第十一章 機率與統計
11-1 集合
集合
1.集合
由明確可辨別的事物所組成的群體，稱為「集合」。組成集合的每個事物稱為此集合的
「元素」。若a是集合A 的一個元素，記為a A ，讀作a屬於A ，否則記為a A ， 讀作a不屬於A 。
一般以大寫字母A 、 B 、C 、…表示集合，以小寫字母a 、 b 、 c 、…表示元素。
2.集合的表示法
(1)列舉法：將集合的元素逐一列在大括號內，例如：{1, 2,3, 4}、{ , , }a b c 。 相同字母只列舉一次，例如：{1,1,2,2,2} {1,2} 。
(2)描述法：將集合的元素特性以敘述表示，例如：{ |x x 為偶數} ，{2k1|k為整數}。
3.空集合
不含任何元素的集合，稱為空集合，以{ }或表示。
4.子集
若集合A 的每一個元素都是集合 B 的元素，稱 A 為 B 的子集或部分集合，以AB表示，
讀作A 包含於 B ，或以 B 表示，讀作 B 包含 A 。 A (1)空集合為任一集合的子集。
(2)若以n A( )表集合A的元素個數，則A共有2n A( )個子集。
5.相等集合
若集合A 、 B 滿足 A 且 BB ，則稱集合 A 、 B 相等，記為 A BA 。
★ 子集 ★
寫出S{1, 2, 2,3,3}的所有子集。
{1, 2, 2,3,3}S {1, 2,3}
（相同元素只列舉一次）
故有、{1}、{2}、{3} 、{1, 2}、{2,3}、
{1,3} 、{1, 2,3}
共有8 個子集
寫出T {1,{1}, 2}的所有子集。
有、{1}、{{1}}、{2}、{1,{1}}、{{1}, 2}、
{1, 2}、{1,{1}, 2}
共8 個子集
★★ 相等集合 ★★
設A{4x y, 2 、1} B{x2,y ， 3}
若A 且 BB ，求A x、y 之值。
∵ A 且 BB A BA
∴ 4 2
2 1 3
x x
y y
或 4 3
2 1 2
x y
y x
2 6 2 x y
或 7
2 1 x y x y
解得 3
2 x y
或 5
2 x y
設S {a1, 2b ，1} T {a2, 4b ， 1}
若S T ，求a、b之值。
∵ a 1 a 2
∴ 1 4 1
2 1 2
a b
b a
4 0
2 1 a b a b
解得a2， 1
b 2
集合的運算與性質
1.集合的聯集、交集與差集
運 算 聯 集 交 集 差 集
記 法 A B A B A B
構 式 法 { |x x A 或x B } { |x x A 且x B } { |x x A 但x B } 圖 示
(1)交換律： A B B ， A B B AA 。
(2)結合律：A(B C ) ( A B ) ，C A(B C ) ( A B ) 。 C (3)分配律：A(B C ) ( A B ) ( A C )，
A(B C ) ( A B ) ( A C )。 2.宇集與補集
(1)宇集：在研究某一問題中，所有相關的一切元素所成的集合 稱為宇集，常以U表示。
(2)餘集：若集合 A 的宇集為U，則U A 稱為A 的餘集或補集，
記為A 、' A 或 A 。即 ' { |C A x x U ，但x A }。
◎AA' 且 AA'U。 3.笛摩根定律
(1)(A B ) ' A' B'。 (2)(A B ) 'A'B'。
A'
圖 11-1
★ 集合的運算 ★ 設宇集U {1, 2,3, 4,5,6}，集合A{1, 2,3, 4}，
{2, 4,6}
B ，求 (1)A B (2) B A (3)(A B ) '。
(1)A B { |x x A 或x B } {1, 2,3, 4,6}
(2)B A { |x x B 或x A }{6}
(3)∵ A B { |x x A 且x B }{2, 4}
∴ (A B ) ' U (A B )
{ |x x U 但x A B } {1,3,5,6}
