2-1 平面方程式
我們已有了空間坐標系及空間向量的概念﹐現在我們要來討論空間中的平面方程式。我 們首先介紹平面的法向量﹐利用它來簡化求出空間中某一平面方程式﹐兩平面的夾角﹐及點 到平面的距離等複雜問題。
※平面的法向量
坐標空間中﹐如果一個以非零向量 為方向向量的直線 L 與平面 E 垂直﹐則稱 是平面 E 的 一個法向量。此時也稱 與平面 E 垂直﹐記為 ⊥E。
※平面方程式
若向量 ＝（a，b，c）為平面 E 的一個法向量﹐且點 A（x0，y0，z0）為平面 E 上的一個 點﹐則平面 E 的方程式為 a（x－x0）＋b（y－y0）＋c（z－z0）＝0。
上式亦可化為 ax＋by＋cz＋d＝0﹐其中 d ＝－（ax0＋by0＋cz0）。
例題1--- 試求通過點 A（2，3，1）﹐且以 ＝（1，－4，3）為法向量的平面方程式。
--- x－4y＋3z＋7＝0。
隨堂練習--- (1) 試求通過點 A（－1，2，3）且以 ＝（2，5，－1）為法向量的平面方程式。
(2) 試求 xz 平面的一個法向量及平面方程式。
---
例題2--- 設平面 E 通過點 P（1，2，3）﹐且平面 E 與平面 3x＋2y＋z＋5＝0 平行﹐
試求平面 E 的方程式。
--- 3x＋2y＋z－10＝0。
隨堂練習--- 設平面 E 通過點 P（－1，2，5）﹐且平面 E 與平面 2x－y＋3z－6＝0 平行﹐試求平面 E 的 方程式。
---
例題3--- 設平面 E 通過 A（1，－1，1）﹐B（2，2，3）﹐C（3，1，3）三點﹐試求平面 E 的方程式。
--- x＋y－2z＋2＝0。
隨堂練習--- (1) 在例題 3 中﹐求平面 E 的方程式時﹐若取平面 E 上的一點 B（2，2，3）﹐所求得的結
果會相同嗎？
(2) 設平面 E 通過 A（1，1，1）﹐B（2，3，4）﹐C（4，5，2）三點﹐試求平面 E 的方程式 ---
平面方程式：截距式
若有一個不通過原點的平面 E 分別交 x﹐y﹐z 軸於
A（a，0，0）﹐B（0，b，0）﹐C（0，0，c）三點﹐則平面 E 的方程式為＋＋＝1。其中 a﹐b﹐c 分別稱為平面 E 在 x﹐y﹐z 三個軸上的截距。
例題3--- 若平面 E 分別交 x﹐y﹐z 軸於 A（3，0，0）﹐B（0，2，0）﹐C（0，0，4）三點﹐試求平 面 E 的方程式。
---
＋＋＝1。
隨堂練習--- 若平面 E 分別交 x﹐y﹐z 軸於 A（2，0，0）﹐B（0，－3，0）﹐C（0，0，5）三點﹐試求 平面 E 的方程式。
---
※兩平面的夾角
設平面 E1﹐E2 的法向量分別為 ﹐。若 與 的夾角為 θ﹐則平面 E1 與 E2 的夾角為 θ 與（180°
－θ）﹐其中
cos θ＝。
例題5--- 試求兩平面 E1：x＋y＋2z＝6 與 E2：x－2y－z＝－2 的夾角。
--- 120° 與（180°－120°）＝60°。
隨堂練習--- 試求兩平面 E1：2x＋y＋2z＝0 與 E2：x＋y＝0 的夾角。
---
※點到平面的距離公式
坐標空間中﹐點 P（x0，y0，z0）到平面 E：ax＋by＋cz＋d＝0 的 距離為
。
例題3--- 試求點 P（1，－1，－3）到平面 E：x－2y＋2z－6＝0 的距離。
