x2)u.
上式最後一項是以濃縮的方式表示微分作用。
如此一來, (1.2) 左邊可解釋為沿 (1, −λ1) 方向作微分, 再沿 (1, −λ2) 方向作微分。 分 兩次仿照解 (1.1) 的方法, 即可找出 (1.2) 的 解。
當 λ1, λ2 非實數時, 我們必須用其它方 法或在複數系中考慮方程 (1.2)。 此時, 解的 性質表現得非常不同。 為此原故, 根據 λ1, λ2 的不同可將方程 (1.2) 分成三類型 (在此假 設 a, b, c 為實數):
17
(1) 當 λ1 6= λ2 為相異實根, 即 b2 − 4ab >
0, 稱方程為雙曲型;
(2) 當 λ1 = λ2 為實重根, 即 b2− 4ab = 0, 稱方程為拋物型;
(3) 當 λ1 及 λ2 非實數時, 即 b2− 4ab < 0, 則稱方程為橢圓型;
對更一般二階線性方程
aux1x1+ bux1x2 + cux2x2 + dux1
+eux2 + f = 0,
它的分類只根據最高次微分項的係數 a, b, c 依同樣方法分類。 三類型方程的名稱由來和 二次曲線
ax21 + bx1x2+ cx22+ dx1+ ex2+ f = 0.
是一致的。 b2− 4ac > 0, = 0, < 0 對應的二 次曲線恰為雙曲、 拋物, 和橢圓。 它們的代表 方程分別為 x22− x21 = 1, x2 − x21 = 0 及 x21+ x22 = 1。 若不考慮常數項部份, 相應的 代表方程分別是
波方程(雙曲) ux2x2− ux1x1 = 0 熱方程(拋物) ux2 − ux1x1 = 0 Laplace方程 (橢圓) ux1x1+ ux2x2 = 0.
關於這三個方程進一步性質, 請參看本期 「劉 太平」 的文章。
當函數的變數個數增加或方程微分次數 增高時, 雖然上述三種分類再也不能涵蓋所 有情形, 但許多重要的例子仍然可歸於這些 分類當中。 以 Laplace 方程而言, 在 n 維 空間中的自然推廣是
ux1x1 + ux2x2 + · · · + uxnxn = 0.
習慣上, 我們以 △ 代表∂x∂221+∂x∂22
2+· · ·+∂x∂22n
這個運算, 稱之為 Laplace 算子, 並將方程 簡寫作
△u = 0.
對於一般 n 變數二階線性方程
X
1≤i,j≤n
aijuxixj +
X
1≤i≤n
biuxi + cu = f (1.4) 同樣的, 它的分類以最高次微分的係數 aij 作 依據。 在一個合理的分類當中, 方程的類型不 應該隨座標變換而更動。 當
P
aijuxixj 可經 座標變換而化成 △u 時, 便稱 (1.4) 為橢圓 型方程。 它的充分必要條件為: 存在 λ > 0 使X
1≤i,j≤n
aijξiξj ≥ λ
X
1≤i≤n
ξi2 (1.5) 對所有 (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈
R
n 都成立, 即矩 陣 (aij)n×n 是正定的。當 (1.4) 中的係數和 x = (x1, . . . , xn) 有關時, 橢圓型的定義是在每一點 x 上, (1.5) 都成立。 對於更高階線性方程式, 從 經驗上來看, 橢圓型的定義應該要滿足類似 (1.5) 的條件。 因此, 我們把最高次微分的項 拿出來, 每一個偏微分運算 ∂x∂
i 都用 ξi 取
代, 並把 u 去掉, 這樣得到的數值若對任何 (ξ1, . . . , ξn) 6= (0, . . . , 0), ∈
R
n, 都不會是 零, 便稱之為橢圓型。 對於非線性方程式, 我 們利用泰勒展開式, 以線性方程作逼近, 再以 線性方程的分類當作原方程的分類。 在下面 的文章裡, 我們會有較詳盡的討論。在橢圓方程裡面, Laplace 方程是最單 純的一個, 也是其它同類方程的根源。 我們先 來看看為什麼它這麼重要。
二. Laplace 算子
對 ∆u = 0 我們可以做一些初步觀 察。 首先, 常數是一個解, 線性函數也是; 解 和解相加, 或解乘一個倍數, 都還是解。 我 們也可以試著找一些特解, 例如假設 u 在 x2, . . . , xn 方向上為常數, 或假設 u 為多 項式等。 通常, 找一些有對稱性的特殊解, 對 了解方程有很大幫助 (進一步的討論, 可參考 本期 「許健明」 的文章)。 比如, 考慮對原點 對稱的解, 即 u 可寫成 u = ψ(r), 其中 r = |x| =
q
x21+ . . . + x2n。 經由計算, 可 得0 = ∆u = d2
dr2ψ(r) +n− 1 r
d drψ(r).
兩邊同乘 rn−1 得到 0 = rn−1∆u = d
dr(rn−1 d drψ).