設宇集U { , , , , , }a b c d e f ，集合A{ , , }a b c 、 { , , }
B b d f ，求 (1)A B (2) A B (3)(A B ) '。
(1)A B { |x x A 且x B }{ }b (2)A B { |x x A 但x B }{ , }a c (3)∵ A B { |x x A 或x B } { , , , , }a b c d f ∴ (A B ) ' U (A B )
{ |x x U 但x A B } { }e
集合運算的元素個數
1. n A B( )n A( )n B( )n A B( )。
2. n A B C( )n A( )n B( )n C( )n A B( )n B C( )n A C( ) ( A B C )。 3. n A B( )n A( )n A B( )。
4. n A( ')n U( )n A( )。
★★ 集合運算的元素個數 ★★
在1 到 200 的自然數中，2 或 3 的倍數有幾 個？
設A、B 分別表示 1 到 200 中 2、3 的倍數 所成的集合，[ ]x 表不大於x的最大整數
則 200
( ) [ ] 100
n A 2 、 200 ( ) [ ] 66 n B 3 而A B 即 1 到 200 中 6 的倍數的集合
∴ 200
( ) 33
n A B 6
故n A B( )n A( )n B( )n A B( ) 100 66 33
133（個）
某班40 位同學中，英文及格有 20 人，數學 及格有16 人，英文、數學都及格有 10 人，
則兩科都不及格有幾人？
設 A、B 分別代表英文、數學及格者所成 的集合
則n A( ) 20 、n B( ) 16 、n A B( ) 10 故英文或數學及格有
( ) ( ) ( ) ( ) n A B n A n B n A B 20 16 10 26 （人）
故兩科皆不及格有40 26 14 （人）
重點三
11-2 機率
機率
1.樣本空間與事件
一個隨機試驗中，所有可能發生的結果所形成的集合，稱為「樣本空間」。而樣本空間的 每一個元素稱為「樣本點」，且對於樣本空間中任意兩子集A 、 B 定義如下：
(1)事件：樣本空間的子集。
(2)全事件：樣本空間本身，又稱為必然事件。
(3)空事件：即空集合，又稱為不可能事件。
(4)和事件：A 、 B 兩事件的聯集，即A B 。 (5)積事件：A 、 B 兩事件的交集，即A B 。 (6)餘事件：A 事件在樣本空間中的餘集，即A'。
(7)互斥事件：A 、 B 兩事件不會同時發生，即A B 。 2.古典機率的定義
設一隨機試驗的樣本空間S中，每個樣本點出現的機會均等，
則事件A 發生的機率記為 ( )P A ，且 ( ) ( ) ( ) P A n A
n S 。
為了使樣本點出現的機會均等，須將相同物視為不同，例如擲兩顆相同的骰子，
要視為編號1、2 或一大一小的兩顆。
3.幾何機率
設樣本空間S對應於一圖形，事件AS亦為一圖形，則 ( ) ( ) ( ) P A m A
m S ， 其中 ( )m A 、m S 為 A 、( ) S之幾何度量值，可為長度、面積或體積值。
★ 事件 ★★
投擲三枚硬幣一次，若A 事件為恰出現一次 正面的事件，B 事件為第一次出現正面的事 件，求A 、 B 的和事件與積事件。
∵ A 正,反,反 ) ， ( 反,正,反 ) ， {(
( 反,反,正 )}
B 正,正,正 ) ， ( 正,正,反 ) ， {(
( 正,反,正 ) ， ( 正,反,反 )}
∴ A 、 B 的和事件為
A B 正,正,正 ) ， ( 正,正,反 ) ， {(
( 正,反,正 ) ， ( 正,反,反 ) ， ( 反,正,反 ) ， ( 反,反,正 )}
而A、B 的積事件為A B 正,反,反 )}{(
