獎金1200600機率6 × (

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：93.05.21 班級

範

圍 3-3 期望值+ANS

座號

姓 名 一、填充題(每題 10 分)

1. 一袋中有 1 號球 1 個，2 號球 2 個，3 號球 3 個，4 號球 4 個，

(1)從袋中任取一球，若取到k號球可得 5 − k元，則此試驗得獎金的期望值為 元。

(2)從袋中一次取兩球，取到的號碼和為k時，可得 10 − k元，則此試驗得獎金的期望值 為 元。

答案：(1) 2 (2) 4 解析：

(1)袋中球的總數 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10，此試驗得獎金的機率分布如下

獎金 X 4 3 2 1

機率 10

1 10

2 10

3 10

4

故得獎金的期望值 E(X) = 4 × 10

1 + 3 × 10

2 + 2 × 10

3 + 1 × 10

4 = 2（元）

速解： 1 1 2 2 3 3 4 4

5 1 2 3 4

× + × + × + ×

− =

+ + + 2（元）

(2)一次取兩球，設此試驗得獎金的金額為 X 元，則機率分布如下

X

7 6 5 4 3 2

機率

C

¹⁰2

2

C

¹⁰2

4

C

¹⁰2

10

C

¹⁰2

11

C

¹⁰2

12

C

¹⁰2

6

故得獎金的期望值 E(X) = 7 × 45

2 + 6 × 45

4 + 5 × 45 10 + 4 ×

45 11+ 3 ×

45 12 + 2 ×

45 6 =

45

180= 4（元）

2. 五骰子投擲一次，若五骰子同點，則可得 1200 元，若恰四骰子同點，則可得 600 元，則 投擲一次之期望值為 元。

答案： 2 25

解析：

獎金 1200 600 機率 6 × (

6

1)⁵

C

₁⁶× C₁⁵×

！

！ 4

5 × (

6 1)⁵ xxxxy

∴ 期望值為 1200 × ( 6

1)⁴ + 600 × ₄ 6 25=

2 25元

3. 將 5 個大小形狀相同，顏色不同的球，全投入 3 個不同的袋子中，則

(1)每個袋子中均有球的機率為 。 (2)空袋子個數的期望值為 個。

答案：(1) 81 50 (2)

81 32

解析：

5 個不同顏色的球放入 3 個不同的袋子中，其放入法有3⁵ =243種

故放法有 ^{3 1 1} 3 ! ^{2 2 1} 3 !

2 ! 2 !

C

×

C

×

C C

×

C

×

C

× 　+ 　

　 　 × = 60 + 90 = 150

∴ 所求機率為

81 50 150 =243 (2)

空袋子個數 0 1 2

機　　　率

243 150

243 90

243 3

∴ 空袋子個數的期望值=

81 32 243

96 243 3 2 243 90 1 243 150

0 × + × + × = =

4. 6 個不同的球，任意放入 3 個不同的箱子，每箱個數不限，

(1)恰有一個空箱子的機率為 。 (2)空箱子個數的期望值為 。 答案：(1)

243 62 (2)

243 64

解析：

6 個不同的球，放入 3 個不同箱子，每箱個數不限

(1)恰有一個空箱子 任意一個箱子為空箱，共餘每箱至少 1 個 所求機率 =

⇒

6 6 3 1

3 ) 2 2

( 　

． −

C

=

729 62 3． 　　

=243 62

(2)恰有二個空箱子之機率 = ²³₆ 1 1⁶ 3 243

C

．　=

所求空箱子個數的期望值 = 1 + = 243 2 1 243

62 ．

． 243

64

5. 同時擲三粒公正的骰子，求

(1)三粒骰子的點數均相同時，可得 300 元；恰有兩粒點數相同時，可得 200 元，則其期 望值為 元。

(2)出現最大點數的期望值為 。 答案：(1)

3

275 (2) 24 119

解析：

(1) E = 300 · ₃

66 + 200 · ³²₃ ²⁶ 6

C P

=

216 18000 1800+ =

3

275(三次挑 2 次給二同，6 個點數一個給 2 同，另一點數給另一次)

(2) E = 1 · ₃

61 + 2 · ³ ₃ ³ 6

1 2 −

+ 3 · ³ ₃ ³ 6

2 3 −

+ 4 · ³ ₃ ³ 6

3 4 −

+ 5 · ³ ₃ ³ 6

4 5 −

+ 6 · ³ ₃ ³ 6

5 6 −

=

216

546 305 148 57 14

1+ + + + + =

24 119

6. 投擲一公正的骰子一次，則出現點數的期望值 = ；又同時投擲兩公正的骰

答案：2 7；7 解析：

(1)

點數 1 2 3 4 5 6

機率 6

1 6 1

6 1

6 1

6 1

6 1

故投擲一公正骰子出現點數的期望值為

2 7 6 21 6 6 1 6 5 1 6 4 1 6 3 1 6 2 1 6

1×1 + × + × + × + × + × = =

速解：1 2 3 4 5 6 7

6 2

+ + + + +

= (2)