因此
rn−1 d
drψ = C,
其中 C 為一個常數。 將 rn−1 移至右邊, 再 積分得
ψ(r) =
Z
C rn−1dr=
Cln r + C1,
−n−2C r−n+2+ C1, n ≥ 3,(2.1) 其中 C1 為另一常數。 由於已知 C1 本身是 解, (2.1) 中令 C1 = 0, C = 1 得到一個代 表解
ψ0(r) =
ln r, n = 2
−r−n+2n−2 , n≥ 3. (2.2)
如果將原點平移至 P 點, 則 ψ0(|x − P |) 是 滿足 Laplace 方程且對 P 點對稱的解。 然而 不幸的是, ψ0 這種解在原點 r = 0 時, 並沒 有定義, 因此似乎不是一個好的有用的例子。
事實上, 大自然中經常有這種“不好”的 函數。 考慮真空中 N 個帶電粒子位於 p1, . . . , pN 的地方, 其電荷分別是 q1, . . . , qN. 根據庫倫定律, 在 x 處的電埸是
E(x) =
N
X
k=1
qk
x− pk
|x − pk|3,
在此假設庫倫常數為 1。 相應的電位能可經積 分得到
V(x) =
N
X
k=1
−qk
|x − pk|. (2.3) 其中 1
|x−Pk| 恰好是 n = 3 時, ψ0 的形式。
因此我們馬上可以推論, 當 x 6= p1, . . . , pN
時
∆V (x) = 0, (2.4) 即在沒有電荷的地方, 電位能 V 滿足 Laplace 方程。
當空間中佈滿電荷且在 x 點的電荷密 度為 ρ(x) 時, 我們可將空間切成一塊塊方 格, 並假設每一方格中, 電荷皆集中在中心點 上。 如此一來, 電位能便能用 (2.3) 的形式逼 近。 當格子切割越來越小時, 可得到位能的積 分表示
V(x) =
Z
R3
ρ(y)
|x − y|dy. (2.5) 由庫倫力的二次倒數規則, 可以推出電學的 Gauss 定律
−
Z
∂Ω∇V · νdσ=4π · Ω中的電荷量
=4π
Z
Ωρ(y)dy, (2.6)
其中 ∂Ω 表 Ω 的邊界, ν 表 ∂Ω 上向外的單 位法向量, dσ 表示 ∂Ω 上的積分單元, ∇V 代表 V 的梯度。 另一方面, 由 divergence 定 理, 有
Z
∂Ω∇V · νdσ =
Z
Ωdiv∇V dy =
Z
Ω∆V dy.
(2.7) 上式中, 對一向量函數 ~g = (g1(x), g2(x), . . . , gn(x)), 其散度定為
div~g =
n
X
j=1
∂gj
∂xj
.
因此按定義有 div ∇V = ∆V 。 令 |Ω| 表 Ω 的體積, 並把 (2.6) 和 (2.7) 合起來, 得
1
|Ω|
Z
Ω∆V dy = −4π
|Ω|
Z
Ωρdy.
如果讓 Ω 包含 x, 並縮小到一點, 則上式取 極限得
∆V (x) = −4πρ(x). (2.8) 此式描述了 Laplace 算子和 ρ(x) 的關係, 是 (2.4) 的推廣。 事實上, 對 (2.5) 直接取 Laplace 算子, 經過較小心的計算, 也可得到 (2.8)。
由於重力和庫倫力都遵循二次倒數的規 則, (2.5) 和 (2.8) 的關係, 對重力位能也是 成立的。
另一個跟 Laplace 算子有密切關係的 是擴散作用。 假定 u 代表溫度或化學物質的 濃度。 物質的溫度或濃度是由高處向低處流 動。 由於梯度 ∇u 代表 u 增加的方向, 一個 合理的假定是 u 流動的方向及大小是 −∇u 的倍數。 為方便起見, 假設正好是一倍。 由於
散度 (divergence) 的物理意義代表物質在 一點的淨出入, 我們有
x 點的擴散作用
= u 在 x 點的淨流進流出
= div(−∇u) = −∆u.
我們也可以直接估算物質在 x 點的進 出。 令 ∂Br(x) = {y ∈
R
3 : |y − x| = r}為球表面。 當 r 很小時, x 外圍的溫度或濃 度可用 u 在 ∂Br(x) 上的平均值來代表。 在 x 點擴散作用的方向和此平均值相對於 u(x) 的大小有關, 合理的假設是
擴散作用
;
c( 1 4πr2Z
∂Br(x)u(y)dσ − u(x)) (2.9) 其中 c 為適當比例常數。 在 x 附近, 將 u 作 泰勒式展開
u(y) = u(x) +
X
j
∂u
∂xj
(x)(yj − xj)
+1 2
X
j
∂2u
∂xj∂xj
(yj− xj)2
+
X
i6=j
∂2u
∂xi∂xj
(x)(yi−xi)(yj−xj) +o(|y − x|2).
將此展式代入 u 的平均值, 並利用 yi−xi 及 (yi − xi) (yj − xj), i 6= j 為奇函數, 其在
∂Br(x) 上的積分為零, 可得 1
4πr2
Z
∂Br(x)u(y)dσ
= u(x) + 1 4πr2
3
X
j=1
uxjxj(x)
Z
∂Br(x)
(yj−xj)2 2 dσ
+ 1 4πr2
Z
∂Br(x)o(r2)dσ
= u(x) + 1 24πr2
X
j
4πr4uxjxj + o(r2)
= u(x) +1
6r2∆u(x) + o(r2).