--- 3。
隨堂練習--- 試求點 P（2，－3，4）到平面 E：x＋y＋z－3＝0 的距離。
---
兩平行平面的距離
設 E1﹐E2 為坐標空間中的兩平行平面﹐且其方程式為 E1：ax＋by＋cz＋d1＝0﹐ E2：ax＋by＋cz＋d2＝0。
＝＝﹐
此即兩平行平面 E1 與 E2 的距離公式。
例題7--- (1) 試求兩平行平面 E1：x＋2y＋2z＋9＝0 與 E2：x＋2y＋2z－6＝0 的距離。
(2) 已知平面 E1 與平面 E2：2x－y－2z＋3＝0 平行﹐且平面 E1 與 E2 的距離為 2﹐ 試求平面 E1 的方程式。
--- 解 (1)5。
(2) 2x－y－2z－3＝0 或 2x－y－2z＋9＝0。
隨堂練習---
(1) 試求兩平行平面 E1：x＋2y＋2z＋9＝0 與 E2：2x＋4y＋4z－18＝0 的距離。
(2) 已知平面 E1 與平面 E2：x－2y－2z－9＝0 平行﹐且平面 E1 與 E2 的 距離為 3﹐試求平面 E1 的方程式。
---
例題8--- 如圖所示﹐已知長方體 ABCD－EFGH 的長﹑寬﹑高分別為 ¯¯＝2﹐¯¯＝6﹐¯¯＝4﹐令 P﹐Q﹐R 分別為 ¯¯﹐¯¯﹐¯¯ 的中點﹐則：
(1) 試求點 A 到平面 PQR 的距離。
(2) 設平面 PQR 與平面 CDHG 的夾角為 θ﹐試求 cos θ。
(3) 試求點 E 到平面 PQC 的距離。
---
(1) 。
(2) cos θ＝－ 或 。
習 題 2-1 一﹑基本題
1. 求通過點（2，3，4）﹐且以 ＝（3，－2，1）為法向量的平面方程式。
2. (1) 求通過 P（2，3，4）﹐Q（3，5，6）﹐R（5，3，2）三點的平面方程式。
(2) 求通過 A（3，0，0）﹐B（0，4，0）﹐C（0，0，－5）三點的平面方程式。
3. 設平面 E 與平面 E1：3x＋2y＋z＋6＝0 平行﹐若平面 E 通過點（3，－4，2）﹐試求平面 E 的方程式。
4. 試求兩平面 x＋y＋ z－3＝0 與 z＝0 的夾角。
5. 試求點（3，－2，1）到平面 x＋2y－2z＋6＝0 的距離。
二﹑進階題
6. 設平面 E 與平面 E1：3x＋2y＋z－6＝0 平行﹐且平面 E 與平面 E1 的距離為 ﹐試求平面 E 的方程式。
7. 已知坐標空間中﹐（1，0，0）﹐（0，2，0）﹐（0，0，3）與（1，2，t）四點共面﹐試 求 t 之值。
8. 一平面 E 通過點 P（1，2，3）﹐且同時垂直於平面 E1：x＋y－2z＋3＝0 和 E2：2x－y－z
＋4＝0﹐試求平面 E 的方程式。
三﹑挑戰題
9. 坐標空間中有一平面鏡 E﹐今有一雷射光線由 A（3，－1，1）射向鏡面 E 上的一點 B（1，1，2）﹐經反射後通過點 C（－1，5，6）﹐如右圖所示﹐試求平面 E 的方程式。
2-2 空間直線方程式
回憶第三冊中坐標平面上直線的參數式求法：只要有直線的方向向量與直線上的一點﹐
就可以得到直線的參數式。本節介紹空間直線的方程式﹐並探討直線與平面的關係﹑點到直 線的距離﹑兩平行線的距離與兩歪斜線的距離。
直線的方程式
※直線參數式
設直線 L 通過點 A（x0，y0，z0）﹐且與非零向量 ＝（a，b，c）平行﹐則直線 L 的參數式 為
