9 微分方程

9 ^微分方程

9.1 ^{微分方程建模}

微分方程建模

數學模型常利用方程式描述變量間的關係，尤其是微分方程 式，即包含變量與變量導數的方程式。

我們會希望以觀察現在某些數值變化的方式來預測某些數值、

物體未來的行為。

一開始我們先來看看一些微分方程的例子。

族群成長模型

族群成長模型

一個最常見的族群成長模型，我們會假設其數量成長的速度 會正比於其整體數量。

畢竟族群規模越大，擴張的速度也就越快，在理想的環境條 件下（若無空間限制、養分充足、更高級掠食者存在），這 是一個很合理的假設。

我們定義這個模型中的變數：

t = 時間變數

P = 族群個體數 (應變數)

族群成長模型

族群數量的成長率便是 P 對 t 的變化率 dP/dt 。於是我們的 假設，成長率正比於族群數量，便可以寫成如下的方程式一

其中 k 為一常數。

被稱為微分方程式是因為這個方程式包含了一個變數跟它的 導數(微分)。

族群成長模型

建立模型以後，我們可以來試驗看看結果。

首先我們不考慮族群數量低於 0 的情況，也就是 P(t) > 0 。 從方程式來看，若 k > 0 ，則恆有 P

(t) > 0 。也就是說族群

另外，方程式的解函數，滿足其導數恰好是自己的常數倍。

而我們已經在前面的章節知道，指數函數滿足這樣的特性。

族群成長模型

例如我們假設 P(t) = Ce^kt ，此時則有 P(t) = C(ke^kt) = k(Ce^kt) = kP(t) 為方程式一的解。

在給定不同的常數 C 時，我們可得到 一整組的解 P(t) = Ce^kt 如右圖所示。

dP/dt = kP 的解

族群成長模型

不過族群數量只會有非負值，因此我們只考慮 C > 0 的情況。

下圖二為初始狀態為不同 C 值時的解。

幾組不同的 P(t) = Ce^kt ， C > 0, t 0

族群成長模型

當 t = 0，有 P(0) = Ce^k(0) = C

，

方程式一是在理想情況下模擬族群生長的模型。但我們還需 要考慮更實際的情況，例如生長環境有資源上的限制。

許多生物族群初成長是的確是如指數函數般的成長，但當它 越接近環境可容納的數量上限時，它生長的速度便會減慢。

（也或者是初始時便超過上限，便會開始減少。）

族群成長模型

為了在模型中考慮這樣的趨勢，我們便新加入兩個假設：

 當 P 很小時，成長率與 P 大小成正比。

 當 P 超過環境容納量 M 時，族群數量會遞減 於是我們稍為改動了一下方程式，考量 了上面兩個假設

族群成長模型

觀察方程式二，若 P 跟 M 相比很小，則 P/M 的值接近 0 。 則此時 dP/dt



< 0 。

方程式二稱為 logistic differential equation 是由荷蘭生物學 家 Pierre-François Verhulst 在 1840 年左右所提出。

首先我們可以觀察出 P(t) = 0 以及 P(t) = M 都是常數解，當 P = 0 或者 P = M 時，我們可以看出 P’(t) = 0 。因此這樣的 解我們稱為平衡態解 (equilibrium solutions) 。

族群成長模型

其次，若初始值 P(0) 落在 0 跟 M 之間，此時方程式二右邊 為正，可知 dP/dt > 0 ，因此 P(t) 為遞增。但若當 P > M 時，

則 1 – P/M 為負，因此 dP/dt < 0 ，且 P(t) 為遞減。

另外，在兩種情況下，當 P 遞增或者遞減接近 M 時，變化 率 dP/dt 也就接近 0 ，因此數量也會趨於平緩。

族群成長模型

可預期的，我們可以知道解的圖形大概如下圖三所示。

另外可注意到，解的圖形會遠離平衡態 P = 0 ，但會往 P = M 接近。

Logistic 方程式的解

平衡態解

彈簧的振動模型

彈簧振動模型

我們先來看一個物理實驗的例子。我們考慮一個質量為 m 的 物體，繫在垂直的彈簧上如下圖四

圖四

平衡點

彈簧振動模型

虎克定律告訴我們：彈簧伸長量正比於其所受重力，也等於 使其恢復的拉彈力。

彈簧恢復力 F = –kx

其中 k 為正的常數 (稱為彈性係數) 。若我們可以忽略其他的 外在阻力，則由牛頓第二運動定律，可以得到

彈簧振動模型

這是一個二階微分方程 (second-order differential equation) 的例子，因為裡面包含了二階導數。

同樣，我們可以先從方程式來分析解的特性，稍微改寫方程 式三可以得到如下的形式

也就是說， x 的二階導數是他自己的倍數（但是是負的倍 數）。但實際上我們還沒有實際看過滿足這樣方程式的解的 經驗，我們將在下節中做進一步的討論。

一般的微分方程式

一般的微分方程

這裡我們便開始實際的定義「微分方程」：包含一個未知函 數與其各階導數的方程式。

微分方程的階數即最高次的導數是幾階導數所決定。在前面 的例子中我們有三個微分方程式，方程式一、二均為一階微 分方程，方程式三為二階微分方程。

附帶說明，前述三個方程式的函數都是應變量與時間的關係，

一般的微分方程式便不一定以時間為變數。

一般的微分方程

舉例說明我們考慮這樣的微分方程 y



函數 f(x) 稱為解，表示 y = f(x) 可以代入並且滿足方程式，

也就是說，若 f(x) 是方程式四的解，表示 f

(x) = xf(x)

滿足，在 x 的某個區間上。

一般的微分方程

當我們要「解」一個微分方程，是希望我們可以找出滿足一 個問題所有條件的、任意的、有可能的解。

例如給定這樣的方程式

y = x³

由微積分基本定理，這個方程式的所有形式的解，可以由不 定積分所給出

其中 C 任一常數。

範例一

以常數 c 為參數，證明這一組函數

是微分方程式 的解。

範例一 – 解

直接對 y 微分：

範例一 / 解

代入微分方程式的右式

cont’d

一般的微分方程

當然在應用微分方程式時，我們通常不會希望得到一組這麼 多個解，而是針對問題，需要更多的條件來決定某一個解。

許多情況下，一個常見的條件便是在特定的點滿足某個值：

y(t₀) = y₀.

例如方程式一，我們可以決定在 t = 0 時， P(0) 的初始值，

便可以決定解函數中的常數 C 。

這樣的條件稱為初始條件(initial condition)，而一個微分方程 式若附帶有初始條件的話，我們會稱為初始值問題(initial- value problem) 。