將此計算代入 (2.9) 中, 令 r → 0, 為了不 讓右邊的值消失, 可取 C = r62, 則得到
擴散作用 = ∆u(x). (2.10) 由於當 u 在 ∂Br(x) 上的平均值小於 x 點 值時, 代表物質從 x 向外擴散, 因此 ∆u < 0 代表向外擴散, 同樣道理, ∆u > 0 則代表向 內擴散。
如果考慮 u 如何隨著時間變動, 可假設 u = u(x, t) 表示 x 位置, t 時刻的溫度, 則 熱傳導的基本模型是: 溫度的增加正比於該 點擴散進來的熱量, 即
ut = c∆u,
其中 c 為常數, 此即熱方程。 當 u 代表化學物 質濃度時, 同樣的方程式也成立。 在實際的情 況裡, 除了擴散作用外還有化學反應的發生, 此反應會影響物質的溫度或濃度, 而反應的 大小往往又和 u 本身的大小有關。 因此熱方 程可再加上一個反應項 f (u) 成為
ut = c∆u + f (u),
此即所謂反應擴散方程 (請參見本期羅主斌 的文章)。 它的不同形式被拿來講述生態上生 物的消長; 斑馬、 豹、 蜥蜴身上的花紋; 神經 軸上的脈衝; 以及多種化學反應。 擴散及反應
兩機制的交互作用, 產生多彩多姿意想不到 的現象。
Laplace 算子在各科學領域中, 似乎隨 手可見。 由於擴散作用是布朗運動的巨觀表 現, Laplace 算子在統計力學中佔有重要地 位。 在其它如量子力學, 流體力學, 材料科學 當中, 也是不可或缺的部份。 甚至在視覺影響 處理, 神經網路的領域, 都有它的蹤跡。 回到 數學領域來, 也有同樣的情形。 在複變函數的 領域中, 一個解析函數的實部及虛部都滿足 Laplace 方程。 在微分幾何的領域當中, 曲 率的表示及估計都一再用到 Laplace 算子, 而從研究流形上調和函數 (即滿足 Laplace 方程之解) 及調和映射 (某種調和函數的推 廣), 可以獲得許多分析、 拓樸、 及代數結構 的資料。 在分析領域, 研究 Laplace 算子相 關的性質已發展成一門 potential theory。
在解“不好”的偏微分方程時, 我們往往會加 入 Laplace 算子以使方程變得穩定。 由於 Laplace 算子是布朗運動的巨觀表現, 它和 機率理論有非常自然的內在關聯。 我們可以 說上天賜予我們重要的東西如 π, e,√
−1 . . . 等不是那麼多, 而 Laplace 算子就是其中的 一項。
三. Dirichlet 問題
形如 (2.8) 的方程, 稱作 Poisson 方程。
假設我們在
R
n 中的區域 Ω 上考慮這樣的方 程, 為了得到少數或唯一的解, 需要另加限制 條件在 ∂Ω 上。 常見的有 Dirichlet 問題, 即 求下列方程之解
∆u = f (x) in Ω
u = g(x) on ∂Ω. (3.1)
如果把 u 想成溫度, f (x) 取成零, (3.1) 代表 的是邊界溫度控制在 g(x) 的大小上, 而讓 u 在 Ω 內部達到均衡 (即擴散的淨作用為零)。
若把邊界 ∂Ω 上的條件改為
∆u = f (x) in Ω
∂u
∂ν = 0 on Ω,
其中 ν 代表 ∂Ω 上向外的法向量, 則稱之 為 Poisson 方程的 Neumann 問題。 它代表 邊界上內外溫度的變化為零, 因此沒有熱的 進出。 我們也可以在邊界上放其它限制條件, 有時候問題會變得很難或沒有解。 在以下的 討論裡, 為簡單起見, 只考慮 Dirichlet 問 題 (3.1)。
為了研究 ∆u 的性質, Green 將它乘上 一個函數 v, 並做二次分部積分而得到
Z
Ωv∆udy =
Z
∂Ωv∂u
∂νdσ−
Z
Ω
X
vxjuxjdy=
Z
∂Ω(v∂u
∂ν − u∂v
∂ν)dσ +
Z
Ωu∆vdy. (3.2) 對固定的 p ∈ Ω, Green 令 v(y) = ψ0(|y − p|), 其中 ψ0 為 (2.2) 中的函數。 為 使 (3.2) 有意義, 我們以 Ω \ Br(p) 取代 Ω, 其中 Br(p) = {y ∈
R
n : |y − p| < r} 為包 含於 Ω 中的小球。 這時 ψ0 中沒定義的點起 了神奇的作用。 令 ∂Br(p) 表示 Br(p) 的邊 界, 再利用 ∆ψ0 在 y 6= p 時為零, 則 (3.2) 變成Z
Ω\Br(P )v∆u =
Z
∂Ω(v∂u
∂ν − u∂v
∂ν) (3.3) +
Z
∂Br(P )(v∂u
∂ν − u∂v
∂ν).