﹐t 為實數﹐
其中﹐t 稱為參數﹐ 稱為直線 L 的方向向量。
同一直線的參數式其表達方式並不唯一：隨著選取的點 A 不同或方向向量 不同﹐則參數式的形式就會不一樣。
參數式帶有動態的概念：當 t 在變動時﹐P 點在直線 L 上 隨之滑動。
例題1--- (1) 試求通過點 P（2，－3，4）﹐且與向量 ＝（4，2，－1）平行的直線 L 的參數式。
(2) 已知空間中兩點 P（－1，2，3）﹐Q（4，5，－6）﹐試求直線 PQ 的參數式。
--- 解 (1)﹐t 為實數。
(2) ﹐t 為實數。
隨堂練習--- (1) 試求通過點 P（5，－2，4）﹐且與向量 ＝（3，－2，1）平行的直線參數式。
(2) 已知空間中兩點 P（－1，0，2）﹐Q（1，0，1）﹐試求直線 PQ 的參數式。
---
※直線對稱比例式
設直線 L 通過點 A（x0，y0，z0）﹐且與向量 ＝（a，b，c）
平行﹐其中 a﹐b﹐c 皆不為 0﹐則直線 L 的對稱比例式為
＝＝。
一條直線對稱比例式的表示法並不唯一：隨著選取的點 A 不同或方向向量 不同﹐對稱比 例式的形式就會不一樣。
例題2--- 設直線 L 通過點 A（－1，2，3）﹐B（4，1，5）兩點﹐試求直線 L 的對稱比例式。
--- 解＝＝。
隨堂練習--- 設直線 L 通過點 A（2，3，5）﹐且方向向量為（－2，7，1）﹐試求直線 L 的對稱比例式。
---
用此兩平面的方程式來表示直線的方法﹐稱為直線的兩面式。
例題3--- 已知兩平面 E1：x＋y＋z＝3 和 E2：2x＋y＋3z＝7 相交於直線 L﹐試求直線 L 的參數式。
--- 解 設點 P（x，y，z）在交線 L 上﹐則
﹐
底下的想法是將 x﹐y 都用 z 來表示。
上式整理得
﹐ 將兩式相減得 x＝4－2z﹐
代入 x＋y＋z＝3﹐得 y＝－1＋z﹐
故令 z＝t﹐可得 P 點的坐標為（4－2t，－1＋t，t）﹐
即直線 L 的參數式為
隨堂練習--- 已知兩平面 E1：2x＋y＋3z＝8 和 E2：x－y＋6z＝4 相交於直線 L﹐試求直線 L 的參數式。
---
直線與平面的關係
空間中一條直線 L 與一個平面 E 的關係﹐可以出現下列三種情形：
(1) 兩者平行。 (2) 交於一點。 (3) 直線落在平面上。
一般而言﹐令 t 表直線 L 的參數﹐
(1) 如果沒有任何實數 t﹐可使點 P 落在平面 E 上﹐則直線 L 與平面 E 平行。
(2) 如果恰有一個實數 t﹐使點 P 落在平面 E 上﹐則直線 L 與平面 E 交於一點。
(3) 如果任意實數 t﹐所得的點 P 都落在平面 E 上﹐則直線 L 落在平面 E 上。
例題4 --- 設平面 E 的方程式為 2x＋y－z＝3﹐試分別討論下列三直線與平面 E 的關係：
(1) L1：＝＝。 (2) L2：＝＝。 (3) L3：＝＝。
--- 解 (1)交於一點 P（2，2，3）。
(2)直線 L2 與平面 E 不相交﹐即直線 L2 與平面 E 平行。
(3)故直線 L3 落在平面 E 上。
隨堂練習--- 設平面 E 的方程式為 3x＋2y－z＝2﹐試討論直線
L：＝＝ 與平面 E 的關係。
---