承教師演示 1，若C事件為恰出現一次反面 的事件，則A、C是否為互斥事件？B、C是 否為互斥事件？
∵ C 反,正,正 ) ， ( 正,反,正 ) ， {(
( 正,正,反 )}
∴ A C A 、 C為互斥事件 {(
B C 正,正,反 ) ， ( 正,反,正 )}
B 、C不為互斥事件
★★ 擲骰機率 ★★
投擲二顆公正骰子，求下列各事件之機率：
(1)點數和為 6 (2)點數和大於 10 (3)至少出現一顆 5 點。
將二顆骰子視為大、小二顆
並以( , )x y 表示，大顆骰子出現x點 小顆骰子出現y 點的樣本
( ) 6 6 36 n S
(1)設 A 為點數和為 6 的事件，則 A{(1,5)，(2, 4) ， (3,3) ， (4, 2) ， (5,1)} ( ) 5n A
故 ( ) 5 ( ) ( ) 36 P A n A
n S
(2)設 B 為點數和大於 10 的事件，則 B{(5,6)，(6,6) ， (6,5)}n B( ) 3 故 ( ) 3 1
( ) ( ) 36 12 P B n B
n S
(3)設C為至少出現一顆5 點的事件，則 C{(5,1)，(5, 2) ， (5,3) ， (5, 4) ， (5,5) ， (5,6) ， (1,5) ， (2,5) ， (3,5) ， (4,5) ， (6,5)}
( ) 11n C
故 ( ) 11 ( ) ( ) 36 P C n C
n S
投擲一公正骰子二次，求下列各事件之機率：
(1)點數和為 9 (2)點數和不大於 5 (3)兩顆點數不同。
( ) 6 6 36 n S
(1)設 A 為點數和為 9 的事件，則 A{(3,6)，(4,5) ， (5, 4) ， (6,3)}
( ) 4n A
故 ( ) 4 1 ( ) ( ) 36 9 P A n A
n S
(2)設 B 為點數和不大於 5 的事件，則 B{(1,1)，(1, 2) ， (1,3) ， (1, 4) ， (2,1) ， (2, 2) ， (2,3) ， (3,1) ， (3, 2) ， (4,1)}
( ) 10n B
故 ( ) 10 5 ( ) ( ) 36 18 P B n B
n S
(3)兩顆點數相同有 (1,1)、(2, 2)、(3,3) 、 (4, 4) 、 (5,5) 、 (6,6) 等 6 個樣本 設C為兩顆點數不同的事件 n C( ) 36 6 30
故 ( ) 30 5 ( ) ( ) 36 6 P C n C
n S
★★★ 猜拳機率 ★★★
甲、乙、丙三人猜拳一次，每人出「剪刀、
石頭、布」的機會均等，求
(1)甲獨贏的機率 (2)不分勝負的機率。
( ) 3 3 3 27n S
(1)甲獨贏時 ( , , ) ，可為 (刀,布,布)，(石,刀,刀)，(布,石,石)三種 (P 甲獨贏 3 1
) 27 9 (2)不分勝負的情形有 三人出同一種 3 種 三人各出一種 3! 6 種 故P 不分勝負( 3 6 1
) 27 3
承教師演示3，求甲贏的機率。
甲贏時( , , ) 之情形有
甲獨贏
(刀,布,布)，(石,刀,刀)，(布,石,石)
3 種
甲、乙贏丙
(刀,刀,布)，(石,石,刀)，(布,布,石)
3 種
甲、丙贏乙
(刀,布,刀)，(石,刀,石)，(布,石,布)
3 種
故 3 3 3 9 1 3 3 3 27 3 P
★★ 排列機率 ★★
三男四女任意圍圓桌而坐，求男生皆不相鄰 的機率。
( ) 7! 6!
n S 7
四個女生先環狀排列入坐 4!
4 四個間隔再選三個讓男生入坐 P 34
故所求
4 3
4!
4 1
6! 5 P
P
甲、乙、丙、…等 6 人排成一列，求丙排在 甲、乙之前的機率。
( ) 6!n S
先將甲、乙、丙視為相同物排列 6!
3!
三人之中丙排最左，而甲乙可換 2!
故所求
6! 2! 1 3!
