偏微分方程的相似解

偏 微分方程的相似解

許健明

當我們遇到一個偏微分方程時, 第一步 是去找方程的特別解, 去明白方程的特性, 找 特別的解的方法有很多, 包括 separation of variables, 相似解等, 在這一篇文章中我們將 討論一個找相似解的方法。

考慮熱方程:

ut= △u 在^Rn× (0, ∞) (1) 其中

△u =

Xn

i=1

∂²u

∂x²_i,

n ∈ Z⁺, 為簡化起見, 令 n = 1, 則 (1) 簡 化為

ut= ∂²u

∂x² 在 _R× (0, ∞) (2) 要是

v(x, t) = αu(βx, γt)

也是 (2) 的解, 其中 α > 0, β > 0, γ > 0 為常數, 則

vt= ∂²v

∂x² =⇒ αγu^t′(βx, γt) = αβ²∂²u

∂x^′2 (3)

其中 t^′ = γt, x^′ = βx, 從 (2) 和 (3) 我們 有

γ = β²

所以 v(x, t) = αu(βx, β²t) (4) 我們希望能把 v(x, t) 寫成一個變量的 函數, 所以我們令

β²t= 1 ⇐⇒ β = 1

√t (5) 另外, 我們希望有 mass 守恆, 所以令

Z

v(x, t)dx =

Z

u(x, t)dx, ∀t > 0

=⇒ α

Z

u(βx, β²t)dx

=

Z

u(x, t)dx, ∀t > 0

=⇒α β

Z

u(y, β²t)dy

=

Z

u(x, t)dx, ∀t > 0 (5)^′ 另外 Mass 守恆 =⇒ M = ^R u(x, t)dx 為 一跟 t > 0 無關的常數

所以 (5)^′ =⇒ α = β (6)

31

32 數學傳播 ₂₄卷3期 民₈₉年₉月

(4), (5), (6) =⇒ v(x, t) = 1

√tµ( x

√t,1)

= 1

√tf( x

√t) (7) 其中 f (y) = u(y, 1)。

代 (7) 進去 (2), 我們有 1

t³²f^′′+ x

2t²f^′+ 1 2t³²f= 0

=⇒ f^′′+y 2f^′+1

2f= 0

=⇒ f^′(y)+y

2f(y) = constant(= A say) 其中

f^′′(y) = ∂²f

∂y²(y), f^′(y) = ∂f

∂y(y)

=⇒ f(y) = Ae^−y

2 4

Z y

e^s

2

4 ds+ Be^−y

2 4

B 為一常數。 為簡化起見令 A= 0, 則 f(y) = Be^−y

2

4 (8)

代進 (7),

v(x, t) = B

√te^−|x|

2 4t

所以 v1(x, t) = ^√1_te^−|x|

2

4t 為方程 (2) 的一 個相似解, 因

w(x, t) = v1(x1, t)v1(x2, t) · · · v¹(xn, t)

(其中 x = (x1, . . . , xn) ) 滿足 (1), 故

w(x, t) = 1 tⁿ²e⁻

Pn i=1x2

i 4t

為 (1) 的一個相似解。 同樣的方法也可應用 在找其他的 evolution 方程的相似解。

參考文獻

1. F. John, Partial Differential Equations, (4th ed.) Springer-Verlay.

—本文作者任職於中央研究院數學研究所_—