可決定一個平面：不共線三點、一直線與線外一點、相交於一點的兩直線、兩平行線。
若要求平面方程式﹐基本的想法仍然是找到平面的法向量和平面上一點即可。
例題3--- 已知平面 E 包含點 P（2，3，5）與直線 L：＝＝ ﹐試求平面 E 的方程式。
---
解 由直線 L 的對稱比例式 ＝＝ 知：
Q（1，2，3）為直線 L 上一點﹐
向量 ＝（2，3，2）為直線 L 的一個方向 向量﹐又＝（1，1，2）為平面 E 上的 一個向量﹐因此﹐ × 是平面 E 的 一個法向量﹐如圖 25 所示。由
×＝＝（4，－2，－1）﹐
故平面 E 的方程式為
4（x－2）－2（y－3）－（z－5）＝0﹐ 即 4x－2y－z＋3＝0。
隨堂練習--- 已知直線 L1：＝＝ 與 L2：＝＝
相交於一點﹐試求包含直線 L1 與 L2 的平面方程式。
---
投影點
從平面 E 外一點 P 沿著平面的法向量方向所形成的直線﹐會與平面 E 交於一點 Q。由法向 量的定義知向量 會與平面 E 垂直﹐故稱 Q 為 P 在平面 E 上的投影點。
例題6--- 試求點 P（1，－2，2）對平面 E：2x－y＋z＝0 的投影點。
--- 解 Q 點坐標為（－1，－1，1）。
隨堂練習--- 試求點 P（2，3，1）對平面 E：3x＋2y＋z＝－1 的投影點。
---
點到直線的距離
設 P 為直線 L 外一點﹐從點 P 作直線 L 的垂線﹐令 垂足為點 Q﹐我們稱 ¯¯ 的長度為點 P 到直線 L 的距離。
例題7--- 試求點 P（1，2，3）到直線 L：＝＝ 的距離。
--- 解 設由 P 點作直線 L 的垂線的垂足為 Q 點﹐由直線 L：＝＝ 的參數式
L：
可令 Q 點坐標為（6＋3t，－4t，6＋2t）﹐ ＝（5＋3t，－2－4t，3＋2t）。
因為 與直線 L 的方向向量（3，－4，2）垂直﹐
即（5＋3t，－2－4t，3＋2t）‧（3，－4，2）＝0﹐
整理得 29t＋29＝0﹐解得 t＝－1﹐因此 Q 點坐標為（3，4，4）﹐
故 P 點到直線 L 的距離為¯¯ ＝＝3。
隨堂練習--- 已知點 P（1，－3，4）與直線 L：＝＝﹐試求：
(1) 由點 P 往直線 L 作垂線的垂足坐標。
(2) 點 P 到直線 L 的距離。
---
兩平行線的距離
當兩直線 L1﹐L2 互相平行時﹐其中一直線上的任意一點到另一直線的距離都相等。
因此﹐只要在一直線上任取一點﹐求其到另一直線的距離﹐所得即為兩平行直線的距離。
例題8--- 求兩平行直線 L1：＝＝ 與 L2：＝＝ 的距離。
--- 解 由直線 L1 的方程式知 P（1，3，4）是直線 L1 上一點。
設由 P 點作直線 L2 的垂線﹐令垂足為 Q 點﹐
由直線 L2 方程式知﹐可令 Q 點坐標為（4＋2t，2－3t，8＋2t）。
由 ＝（3＋2t，－1－3t，4＋2t）與直線 L2 的方向向量（2，－3，2）垂直﹐因此
（3＋2t，－1－3t，4＋2t）‧（2，－3，2）＝0﹐ 整理得 17＋17t＝0﹐解得 t＝－1﹐
所以 ＝（1，2，2）﹐故直線 L1 與 L2 的距離為¯¯＝││＝＝3。
隨堂練習--- 求兩平行直線 L1： 的距離。
---
兩歪斜線的距離