令 r → 0 及利用 ∂v∂ν = −dψdr0, 有
Z
∂Br(P )v∂u
∂ν −→ 0 及 (3.4)
Z
∂Br(P )u∂v
∂ν −→ −ωnu(p), 其中 ωn 表 n 維單位球的表面積。 因此, 當 r−→ 0 時, 可利用 (3.3) 表示出 u(p) 的值
u(p) = 1 ωn
n Z
Ωψ0(|y − p|)∆u(y)dy +
Z
∂Ω
u(y)∂ψ0(|y − p|)∂ν
−∂u(y)
∂ν ψ0(|y − p|)
dσ
o
.(3.5) 回到問題 (3.1), 則 (3.5) 右邊的 ∆u 及在邊 界上的 u 可用 f 及 g 取代。 唯一不知道的 是邊界上的 ∂u∂ν。 為了解決這個問題, 在 (3.3) 中重新取v(y) = ψ0(|y − P |) + wp(y) 其中 wp 是滿足邊界值問題
∆wp(y) = 0 in Ω
wp(y) = −ψ0(|y − P |) on ∂Ω(3.6) 的解。 為了符號上的方便, 我們定義 G(y, p)
= w1
nv。 由於 w 以及 ∂w∂v 都是有界的函數, (3.4) 仍然不受影響。 利用 ∆v 在 y 6= p 時 為零, 我們仍有 (3.3)。 利用 v 在 ∂Ω 上為 零, (3.3) 中關於
R
∂Ωv partialu∂ν 的項將消失 不見而得到u(p) =
Z
ΩG(y, p)f (y)dy (3.7) +
Z
∂Ω
∂G(y, p)
∂ν g(y)dσ, 這便是著名的 Green 表現式, 而 G(y, p) 就 稱為 Green 函數。 利用 Green 函數, 可以
將 Ω 內任一點 p 上的值 u(p) 用 f 及 g 表 示出來, Dirichlet 問題 (3.1) 也因而獲得解 答。
在上述的推論當中有一個困難點, 即對 一般區域 Ω, 由於需要解 (3.6) 這樣的問題, 很難知道 Green 函數是否存在。 當 Ω = B1 = {y ∈
R
n : |y| < 1} 為球時, 利用 其幾何性質可以直接找出 Green 函數。定理1: 假設 Ω = B1, 則 G(y, P ) = 1
wn
h
ψ0(|y − p|) − |p|2−nψ0(|y − p∗|)
i
其中 p∗ = |p|12p.事實上, 令 w = −|p|2−nψ0(|y − p∗|), 則由 於 p∗ 6∈ B1, 有∆w = 0。 在邊界 ∂B1上, 利 用球的幾何性質可驗證 w = −ψ0(|y − p|)。
因此 w 滿足 (3.6) 而按照定義 G(y, p) =
1
wn(ψ0+ w)。 由此可知定理 1 成立。 由 (3.7) 及定理 1 立刻可以得到下面定理。
定理2: 假設 Ω 為球, 則 Dirichlet 問 題 (3.1) 可以解。
定理 2 可說是 Green 理論的重大勝利。
當 Ω 非球時, Green 函數不一定能精確寫 出, 但是我們仍能由 Green 表現式了解許多 解 u 帶有的性質。
為了解決一般區域 Ω 上的 Dirichlet 問 題, 我們再看看 Laplace 方程還具備那些性 質。 由 (2.9) 及 (2.10), 當 ∆u = 0 時, 我 們應該有
1
|∂Br(x)|
Z
∂Br(x)u(y)dσ = u(x),
其中 |∂Br(x)| 表示球 Br(x) 的表面積。 事 實上, 我們有下列定理
均值定理: 令 Ω 表
R
n 中的開區域且 Br(x) ⊂ Ω。(1) 若在Ω上 ∆u ≥ 0, 則 u(x) ≤ 1
|∂Br(x)|
Z
∂Br(x)u(y)dσ且 u(x) ≤ 1
|Br(x)|
Z
Br(x)u(y)dy (2) 若在Ω上 ∆u ≤ 0, 則
u(x) ≥ 1
|∂Br(x)|
Z
∂Br(x)u(y)dσ且 u(x) ≥ 1
|Br(x)|
Z
Br(x)u(y)dy.
定理中, |Br(x)| 表示球 Br(x) 的體積。 這 個定理和 (2.9), (2.10) 的直覺解釋是相合 的。 它可以用 (3.7) 去證, 或經由下面的推 導得到。 假設 ∆u ≥ 0。 令 ρ = |y − x|, ω= (y−x)ρ , 則由 divergence 定理有
0 ≤
Z
Bρ(x)∆u(y)dy =
Z
∂Bρ(x)
∂u
∂νdσ
=
Z
∂Bρ(x)
∂u(x + ρω)
∂ρ dσ
= ρn−1
Z
|ω|=1
∂u(x + ρω)
∂ρ dω
= ρn−1 ∂
∂ρ
Z
|ω|=1u(x + ρω)dω
= ρn−1 ∂
∂ρ
"
1
|∂Bρ(x)|
Z
∂Bρ(x)udσ
#
. 因此, u 在 ∂Bρ(x) 上的平均值是遞增 函數。 特別地, 我們有
u(x) = lim
ρ→0+
1
|∂Bρ(x)|
Z
∂Bρ(x)udσ
≤ 1
|∂Br(x)|
Z
∂Br(x)udσ.