6! 3 P
★★★ 組合機率 ★★★
袋中有標記 1 到 10 號的 10 個大小相同的 球，從中一次取出三球，求此三球號之和為 偶數的機率。
10 3
10 9 8
( ) 120
3 2 1 n S C
又1 到 10 中，奇、偶數各有 5 個，而三 球號之和為偶數可能為三偶或一偶二奇 故n A( )C35C C15 25 10 5 10 60
故 60 1
( ) 120 2 P A
箱中有1 到 15 號的號碼牌各一張，由箱中取 出三張號碼牌，設取出最大號碼為x，則
10
x 的機率為何？
15 3
15 14 13
( ) 455
3 2 1 n S C
∵ 最大號碼為10
∴ 另2 號由 1 到 9 號中 任取 n x( 10)C29 36
故 36
( 10) P x 455
★★★ 幾何機率 ★★★
在邊長為 2 公分的正方形內任取一點，求此 點到四個頂點的距離不小於1 公分的機率。
分別以四頂點為圓心 半徑為1 公分畫弧，如圖 斜線部分即為此點的可能 區域，其面積為
1 2
2 2 4 ( 1 ) 4
4
故所求 4
4 1 4 P 斜線面積
正方形面積
在 區 間[ 2,5] 之 中 任 取 一 數x ， 則 x滿 足
|x 的機率為何？ 2 | 1 [ 2,5] { | 2 x x 5}
( ) | 5 ( 2) | 7m S
又|x 2 | 1 x 2 1或x 2 1 x1或x3
( ) | 5 3 | |1 ( 2) |
m A 2 3 5
故 ( ) 5
( ) ( ) 7 P A m A
m S
機率的性質
設樣本空間S，而A 、 B 為S中兩事件，則 (1)P( ) 0 ， ( ) 1P S 。
(2)0P A( ) 1 。 (3)P A( ') 1 P A( )。
(4)P A B( )P A( )P B( )P A B( )。
(5)若A 、 B 為互斥事件 (P A B ) 0 (P A B )P A( )P B( )。
★★ 機率的性質 ★★
設 樣 本 空 間 為S ， 事 件A 、BS ， 已 知 ( ') 1
P A 、3 1 ( ) 4
P B ，且 A、B 為互斥事件，
求(1) (P A B ) (2) ( 'P AB') (3) (P A B )。
(1)∵ 1 2
( ) 1 ( ') 1
3 3 P A P A
又A 、 B 為互斥事件 (P A B ) 0 ∴ P A B( )P A( )P B( )P A B( ) 2 1 11
3 4 0 12
(2) ( 'P AB')P A B(( ) ' ) 1 P A B( ) 11 1
1 12 12
(3) (P A B ) P A( )P A B( ) 2 2
3 0 3
設 樣 本 空 間 為 S ， 且 A 、 BS ， 已 知 ( ) 2
P A ，3 1 ( ') 5
P B ， 3
( )
P A B ，求 4 (1) (P A B ) (2) ( 'P AB') (3) (P B A )。
(1)∵ ( ) 1P B P B( ') 1 4 1 5 5
又P A B( )P A( )P B( )P A B( ) 3 2 4
( )
4 3 5 P A B
43
( )
P A B 60
(2) ( 'P A B')P A B(( )') 1 P A B( ) 43 17
1 60 60
(3)P B A( )P B( )P A B( ) 4 43 1
5 60 12
★★★ 機率性質的應用 ★★★
設每月出生的機率相等，求任意4 人之中，
(1)皆在不同月份出生的機率。
(2)至少有 2 人在同月出生的機率。
( ) 12 12 12 12 124
n S
(1)從 12 個月份選出 4 個月份排列 P412
故
12 4
4
12 11 10 9 55 12 12 12 12 12 96 P P
(2)所求 1 P(四人皆在不同月份出生) 55 41
1 96 96
袋中有黑球3 個、白球 2 個、紅球 4 個，從 袋中一次取三球，求至少一紅球的機率。
9
( ) 3 84 n S C
(
P 至少一紅球) 1 P(
不含紅球) 1 P(
其餘5 球中取 3 球 )
5
1 3
84
C 37
42
條件機率與貝氏定理
1.條件機率
設樣本空間S中二事件A、 B ，且P A( ) 0 ，則在 A 事件發生的情況下，發生 B 事件的機 率，記為P B A ，且( | ) ( ) ( )
( | )
( ) ( )
P A B n A B P B A
P A n A
。
2.條件機率的性質
設樣本空間S，而A 、 B 、C為S中的三事件，且A 、 B 不為空事件，則 (1) ( | ) 0P A ， ( | ) 1P A A 。
(2) 0P C A( | ) 1 。 (3) ( ' | ) 1P C A P C A( | )。