設 L1﹐L2 為空間中互為歪斜的兩條直線﹐在 L1﹐L2 上分別有一個點 P﹐Q 使得 ¯¯ 同時垂直於 L1﹐L2 兩直線。 ¯¯ 稱為 L1﹐L2 的公垂線段﹐
公垂線段所在的直線稱為公垂線。公垂線段的長度 ¯¯ 稱為兩歪斜線 L1﹐L2 間的距離。
例題9--- 已知直線 L1：＝＝ 與 L2：＝＝ 互為歪斜線﹐試求：
(1) 直線 L1 與 L2 的距離。 (2) 公垂線 L 的對稱比例式。
--- 解 (1) 設公垂線 L 分別與直線 L1﹐L2 相交於 P﹐Q 兩點﹐由直線 L1 與 L2 的方程式﹐可令 P 點坐標為 P（1＋t，2＋t，1－t）﹐t 為實數﹐Q 點坐標為 Q（8＋6s，7＋2s，2－3s）﹐s 為 實數﹐得 ＝（6s－t＋7，2s－t＋5，－3s＋t＋1）。因為 與直線 L1﹐L2 的方向向量（1，1，
－1）﹐（6，2，－3）均垂直﹐
所以
即 解得 s＝－1﹐t＝0。
因此 P 點坐標為（1，2，1）﹐Q 點坐標為（2，5，5）﹐
得公垂線段長 ¯¯ ＝＝
(2) 由 ＝（1，3，4）為公垂線 L 的一個方向向量﹐且公垂線 L 通過 P（1，2，1）﹐故得公垂線 L 的對稱比例式為＝＝。
隨堂練習--- 已知直線 L1：﹐t 為實數﹐與 L2：。互為歪斜線﹐求直線 L1 與 L2 的距離。
---
習 題 2-2 一﹑基本題
1. 已知直線 L 通過 A（1，2，3）﹐B（3，3，2）兩點﹐試求直線 L 的參數式與對稱比例式。
2. 試求通過點 P（2，5，3）且與直線 L：＝＝ 平行的直線方程式。
3. 試求兩平面 E1：x＋y＋2z＝8 和 E2：3x＋y＋4z＝10 的交線方程式。
4. 已知平面 E 的方程式為 3x－y＋2z＝5﹐判斷下列直線和平面 E 的關係。若直線和平面 E 交 於一點﹐亦求出交點坐標。
(1) 直線 L1：＝＝ 。 (2) 直線 L2：＝＝ 。 (3) 直線 L3：﹐t 為實數
◎5. 已知點 P（3，1，5）及直線 L：＝＝﹐試求：
(1) P 點到直線 L 的距離。
(2) P 點關於直線 L 的對稱點。
（當直線 L 為線段 PQ 的中垂線時﹐Q 為 P 點關於直線 L 的對稱點。）
二﹑進階題
6. 已知直線 L1：＝＝ 與 L2：＝＝ 為兩平行直線﹐若平面 E 包含直線 L1 與 L2﹐試求平面 E 的方程式。
◎7. 已知直線 L1：＝＝ 與 L2：＝＝ 互為歪斜線﹐試求其公垂線段長及公垂線方程式。
8. 已知直線 L1：＝＝ 與 L2：＝＝ 互為歪斜線﹐若平面 E 包含直線 L1 且與 L2 平行﹐試求平 面 E 的方程式。
◎9. 已知直線 L1：x＝＝ 與 L2：＝＝ 平行﹐試求兩直線的距離。
三﹑挑戰題
◎10. 已知正四面體的四個頂點在兩條歪斜線 L1 與 L2 上﹐其中 L1： L2：
試求此正四面體的邊長。
2-3 三元一次聯立方程式
在國中階段使用“代入消去法”與“加減消去法”來解二元一次聯立方程式。在本節 中﹐我們將利用這兩個方法來解三元一次聯立方程式（三元一次方程組）﹐並進一步探討三 平面的幾何關係。
上列的每個等式都含有三個未知數﹐而且它們的次數都是 1﹐像這樣的等式稱為三元一次 方程式。幾個三元一次方程式上下並列在一起﹐就稱為三元一次聯立方程式﹐也可稱為三 元一次方程組。