由此還可進一步得到 1
|Br(x)|
Z
Br(x)u(y)dy
= 1
|Br(x)|
Z
r0 |∂Bρ(x)|
R
∂Bρ(x)udσ
|∂Bρ(x)| dρ
≥ 1
|Br(x)|
Z
r0 |∂Bρ(x)|u(x)dρ = u(x).
同樣的方法, 可以證明均值定理的第 (2) 部 份。 應用均值定理可以得到
極大值原理: 令 Ω = Ω∪ ∂Ω, u 為 Ω 上的連續函數。
(1) 若在 Ω 上 ∆u ≥ 0, 則 u ≤ max∂Ω u。
(2) 若在 Ω 上 ∆u ≤ 0, 則 u ≥ max∂Ω u。
由這個定理, 可以發現當 ∆u ≥0 時, 最大值總是可以在邊界上找到; 當 ∆u ≤ 0, 則最小值可在邊界上找到。 定理的證明如下:
假設 ∆u ≥ 0, 且有 x0 ∈ Ω 使 u(x0) = maxΩu >max∂Ωu。 由均值定理, 在 x0 附 近的小球上有
u(x0) ≤ 1
|Br(x0)|
Z
Br(x0)u(y)dy
≤ 1
|Br(x0)|
Z
Br(x0)u(x0)dy = u(x0).
若在 Br(x0) 上某些 u(y) < u(x0), 則第 二個 “≤” 中, “<” 號必會成立而得到矛盾。
因此在 Br(x0) 上, u = u(x0)。 現在, 再 取 x1 ∈ ∂Br(x0), 同樣的論證可得 u 在 x1
附近的小球區域取值都是 u(x0)。 依此類推, u 取值 u(x0) 的區域可以擴充出去直到邊界
∂Ω 上。 但由假設 max∂Ωu < u(x0), 我們 得到矛盾。 同樣的論證, 可證明 ∆u ≤ 0 的
情形。 極大值原理的一個馬上應用是解的唯 一性。
唯一性定理: 假設 u, v 是 Ω 上的連線 函數, 在 Ω 上 ∆u = ∆v, 在 ∂Ω 上 u = v, 則 u = v。
證明: 令 w = u − v, 則
∆w = 0 in Ω w= 0 on ∂Ω.
由極大值原理, 有 0 = min
∂Ω w ≤ w ≤ max∂Ω w = 0, 即 w 恆為零。
從唯一性定理可以得到 Dirichlet 問題 (3.1) 的唯一性。 極大值原理的另一個應用是 比較定理: 假設 v, u, w 為 Ω 上連續函 數, 在 Ω 上 ∆v ≥ 0, ∆u = 0, ∆w ≤ 0, 且在 ∂Ω 上 v ≤ u ≤ w, 則在 Ω 上有 v ≤ u ≤ w。
證明: 令 h = v − u, 則在 Ω 上 ∆h =
∆v − ∆u ≥ 0 且在 ∂Ω 上 h = v − u ≤ 0。
由極大值原理, 有 v −u = h ≤ max
∂Ω h≤ 0。
同理可證 w − u ≥ 0。
在 Ω 上, 當 ∆u ≥ 0 時, 我們稱 u 為 subharmonic 函數, 當 ∆u = 0 時, 稱之 為 harmonic 函數, 當 ∆u ≤ 0 時, 則稱為 subharmonic。 當 u 只是連續而不一定二次 可微時, 我們以均值定理 (1) 及 (2) 的不等 式取代 ∆u 的不等式。 若在每一點 x ∈ Ω (1) 中的不等式對夠小的 r 都成立, 則稱 u 為 subharmonic; 若 (2) 中不等式對夠小 的 r 都成立, 則稱 supharmonic。 至於 har- momic 的定義, 則是把不等號改成等號。 當
u 是二次可微時, 利用類似從 (2.9) 到 (2.10) 的計算過程, 很容易看出新的 subharmonic, subharmonic 定義和原來的是一樣的。 由於 比較定理是由極大值原理證得, 極大值原理 又只依賴均值定理。 我們可以重新敘述廣義 版本的比較定理。 令 ¯Ω = ∂Ω ∪ Ω。
廣義比較定理: 設 v, u, w 在 Ω 連續且 不一定二次可微, v 為 subharmonic, u 為 harmonic, w 為 supharmonic, 且在 ∂Ω 上 v ≤ u ≤ w, 則在 Ω 上有 v ≤ u ≤ w。
較弱的 subharmonic 定義還有一個好 處, 即
引理: 若 u, v 為 subharmonic, 則 max(u, v) 也是 subharmonic。
證明: 令 w = max(u, v), 則對夠小的 Br(x) ⊂ Ω 有
w(x) = max(u(x), v(x))
≤ max
1
|Br(x)|
Z
Br(x)u(y), 1
|Br(x)|
Z
Br(x)v(y)
≤ max
1
|Br(x)|
Z
Br(x)w(y), 1
|Br(x)|
Z
Br(x)w(y)
= 1
|Br(x)|
Z
Br(x)w(y), 即 w 也是 subharmonic。
由廣義比較定理知, 當邊界相同時, har- monic 函數是最大的 subharmonic 函數。
利用這個想法及球上的存在性定理 2, 我們可 以解決 Dirichle 問題。
存在性定理: 假設 Ω 的邊界及 f 夠平 且滑, 且 g 是連續函數, 則 Dirichlet 問題 (3.1) 有唯一解。
首先, 我們把 (3.1) 簡化一下。 類似 (2.5) 及 (2.8) 的關係, 經由小心計算, 有
∆
Z
Ωψ0(|y − x|)f(y)dy = ωnf(x).