投擲兩公正骰子

點數和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 機率 36

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1

投擲兩公正骰子點數和的期望值

= 2 36

5 36 8 6 36 7 5 36 6 4 36 5 3 36 4 2 36 3

1 + × + × + × + × + × + ×

× + 9 ×

36 4 +

36 1 12 36 2 11 36 3

10 × + × + ×

+

= 7 252 =36

速解：投擲兩公正骰子點數和的期望值 = 2 7 2

7× =

7. A袋中有 100 元 5 張，10 元 3 張，1 元 4 張，B袋中有 10 元鈔票 10 張，

(1)自A袋中任取二張，其期望值為 。

(2)自A袋中取一張放入B袋，再自B袋取二張，求期望值為 。 答案：(1) 89 (2)

11 289 解析：

(1) E = 2(100 × 12

5 + 10 × 12

3 + 1 × 12

4 ) = 89 ⇐ 速解：100 5 10 3 1 4

2 89 5 3 4

× + × + × × = + +

(2) E = 2(

2 89×

11 1 + 10 ×

11

10) = 2 × 22 289=

11 289

8. 設擲一骰子三次，則

(1)出現 6 點次數的期望值為 。 (2)出現質數點次數的期望值為 。

(1)擲一骰子三次，設 X 表示出現 6 點的次數，則其機率分布

X

0 1 2 3

機率 53

216 216 5 3× ²

216 5 3×

216 1

期望值 E(X) = 1 × 216

75 + 2 × 216

15 + 3 × 216

1 = 216 108 =

2 1

速解： ¹ 3 6× =21

(六面中只有一個 6)

(2)設出現質數點( 2、3、5 )的次數以 X 表示，則其機率分布

X

0 1 2 3

機率 33

216

3 2

1 3 3

216

C

× × ₂³ 3² 3 216

C

× × 3³ 216 期望值 E(X) = 1 ×

216 81 + 2 ×

216 81 + 3 ×

216 27 =

216 324=

2 3

速解： ³ 3 6× =21

(六面中有 3 個質數)

9. 一盒子中有 5 個球，球上分別編號為 1，2，3，4，5，且每球被取的機率相同，

(1)若一次取兩球，則兩球中編號較大者的期望值為 。 (2)若一次取兩球，則兩球編號差之平方的期望值為 。 答案：(1) 4 (2) 5

解析：

(1)設取到的數中，較大的數為 X，則 X 的機率分布如下

X

1 2 3 4 5

機率

C

⁵2

0

C

⁵2

1

C

⁵2

2

C

⁵2

3

C

⁵2

4

取到較大編號數的數值期望值 E(X) = 2 × 10

1 + 3 × 10

2 + 4 × 10

3 + 5 × 10

4 = 4 (2)設取到的兩數編號差的平方為 X，則機率分布如下

X

1 4 9 16 機率

C

⁵2

4

C

⁵2

3

C

⁵2

2

C

⁵2

1

期望值 E(X) = 1 × 10

4 + 4 × 10

3 + 9 × 10

2 + 16 × 10

1 = 5

答案： 2 93

解析：

任取 1 個，得款的期望值為 5 × 10

5 + 10 × 10

3 + 50 × 10

2 = 2 31

∴ 所求期望值=

2 31× 3 =

2 93

速解：5 5 10 3 50 2 93

5 3 2 3 2

× + × + × × = + +

11.某市的汽車失竊紀錄顯示，平均在 100 天內，一天失竊 0，1，2，3，4 及 5 部汽車的天 數各占 20 天，37 天，25 天，13 天，3 天及 2 天，試問該市一天汽車失竊部數的期望值 為何？

答案：1.48 部 解析：

令 X 表該市一天汽車失竊的部數，由題意知 X 的所有可能值為 0，1，2，3，4，5，其相應之機率為

100 20 ，

100 37 ，

100 25 ，

100 13 ，

100 3 ， ²

100 所以，E(X) = 0 ·

100 20 + 1 ·

100 37 + 2 ·

100 25 + 3 ·

100 13 + 4 ·

100 3 + 5 ·

100

2 = 1.48（部）

12.一條售價 20 元的麵包原價 12 元，某小店賣出之麵包經 75 日的統計如下表：

一日所需 70 條 80 條 90 條 100 條 110 條 120 條 合計 日　　數 2 日 8 日 16 日 23 日 19 日 7 日 75 日

今日準備 100 條麵包出售，賣不完則隔日丟棄，試求本日利潤的期望值。

答案：698.7 元 解析：

利潤

= 75

) 8 1200 80 20 75 ( ) 2 1200 70 20

( × − × + × − × +

75 ) 49 1200 100 20 75 ( ) 16 1200 90 20

( × − × + × − × = 698.7 元

13.十個樣品中有 2 個不良品，今取出 3 個，求含有不良品的期望值。

答案：5 3

解析：

取到 0 個不良品的機率為 ₁₀

3 8 3

C

C

，取到 1 個不良品的機率為 ₁₀

3 2 1 8 2 ·

C

C C

取到 2 個不良品的機率為 ₁₀

3 2 2 8 1 ·

C

C

C

速解： ² 3 10× =53

14.設骰子 A 的六面標示點數為 1，1，1，2，2，3；骰子 B 的六面標示點數為 1，2，2，3，

3，3。今同擲二骰子 A，B 出現點數依次為 a，b，試求：

(1) a + b 的期望值。 (2)