消去法：三元一次聯立方程式的解法與二元一次聯立方程式的解法相似：先消去一個未知 數﹐得到一個二元一次聯立方程式；再消去一個未知數﹐得到一元一次方程式﹐即可依次 求出各變數的解。
例題1--- 試求三元一次聯立方程式 的解（x，y，z）。
---
（x，y，z）＝（9.25，4.25，2.75）。
隨堂練習--- 設二次函數 f（x）＝ax2＋bx＋c 的圖形通過（1，1）﹐（2，3）﹐（3，7）三點﹐試求 f（x）。
---
※克拉瑪公式
對於三元一次方程組 ﹐
定義 Δ Δ﹐ x ﹐Δy ﹐Δz 如（＊）式﹐則當 Δ 0 時﹐方程組恰有一組解 x＝﹐y＝﹐z＝。
例題2--- 利用克拉瑪公式解方程組。
--- 有一組解 x＝4﹐y＝－3﹐z＝1。
隨堂練習--- 用克拉瑪公式解方程組。
---
※三元一次方程組解的判定 對於三元一次方程組 ﹐
令 Δ Δ﹐ x﹐Δy﹐Δz 定義如前﹐則：
(1) 若 Δ 0﹐則方程組有唯一一組解。
(2) 若 Δ＝0﹐但 Δx﹐Δy﹐Δz 其中有一個不為 0﹐則方程組無解。
(3) 若 Δ＝0﹐且 Δx＝Δy＝Δz＝0﹐則方程組可能無解﹐也可能有無限多組解。
例題3--- 解方程組 。
--- 故方程組的解為
隨堂練習--- 解方程組。
---
例題4--- 坐標平面上﹐已知一圓 C 通過（3，2）﹐（1，4）﹐（－1，2）三點﹐試求圓 C 的方程式。
--- 圓 C 的方程式為 x2＋y2－2x－4y＋1＝0。
隨堂練習--- 試問在坐標平面上﹐有沒有一個圓通過（1，3）﹐（2，1）﹐（4，－3）這三個點？
---
三平面的幾何關係
要求坐標空間中三平面 E1：a1 x＋b1 y＋c1 z＝d1 ﹐E2：a2 x＋b2 y＋c2 z＝d2 ﹐ E3：a3 x＋b3 y＋c3 z＝d3 的交點坐標﹐相當於求解三元一次方程組
。
因此﹐由上述方程組的解可以判斷三平面的幾何關係。
依照三元一次方程組的解﹐我們將空間中三平面的相交情形區分成下列三種類型：
(1) 若恰有一組解﹐則三平面恰交於一點。
三平面恰交於一點 (2) 若有無限多組解﹐則三平面的相交情形有三種可能。
三平面互異且 相交於一直線
兩平面重合且與 第三平面交於一直線
三平面重合 (3) 若無解﹐則三平面的相交情形有四種可能。
三平面兩兩 交於一直線 但三交線沒 有共同交點
兩平面平行 且與第三平 面分別交於
一直線
三平面平行 兩平面重合
且與第三平 面平行
例題5--- 試判斷三平面 E1：x－y＋z＝3﹐E2：3x－y－z＝7﹐E3：4x－y－2z＝9 的幾何關係。
--- 解 解方程組
因為 Δ＝＝0﹐
所以方程組可能有無限多組解或無解。
此時觀察三平面法向量皆不平行﹐因此三平面關係可能是圖 34 或圖 37﹐ 利用加減消去法直接解方程組可得﹐其中 t 為實數﹐
故方程組有無限多組解且這是直線參數式﹐
因此三平面互異且相交於一直線﹐如圖 34。
隨堂練習--- 試判斷三平面 E1：2x＋y－z＝3﹐E2：x＋2y＋z＝3﹐E3：3x＋4y＋z＝7 的幾何關係。
---
例題6--- 試就 a 值討論三平面 E1：x＋y＋az＝1﹐E2：x＋ay＋z＝2﹐E3：x＋y＋z＝1 的幾何關係。