令 u0 = w1
n
R
ψ0(|y − x|)f(y)dy, ˜u = u− u0,g˜= g − ∆u0, 則u 滿足˜
∆˜u= 0 in Ω
˜
u= ˜g on ∂Ω. (3.8) 因此只要能解 (3.8), 就可解出 (3.1)。
存在性定理的證明: 只需證明 (3.8) 有 解即可。 令 S˜g = {v : v 是 subhar- monic, 且在 ∂Ω 上 v ≤ ˜g} 及 v0 = 常 數 = max∂Ωg。 由於˜ ∆v0 = 0 且在 ∂Ω 上對 v ∈ S˜g 都有 v0 ≥ v, 從比較定理 可知在 Ω 上 v ≤ v0, 即 S˜g 有上界 v0。 利用 harmonic 函數是同邊界中最大 sub- harmonic 函數的想法, (3.8) 解的候選人應 是 u = supv∈Sg˜v。 由引理知, subharmonic 函數取其大仍是 subharmonic, 因此 u 是 subharmonic。 那麼 ∆u 是否為零呢? 對 Br(x) ⊂ Ω, 利用定理2, 可以找到解 h 滿足
∆h = 0 in Br(x) h= u on ∂Br(x).
由比較定理知在 Br(x) 上 u ≤ h。 事實上, 我們可證在 Br(x) 上, u = h。 若非, 則有 z ∈ Br(x) 且 u(z) < h(z)。
令
w(y) =
u(y), y 6∈ Br(x) h(y), y ∈ Br(x)
則 w 仍是 subharmonic。 原因如下: 當 p6∈ Br(x) 且 ρ 很小時, 有
w(p) = u(p) ≤ 1
|Bρ(p)|
Z
Bρ(p)u(y)dy
≤ 1
|Bρ(p)|
Z
Bρ(p)w(y)dy.
當 y ∈ Br(x) 時, 取 ρ 很小使 Bρ(p) ⊂ Br(x), 則
w(p) = h(p) = 1
|Bρ(p)|
Z
Bρ(p)h(y).
因此, w 滿足 subharmonic 的定義, 而有 w∈ S˜g。 如此一來,
u(z) = sup{v(z) : z ∈ S˜g}
≥ w(z) = h(z) > u(z), 這是一個矛盾。 所以唯一的可能是在 Br(x) 上 u = h, 即 ∆u = 0。 對每一點 x ∈ Ω, 都 可取附近的小球做同樣論證, 而得到在 Ω 上
∆u = 0。 另一方面, 由於假設 Ω 邊界很平 滑, S˜g 中的 subharmonic 函數, 在 ∂Ω 上 可任意接近 ˜g, u 的邊界值也因此必定是 g。˜ 證明完畢。
上述利用 subharmonic 求解的方法 稱 Perron 方法。 其它還有 Poincare 的 sweeping 方法, Fredholm 的積分方程方法, Hilbert 空間的方法及底下將提及的變分方 法等。 Perron 方法的好處是適用於非常廣泛 的情況, 它的論述也非常基本。
四. Schauder 理論及連續性方 法
對於一般二階線性橢圓方程 Dirichlet 問題
Lu≡
P
aij(x)uxixj+P
bi(x)uxi+c(x)u= f (x) in Ω u = g on ∂Ω,
(4.1)
上一節的方法很難直接應用。 在這裡, 一個大 膽的想法是所謂連續性方法: 將原有問題連 續變動到一個較簡單可解的問題, 然後證明 當問題從簡單的“慢慢”往回變時, 由於每次 只更動一點, 下一步驟的可解性應該可從前 一步驟得到, 最後也能得到原問題的可解性。
這個想法雖然巧妙, 但實際上行得通嗎?
令 Lu 如 (4.1) 所定義。 由於已知 Laplace 算子的 Dirichlet 問題可解, 我們可 定義連續變動的算子為 Ltu= (1 − t)∆u + tLu, 0 ≤ t ≤ 1。 當 t = 0 時, Lt 為 Laplace 算子; 當 t = 1 時, Lt = L 為 原來的算子。 首先, 將 (4.1) 簡化一下。 任取 u0 使在 ∂Ω 上, u0 = g。 令 ˜u = u − u0, f = f − Lu0, 則 u 滿足˜
L˜u= ˜f in Ω
˜
u = 0 on ∂Ω. (4.2) 由於 (4.2) 和 (4.1) 等價, 可考慮新問題的 形式如下
Ltu= f in Ω
u = 0 on ∂Ω. (4.3) 我們希望 t = 0 時問題的可解性可傳到 t = 1 來。 假設已知 t = s, 問題可解, 如何說 明當 t = s + ε, ε 很小時問題也可解? 將 Ls+εu= f 改寫成
Lsu= Ls+εu+ (Lsu− Ls+εu)
= f + ε(∆u − Lu).
