 99 學年度工程數學 ( 一 ) 1-3 習題解答

99 學年度工程數學(一) 1-3 習題解答

1. Solve 3 2 ²

' y x

yx  (1) p x x3

) ( 

ln 3 3 ) 3

I.F.e^p(^xdx e^xdx e^{ x} x^ (2) 積分因子(I.F.)乘回原式

2 3 3(y' y) x 2x x^   ^ 

y x

x 2

)' ( ³ 

 ^ (3) 對兩邊積分

c x y

x^3 2ln  (4) 整理可得

3 3ln

2x x cx

y  此為通解

5. Solve y'2y8x² (1) p x x3

) ( 

dx x dx

x

p e e

e ^{( ) 2 2}

I.F.   ^  ^ (2) 積分因子(I.F.)乘回原式

x

x y y x e

e^2 ( ' )8 ^{2 2}

x

xy x e

e ² )' 8 ^{2 2} ( ^  ^



(3) 對兩邊積分



 y x e dx

e ^2x 8 ^{2 2x} (利用分部積分，如右)

e ^xy x e ^x xe ^x e ^xc



 



  





 ^{2 2 2 2 2} 4 1 2

1 2

8 1 (4) 整理可得

ce x

x x

y4 ²4 2 ² 此為通解

10. Solve y'3y5e^2x6 ; y(0)2 (1) p(x)3

dx x dx

x

p e e

e ^{( ) 3 3}

I.F.     (2) 積分因子(I.F.)乘回原式

) 6 5

( )

'

( ^{3 2}

3^x y y  e ^x e ^x 

e

) 6 5 ( )'

( ³  ^{3 2} 

 e ^xy e ^x e ^x (3) 對兩邊積分



 e e dx

y

e^3x (5 ^5x 6 ^3x) (利用分部積分) c

e e y

e ^x  ^x ^x

 ^{3 5} 2 ³ (4) 整理可得

x

x ce

e

y ² 2 ^3 此為通解 (5) 將初始條件y(0)2代入通解中

即將x y0, 2代入上式

0

0 2

2e  ce

c





2 1 2

3

 c

故可得ye^2x23e^3x此為特解