組員:蔡岳城 張登翔 郭順昱
※微積分是物理、電機、商學院的計算與思考所必需的基礎 數學。
目 錄
一、數學家的故事-戈特弗里德·萊布尼茨……3
二、微積分在工程上的應用………14
三、心得………17
戈特弗里德·萊布尼茨
萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646～1716 年）生於來比 錫，早歲聰慧，十五歲就進來比錫大學，十七歲畢業，二十一歲（1667 年）又從紐倫堡的 Altdorf 大學得到博士學位。學生時代的萊布尼 茲主要的興趣在於邏輯、哲學與法律。
畢業後，萊布尼茲進入 Mainz 大選侯的政府。1672 年到 1676 年這 段時間，他因外交任務的關係滯留在巴黎，也就在這段時間內，他遇 到著名的物理學家 Huygens（Christiaan, 1629～1695 年），引起 了他對數學的興趣，而投入微積分學的創造，1676 年萊布尼茲回到 德國，安頓了下來，成為 Hanover 大選侯的顧問及圖書館主管。
雖然萊布尼茲在巴黎時就得到很多微積分的結果，他在這方面第一篇 重要的著作〈求極大小值及切線的新方法〉，卻要到 1684 年才發表 在來比錫的一份雜誌《Acta Eruditorum》上。在這篇文章中，他引 進了微分式，給了微分式的四則公式：
並說明得到極值的條件是 dv=0，得到迴轉點（反曲點）的條件是 ddv=0。在此之前，微分的計算都是個案的；有了萊布尼茲的微分公 式，則只要知道簡單函數的微分，其他由簡單函數經四則運算合成的 複雜函數，其微分也就輕易算得，難怪萊布尼茲會為此新方法感到興 奮不已。
第二年（1685 年），牛頓的一個學生 Craig（John, 1660?～1731 年）
寫了一本數學書，提到萊布尼茲的微分學，認為一定有更多的結果還 未發表。再過一年（1686 年），萊布尼茲在《Acta Eruditorum》發 表了〈論一深度隱藏的幾何學及無窮小與無窮大的分析〉一文，為 Graig 的書做書評，並趁機推出更多的萊氏微積分，在這篇文章中，
萊氏積分符號 正式登上數學史的舞台。他借用 Graig 所提到有關 牛頓的老師 Barrow（Issac, 1630～1677 年）的一個定理，來展示 萊氏微積分學的威力。這個定理用現代的語言來說明是這樣的：如圖 一，設曲線通過原點，從曲線上任一點 P(x,y) 作法線交 x 軸於 N， 從 P 點的垂足 H 到 N 的距離 v（稱為次法線）是 x 的函數，其從 O 到 x 的面積為 。
圖一
萊布尼茲的想法是這樣的：在 P 點無窮小鄰近取曲線上一點 Q，以
PQ 為「斜邊」做一「特徵（直角）三角形」 ，其兩股 PR、QR 為無窮小變化量 dx,dy。則 與 相似，因此 vdx=ydy。 從這個「微分」方程式，馬上就得
此外，在這篇文章中，他還說圓弧之長及擺線等非代數函數都可用積 分的方式表示出來。
在積分的技巧方面，萊布尼茲是以善用特徵三角形出名的。特徵三角 形的想法可溯至 Pscal（Blaise, 1623～1662 年）處理圓球表面積的 工作。如圖二，在半徑為 r 的圓上，取鄰近的兩個點 P、Q。因特徵 三角形 與 相似，所以 PQ:AO=PR:AB。若以 ds 表弧長
（亦即特徵三角形的斜邊 PQ），就得 yds=rdx。因為 代表 弧長 ds 繞 x 軸一圈所得的表面積，其積分
就是圓球的表面積。
萊布尼茲在巴黎時，Huygens 介紹他讀 Pascal 的文章；萊氏在研讀 Pascal 的這段證明時，突然靈光一閃，發現在一般曲線的場合，法 線代替了半徑，也可以算得旋轉體的體積：如圖一所示。從兩個三角 形的相似，我們也可以得到 yds = ndx，因此