ab

的期望值。

答案：(1)4 (2) 9 35

解析：

(1) a + b 之值有 2，3，4，5，6 等 5 種，其發生的機率為 36

3 ， 36

8 ， 36 14，

36 8 ，

36 3

∴ 所求期望值 = 2 ×

36 6 3 36 5 8 36 4 14 36 3 8 36

3 + × + × + × + × = 4 (2) a × b 之值有 1，2，3，4，6，9 等 6 種

其發生的機率依次為 36

3 ， 36

8 ， 36 10，

36 4 ，

36 8 ，

36 3

∴ 所求期望值=

36 9 3 36 6 8 36 4 4 36 3 10 36 2 8 36

1× 3 + × + × + × + × + × = 9 35

速解：

點數 之期望值

a

^{1 1 1 2 2 3 5}

6 3

+ + + + + = ；點數 之期望值

b

^{1 2 2 3 3 3 7}

6 3

+ + + + + = (1) a + b 之期望值^{5 7} 4

3+ =3 (2) a × b 之期望值^{5 7 35} 3× =3 9

15.一骰子的六個，分別記為 1，1，1，2，3，4 點，將此骰子擲 2 次，求點數和的期望值。

答案：4 解析：

擲一次所得點數的期望值=平均值=1 1 1 2 3 4 6 2

+ + + + + × = 4

16.袋中有 12 個球，其中有 3 個白球，若選取機會相等，則從袋中任取 3 個球，取中白球個 數的期望值為多少？

答案：4 3個 解析：

設 X 表選中白球之個數，則 X = 0，1，2，3

X

0 1 2 3

機率 ₁₂

3 3 0 9 3

C C C

×

12 3

9 2 3 1

C C C

×

12 3

9 1 3 2

C C C

×

12 3

9 0 3 3

C C C

×

∴ E(X) = ₁₂

3

1

C

(1 × C₁³ × C + 2 × C³ × C + 3 × C × C⁹₀)

=

9

2 2

9 1

3 3

220

1 (1 × 3 × 36 + 2 × 3 × 9 + 3 × 1 × 1) = 220 165=

4

3（個）

速解：期望值即平均值，取得白球之期望值為 ³ 3 12× =

4

3（個）

17.保險公司提出給 50 歲的人一年期壽險產品，保險額 10000 元，保費 345 元；請問公司獲 利之期望值__________元。(已知一人由 50 歲活至 51 歲機率為 0.987)

答案：215 元

解析： 345 0.987× + −( 10000 345) 0.013+ × =215

18.一袋中有 1 號卡片 n 張，2 號卡片 n − 1 張，…，k 號卡片(n − k + 1)張，…，n 號卡片 1 張，任意自袋中抽取 1 張卡片，試求其號碼的期望值。

答案： 3 +2

n

解析：

所有卡片共有 1 + 2 + 3 + … + n = 2

) 1 (

n

+

n

張

抽到卡片號碼為 k 號的機率為 2

) 1 (

1 ++

−

n n

k

n

=

) 1 (

) 1 (

2 +

+

−

n n

k n

∴ 所求期望值=∑ ．

= n k

k

1 ( 1)

) 1 (

2 +

+

−

n n

k

n

=

) 1 (

2 +

n

n

∑ − +

= n k

k n k

1

) 1 (

= ( 1) 2

+

n

n

∑ + −

= n k

k n

k

1

2] ) 1 (

[ =

) 1 (

) 1 ( 2

+ +

n n

n

∑

= n k

k

1

− ( 1) 2

+

n

n

∑

= n k

k

1 2

= (n + 1) − 3

1 2

n

+ =

3 +2

n

18.過年時父親為增加趣味以抽球方式給壓歲錢，要小明從袋中抽球，袋中有 5 個球，號碼 為 1，2，2，4，6，獎額是號碼數的 1000 倍，試問：

(1)小明拿到的壓歲錢最多是多少？ (2)小明的壓歲錢期望值是多少？

(3)如果壓歲錢改為抽到 6 號給 10000 元，其餘號碼給 1000 元，試問此種給獎方式與原來 的給獎方式，何者對小明較有利？

答案：(1) 6000 元 (2) 3000 元 (3)原來的較有利 解析：

(1)最多壓歲錢是 6×1000 = 6000 元

(2)小明得到的壓歲錢的可能值有 4 種，分別為 1000，2000，4000，6000 而得到這些報酬 的機率分別為

5 1，

5 2，

5 1，

5 1

則其壓歲錢的可能值只有 10000，1000 兩種，其機率分別為 5 1，

5 4

所以此種方式壓歲錢的期望值為 10000 × 5

1+ 1000 × 5

4= 2800（元）

比原來的期望值小，故此種給獎方式對小明較不利