將 t = s 時的解記作 L−1s f 。 上述方程等價 於
u= L−1s (f + ε(∆u − Lu)). (4.4) 利用疊代的方法解 (4.4)。 首先取 u0 = 0, 並 定義 uk 和 uk−1 的關係如下
uk = L−1s (f + ε(∆uk−1−Luk−1)), (4.5) 則 uk 和 uk−1 的差距為
uk− uk−1= εL−1s
∆(uk−1− uk−2)
−L(uk−1− uk−2)
. (4.6) 在此, 必須引進函數收斂的觀念來說明 uk 如 何收斂到一個解。 常見衡量函數間差距的方 法有
||h − φ||C(Ω)= supx∈Ω|h(x) − φ(x)|,
||h − φ||C2(Ω)= supx∈Ω
n
|h(x) − φ(x)|+
X
i
|∂h
∂xi − ∂φ
∂xi| +
X
i,j
| ∂2h
∂xi∂xj− ∂2φ
∂xi∂xj|
o
等等。 假設有某種衡量函數間距離的方式|| ||, 則 “ uk 收斂到 u ”可定義為“當 k →
∞ 時, ||uk− u|| → 0”。 如果另外有 (4.6) 右邊的估計
||L−1s
∆(uk−1−uk−2)−L(uk−1−uk−2)||
≤ C||uk−1−uk−2|| (4.7) 對某固定常數 C 成立, 則 (4.6) 變成
||uk− uk−1|| ≤ Cε||uk−1− uk−2||.
如果取 ε ≤ 2C1 , 則 Cε < 1。 上式因而 表示 uk 和 uk−1 在疊代進行中靠近得非常 快, 並且能收斂到某個 u (此即所謂收縮映 射的固定點定理)。 現在, 在 (4.5) 左右兩邊 令 k → ∞, 則 (4.4) 有解 u。 這表示原方程 Ls+εu= f 也有解。 利用這種論證, 從 t = 0 的可解性, 可依次推得 t 在 [0,2C1 ], [0,2C2 ], . . . , [0,2Cm], . . . 有可解性, 最後可以得到原 問題 (4.2) 或 (4.1) 有解。
在上述推論中, 唯一缺少的環節便是 (4.6) 的估計。 Schauder 的理論, 便是為 了完成這項估計。 在取適當的距離 || ||後, Schauder 證明若 c(x) ≤ 0, 則 (4.1) 中 u 的大小可由 f 及 g 決定。 利用這個結果, 可以獲得 (4.6) 的估計。
在更一般的非線性橢圓方程當中, 連續 性方法也是很重要的。 它的成敗往往在於是 否能對適當的衡量距離 || ||, 獲得類似(4.6) 的估計。
五. 變分問題, 非線性方程及弱 解
如果 E 對函數 u, 指定一個實數 E(u), 便稱之為泛函。 研究 E(u) 極大 值, 極小值或只是臨界值的學問稱為變分學。
很早以來, 數學家就注意到 Laplace 方程 具有變分的結構 (方程和變分的關係請參考 本期林太家的文章)。 令 Wg = {v : v 二次可微分, 且在 ∂Ω 上 v = ˜g}, 及令
E(v) =
Z
Ω|∇v|2dy (5.1)
為定義在 Wg˜ 上的泛函。 如果 u 滿足 (3.8), 則對任何 v ∈ Wg˜ 有
Z
Ω|∇v|2=
Z
Ω
|∇v−∇u|2+2 < ∇v−∇u, ∇u >+|∇u|2
, 其中 < , > 表是內積。 由分部積分可得
Z
Ω <∇v − ∇u, ∇u >
=
Z
∂Ω(v − u)∂u
∂ν−
Z
Ω(v−u)∆u =0, 上式中用了在 ∂Ω 上 v − u = 0 及在 Ω 上
∆u = 0。 因此可以得到
Z
Ω|∇v|2=
Z
Ω|∇v − ∇u|2+
Z
Ω|∇u|2
≥
Z
Ω|∇u|2,
即 u 是同邊界值函數中, 使 E 最小的函數。
反之, 假設 u 是二次可微分, 在 ∂Ω 上 u = ˜g 且 u 是在同邊界值函數中, 使 E 最 小的函數, 則 u 滿足 (3.8)。 理由如下, 任取 二次可微函數 ϕ, ϕ 在邊界 ∂Ω 上為零, 及 t∈
R
。 利用 E(u) 的最小性, 及 u + tϕ 和 u 有相同邊界值, 可得 E(u + tϕ) ≥ E(u)。 現 在把 E(u + tϕ) 看作 t 的函數。 由於 t = 0 有極小值, 因此d
dtE(u + tϕ)
t=0 = 0.