這兩個三角形相似的另一用法就是(1)式。由於
所以為了求得一函數 v(x) 的積分，我們只要找到 y=f(x)，使得(3) 式成立就好了。譬如，v(x)=xn 時，我們可以試 f(x)=bxm。則因
，
所以取 , 就好了。如此就得
(3)式與(1)式合起來看，我們就得
這正是積分中變數代換的一個例子。
特徵三角形還可以和其他的三角形相 似。譬如在圖三中，PT 為切線，AB 為高度固定為 a。由 與
兩三角形相似，就得
因此，譬如說，我們可以得到
而把計算弧長的問題轉變為計算面積的問題。
圖四
然而下面這種相似三角形取法更有用。如圖四，設切線交 y 軸於 Z(o,z)，從 O 到切線的垂足為 H，垂線 OH 長為 h。從 與
兩三角形的相似，可得 hds=zdx，亦即
因此由
就得
因為
把其中的 y 做一次分部積分 (integration by parts)，(6)式就變 成
這正是我們常見的分部積分公式。
圖五
(6)、(7)兩式的合用是萊布尼茲計算積分的主要方法。他宣稱由此可 以得到所有前人已知的積分；圓周率的計算是這種方法成功的例證。
如圖五，圓的方程式為 ，
由此可得 ，因此
取 x=1，就得以萊布尼茲為名的著名公式
若將(9)式重寫成
而且注意到 z ( ) 正好是四邊形 ZOCP（看成是兩個全等三角形
、 之和）的面積， 是梯形 ZPHO 的面積。兩
如此我們就得到反正切函數的展開式
[請注意：牛頓與萊布尼茲得到 tan-1 z 的展開式都不是先知道其微
分為 ；請參閱上一期本欄，〈牛頓如何突破微積分學〉。]
在牛頓、萊布尼茲之前，微分及積分的計算都是個案的。萊氏不但提 供了微分的方法，也提供了積分的方法，而積分的公式，實際上都是 利用特徵三角形所得的「微分」方程式轉過來的；也就是說他體會到 求積的問題可從曲線的切線性質著手，而且也善於應用微積分基本定 理──他曾於 1693 年在《Acta Eruditorum》發表微積分基本定理。
此外他的微積分符號不但使人很快了解微積分的內涵，也使人在微積 分的計算上得心應手，因此萊布尼茲的微積分掩蓋了牛頓的，而成為 日後微積分學的主流。有了這些貢獻，萊布尼茲自然也成了微積分的 創始人之一。
微積分在工程上的應用
微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分 科學分支，特別是物理學，關系密切，而經濟學亦經常會用到微積分 學。幾乎所有現代技術，如建築、 航空等都以微積分學作為基本數 學工具。
大致上能用在
1.拋體 火箭 人造衛星或行星物體運動
2.電子迴路裡有關電量跟電流量測問題
3.熱傳導問題
4.絲線或薄膜振動問題
5.放射物質衰變運作
7.核子化學反應研究
8.已知的有關幾何性質之曲線決定問題
簡單來說:
微分:
可以算任何曲線上之斜率; 當曲線方程式知道時 一次為微分在將 點值
代入既可得曲線於該點之斜率
積分:
可算曲線下 於兩點所圍成之面積
也就是所 當你手掌曲線知道時 給於拇指與小指的兩點座標
代入積分之上下限 即可求出你手掌面積之大小
如果以當初為何有微積分這件事情來看，他是為了要解決當時的基本 數學不足以證明現象而產生的，算是一種工具吧！
舉個簡單的例子來說明微積分他的用途：