--- 解 考慮方程組 計算可得
Δ＝＝－a2＋2a－1＝－（a－1）2 因此﹐
(1) 當 a 1 時﹐Δ 0﹐方程組有唯一一組解﹐此時三平面交於一點﹐如圖 33。
(2) 當 a＝1 時﹐Δ＝0﹐ 此時三平面方程組為
顯然平面 E1﹐E3 重合﹐且和平面 E2 平行﹐此時方程式無解﹐如圖 36。
隨堂練習--- 試就 a 值討論三平面 E1：x＋3y＋z＝1﹐E2：2x－y＋z＝2﹐E3：3x＋ay＋2z＝3 的幾何關係。
---
※空間向量的線性組合
給定坐標空間中三個向量＝（a1，a2，a3）﹐＝（b1，b2，b3）﹐＝（c1，c2，c3）﹐
要把 ＝（d1，d2，d3）寫成 ﹐﹐ 的線性組合﹐即要求 x﹐y﹐z 使得
＝x＋y＋z﹐
即
（d1，d2，d3）＝x（a1，a2，a3）＋y（b1，b2，b3）＋z（c1，c2，c3）﹐
這相當於解三元一次方程組
。
由克拉瑪公式可知﹐當 Δ 0 時﹐此方程組恰有一組解﹐故 可寫成 ﹐ ﹐ 的線性組合。
注意到當 Δ 0 時﹐﹐﹐ 所張出的平行六面體體積不為 0﹐即 ﹐﹐ 不在同一平面上。因此上 段的結論其幾何意義為：
當空間非零向量﹐﹐不在同一平面上時﹐則任何一空間向量 必可寫成﹐﹐的線性組合
＝x＋y＋z﹐
且這個表示法是唯一的。
例題7--- 給定坐標空間中四個向量
＝（1，1，1）﹐＝（1，3，4）﹐＝（1，2，6）﹐＝（6，13，27）。
試問： 是否可表成 ﹐﹐ 的線性組合 x ＋y ＋z？ 若可以﹐請表出其線性組合。
--- 解 由 ﹐﹐ 組成的 Δ＝＝7 0﹐
所以 可表成 x＋y＋z 的線性組合。又
x ＋y ＋z＝（x，x，x）＋（y，3y，4y）＋（z，2z，6z）
＝（x＋y＋z，x＋3y＋2z，x＋4y＋6z）﹐
且 ＝（6，13，27）﹐因此解
得 x＝1﹐y＝2﹐z＝3﹐故 ＝ ＋2 ＋3。
隨堂練習--- 給定坐標空間中四個向量
＝（1，1，1）﹐＝（2，3，1）﹐＝（1，3，4）﹐＝（13，26，25）。試問： 是否可表成
﹐﹐ 的線性組合 x ＋y ＋z？ 若可以﹐請表出其線性組合。
---
習 題 2-3 一﹑基本題
1. 設函數 f（x）＝ax2＋bx＋c 通過（0，1）﹐
1，
﹐
－1，－
三點﹐試求 a﹐b﹐c 之值。
2. 已知一圓過三點（－1，7）﹐（3，5）﹐（4，2）﹐試求此圓的方程式。
◎3. 用克拉瑪公式解 。
◎4. 解下列兩方程組﹐並判斷其所代表的三平面之間的關係：
(1) 。 (2)
二﹑進階題
◎5. 給定坐標空間中四個向量
＝（1，0，1）﹐＝（1，0，－1）﹐ ＝（0，1，0）與 ＝（2，3，4）﹐
試問 是否可表成 x＋y ＋z 的線性組合？若可以﹐請求出
（x，y，z）的所有可能的解。
◎6. 若方程組有解﹐求 a 值及其解。
7. 設方程組與方程組有相同的解﹐試求 a﹐b﹐c 之值。
◎8. 已知平面 E1：2ay＋z＝0﹐E2：x＋y＋az＝b﹐E3：（1－a）x＋7y＝1﹐
a﹐b 為實數﹐若三平面的交點不只一個﹐試求 a﹐b 之值。
三﹑挑戰題
9. 有一個三位數﹐各位數字的和是 10﹐交換個位數字與百位數字後就比原數大 198﹐交換十
位數字與百位數字後就比原數小 90﹐試求此三位數。