經過計算, 上式左邊成為 0 = d
dtE(u + tϕ)
t=0 (5.2)
=
Z
Ω
d
dt|∇u + t∇ϕ|2
t=0
=
n
2Z
Ω <∇ϕ, ∇u >
+2
Z
Ωt|∇ϕ|2
o
t=0= 2
Z
Ω <∇ϕ, ∇u >
= 2
Z
∂Ωϕ∂u
∂ν −
Z
Ωϕ∆u
= −
Z
Ωϕ∆u,
上式倒數第二行用了 ϕ 在 ∂Ω 為 0 的事實。
由於 ϕ 可以任取, 上式能成立唯一的可能性 就是在 Ω 上 ∆u = 0, 即 u 滿足 (3.8)。
由上面的討論, 可知變分問題 E(v) 和 Dirichlet 問題 (3.8) 是等價的。 是否也可用 變分方法去解 (3.8) 呢? 若可找到某 u ∈ Wg˜, 使 E(u) = infWg˜E(v), 則 E(u) 就 達到最小值。 一般而言, 最大下界不一定取得 到。 例如令 h = 2 +1+x12, x∈
R
, 則最大下 界 infRh= 2, 但找不到 x ∈R
使 h(x)=2。無論如何, 先找一序列 v1, v2, . . . , vk, . . .∈ Wg˜, 使 limk→∞E(vk) = infWg˜E(v)。 假 設 {vk} 有子序列收斂到某個 w, 則很可能 就有 E(w) = infW˜gE。 相應的, (3.8) 也有 解 w。 很自然的, 我們可採取上節所述的距 離 || ||C2 來當作衡量 vk 收斂與否的工具。
從 {vk} 逼近最大下界這件事實, 我們對它 們的了解大約只有: 存在上界 M, 使
E(vk) =
Z
Ω|∇vk|2 ≤ M, k= 1, 2, . . . . (5.3) 式子 (5.3) 只控制了一次微分, 並且是積分 的形式, 它和 || ||C2 所要求逐點都有二次微 分的控制相差很大。 因此, 很難找到子序列 {vkj} 及 w 使 ||vkj − w||C2 → 0。 較好 的策略是, 找一個和 E(v) 本身相近的距離
觀念, 這樣子就可以利用 (5.3) 提供的資訊。
所以我們定義
||v||1,2 = (
Z
Ω|v|2)12 + (
Z
Ω|∇v|2)12, 其中足標 1 表示有一次微分的項, 2 表示取平 方積分, 並且考慮函數空間
H= {v : 存在一序列一次可微分函數 {hk}使||hk− v||1,2 → 0}.
H 稱為 Sobolev 空間, 其中的元素雖都可 被一次可微分函數逼近, 卻不一定具傳統意 義的一次微分。 其原因就像能被有理函數逼 近的數, 不一定是有理數。
|| ||1,2 比 || ||C2 好的地方在於:(1) 它 和 E(v) 更像; (2) 由於它是用積分定義, 更容易有收斂性。 基於這些優點, 利用 (5.3) 對 {vk} 的限制, 確實可找到子序列 {vkj} 及 w ∈ H 使 ||vkj − w||1,2 → 0 且 E(w) = inf E(v)。 由於 w 不一定是二次可 微, 我們把它稱作 (3.8) 的“弱解”。 如果確 知 w 是二次可微, 則由 (5.2) 的論證, 可以 知道它滿足 ∆w = 0, 所以是一個“真正解”。
事實上, 確實可經由 E(w) 是極小值這件事 情, 證明 w 是二次可微, 這就是所謂的“正則 性”論證。 由弱解存在性再加上正則性, 便可 由變分問題求得 Dirichlet 問題的解。
許多橢圓偏微分方程, 都和變分學有關。
一個著名的例子是最小曲面方程。 考慮鐵絲 圈放入肥皂水中再拿出來。 通常可以見到肥 皂膜形成。 假設 Ω ⊂
R
2, 而皂膜在 Ω 正 上方, 其高度是 u, 鐵絲則在 ∂Ω 的上方。 由於表面張力, 皂膜要儘量保持面積最小。 它的 表面積為
A(u) =
Z
Ω
q
1 + |∇u|2dy.因此對其它高度為 v, 同邊界值的曲面, 必定 有
A(u) ≤ A(v).
利用類似 (5.2) 的想法, 可以證明 u 滿足
2
X
j=1
∂
∂xj
uxj
q
1 + |∇u|2
= 0. (5.4) 上式可展開成X
1≤i,j≤2
aij(∇u) · uxixj = 0 (5.5) 其中
a11= 1 − u2x1 1 + |∇u|2 a12= a21 = − ux1ux2
1 + |∇u|2 a22= 1 − u2x2
1 + |∇u|2.
可以驗證矩陣 (aij)2×2是正定的, 因此 (5.4) 被認定成橢圓方程。
方程式 (5.4) 及許多不見得有變分結 構的橢圓方程都可以用求弱解的方式來解決。
弱解的觀點, 開啟了解方程新的寬闊大道, 它 在各不同類型方程中都扮演重要的角色 (參 見本期楊彤的文章)。 今日, 它已成為偏微分 方程裡不可缺少的基本語言。
六. 幾個觀察
從我們討論過的這些題材來看, 或許有 幾點深具啟發性
(1) 不好的函數反而有用: 在 Green 表 示式 (3.7) 中, 可以看到 ψ0 異想不到的作
用。 ψ0 在原點不可定義的特性反而讓我們得 到新的公式。
(2) 精確公式和定性的論證一樣重要:
由於方程式太複雜了, 不可能都寫下公式解。
這時候很多關於解性質的理論變得很重要。
(3) 放鬆定義: 解代數方程時, 不能停留 在實數裡, 必須到複數中去看。 放鬆偏微分方 程解的定義到弱解, 讓我們更有彈性, 看到海 平面下的冰山。