工程師在設計橋樑或是建築物的時候，因為該建築物或橋樑一定會有 人貨車在上面行走，當然也會受到地震或是風的影響而導致晃動或是 震動，然而這樣的力量卻會造成結構上的應力集中現象，但是一般的 基礎數學是無法證明出這個力量會影響建築物有多大，所以可以利用 為積分來將靜止時以及有人車通行時的力量給算出來，並可以找出受 力最大的地方，再加以補強。(動力學或是材料力學)
這個例子只是其中一個實例，其實自然界有很多現象是可以利用為積 分來算出來的，因為可以利用微積分求得不同維度的現象，或說是將 不同維度的現象拿來同一維度做運算，以求得交為精確且符合物理意 義的數據，並加以分析之。
心得
蔡岳城：
萊布尼茲跟牛頓共同發明了微積分，但是我最欣賞的還是萊布尼茲。
因為他把牛頓的微積分加以整理並以公式化來讓其他人能夠理解，這 是我最敬佩他的事，萊布尼茨於1684 年發表第一篇微分論文，定義 了微分概念，採用了微分符號dx，dy。1686 年他又發表了積分論文，
讨論了微分與積分，使用了積分符号∫。從以前到現在，微積分在社 會中，理論中都能夠被運用到，但是萊布尼茲對牛頓的評鑑是很好 的，他曾經說過:從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中，，，，牛頓牛頓牛頓牛頓 的工作超過了一半
的工作超過了一半 的工作超過了一半
的工作超過了一半。他們最大的不同是，牛頓從物理學出發思考，運 用集合方法研究微積分，其應用上更多地结合了運動學，造詣高于莱 布尼茨。莱布尼茨則從幾何問題出法思考，運用分析學方法引進微積 分概念、引用出運算法則，其數學的嚴密性與系统性是牛頓所不及的。
張登翔：
做完這次的數學報告，讓我了解數學家萊布尼茲的事情，例如萊布尼 茲提供了微分的方法，也提供了積分的方法，而積分的公式，實際上 都是利用特徵三角形所得的「微分」方程式轉過來的，讓他體會到求 積的問題可從曲線的切線性質著手，而且也善於應用微積分基本定
理，他的微積分符號不但使人很快了解微積分的內涵，也使人在微積 分的計算上得心應手，而成為日後微積分學的主流，所以他才會變成 為積分的創始人。微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有 領域，自然界有很多現象是可以利用為積分來算出來的，因為可以利 用微積分求得不同維度的現象，或說是將不同維度的現象拿來同一維 度做運算，以求得交為精確且符合物理意義的數據，並加以分析之，
每個公式都是前人一點一滴累積起來給我們的，像萊布尼茲就是把公 式整理起來方便讓後人學習。
郭順昱：
牛頓跟萊布尼茲對微積分有一大貢獻，萊布尼茨的廣博性與牛頓的不 偏離通往單一目的的方向，雖然牛頓在數學方面是萊布尼茨的勁敵，
而且牛頓認為只有一種在數學上絕對地是最為重要的東西；而萊布尼 茨卻認為有微積分跟組合分析。萊布尼茨是另一類當時才智超群的 人，他也歸納總結了微積分。
僅就數學和邏輯學而言，萊布尼茨關於"普遍特徵"的設想，便超越了 他所處的時代整整兩個世紀。根據迄今為止的歷史研究證明，萊布尼
地完成了創建微積分的盛業，光榮應由他們兩人共享。
其中，萊布尼茲的觀念是:
我有那麼多的想法 我有那麼多的想法 我有那麼多的想法
我有那麼多的想法，，，如果那些比我更敏銳的人有一天深入到它們之，如果那些比我更敏銳的人有一天深入到它們之如果那些比我更敏銳的人有一天深入到它們之如果那些比我更敏銳的人有一天深入到它們之 中
中 中
中，，，把他們絕妙的見解同我的努力結合起來的話，把他們絕妙的見解同我的努力結合起來的話把他們絕妙的見解同我的努力結合起來的話把他們絕妙的見解同我的努力結合起來的話，，，它們或許有些用處，它們或許有些用處它們或許有些用處它們或許有些用處。。。。