(4)P A B( )P A P B A( ) ( | )P B P A B( ) ( | )。
(5) (P A B C )P A P B A P C A B( ) ( | ) ( | )，其中A B 。 3.貝氏定理
(1)貝氏分割：
設A 、…、1 A 為樣本空間n S之一個分割，且BS 則
1
( ) n ( ) ( |k k)
k
P B P A P B A
。
(2)貝氏定理：設A 、1 A 、2 A 為樣本空間3 S的一個分割，若BS且P B( ) 0 ，則
1 1 2 2 3 3
( ) ( | ) ( | )
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
k k
k
P A P B A P A B
P A P B A P A P B A P A P B A
，
其中k可為1、2、3。
★★ 條件機率 ★★
擲一骰子兩次，若已知兩次點數和為10，求 (1)第一次點數為 4 的機率
(2)第二次點數為 3 的機率。
設A 表示兩次點數和為 10 的事件 則A{(4,6)，(5,5) ， (6, 4)} ( ) 3n A (1)設B 為第一次點數為 4 的事件，則
{(4,6)}
A B (n A B ) 1
故 ( ) 1
( | )
( ) 3 n A B P B A
n A
(2)設C為第二次點數為3 的事件，則 A C ( n A C ) 0
故 ( ) 0
( | ) 0
( ) 3 n A C P C A
n A
擲二顆骰子一次，若已知點數有 6 出現，求 點數和大於10 的機率。
設 A 為點數有 6 出現的事件 B 為點數和大於10 的事件
則A{(6,1)，(6, 2)，(6,3)，(6, 4)，(6,5) (6,6)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)}
( ) 11n A
且A B {(6,5)，(6,6) ， (5,6)}
(n A B ) 3
故 ( ) 3
( | )
( ) 11 n A B P B A
n A
圖 11-2
★★ 條件機率 ★★
袋中有紅球2 個、黃球 3 個、綠球 4 個，若 一次取一球，取 3 次且取後不放回，求取出 三球顏色依序為紅、綠、紅之機率。
設 A 為第 1 次取出紅球的事件 B 為第2 次取出綠球的事件 C為第3 次取出紅球的事件
則 2
( ) 9
P A ， 4 1
( | )
8 2 P B A ( | ) 1
P C A B 7 故所求P A B C( )
P A P B A P C A B( ) ( | ) ( | ) 2 1 1 1
9 2 7 63
10 支籤中有 3 支有獎，從中依序抽 2 支且抽 後不放回，求2 支皆未中獎之機率。
設 A 為第 1 次未中獎的事件 B 為第2 次未中獎的事件
則 7
( ) 10
P A ， 6 2
( | )
9 3 P B A 故所求P A B( )P A P B A( ) ( | ) 7 2 7
10 3 15
★★★ 貝氏定理 ★★★
甲班有男生30 人、女生 10 人，乙班有男生 25 人，女生 15 人，若先抽一班，再從此班 中抽出一名學生，求
(1)此學生為女生的機率為何？
(2)此女生是甲班的機率為何？
(1) ( )P 女
( ) ( | ) ( ) ( | )
P P P P
甲 女 甲 乙 女 乙 1 10 1 15 5
2 40 2 40 16
(2) ( |P 甲 女)
( ) ( | ) ( )
P P
P
甲 女 甲 女 1 10 2 40 2
5 5
16
紅海集團有A 、 B 、C三座工廠，產量分別 占全部的50％、30％、20％，又 A 、 B 、C 三工廠的不良率分別為3％、2％、1％，求 (1)從全部產品任選一件為不良品之機率為何？
(2)此不良品來自 B 工廠的機率為何？
(1) (P 不良)
P A P( ) (不良| )A P B P( ) (不良| )B P C P( ) (不良| )C
50 3 30 2 20 1 100 100 100 100 100 100
23
1000 (2) ( |P B 不良)
( ) ( | ) ( ) P B P B
P 不良 不良
30 2 100 100 6
23 23 1000
獨立事件
1.獨立事件
若 A 、 B 兩事件發生與否互不影響，則稱A 、 B 兩事件為獨立事件。
即P A B( | )P A( )且P B A( | )P B( )。 2.獨立事件的性質
若A 、 B 兩事件為獨立事件，則 (1)P A B( )P A( )P B( )。
(2) A 與 'B ， 'A 與 B ， 'A 與 'B 亦均為獨立事件，即 ( ') ( ) ( ')
P A B P A P B ， ( ' ) ( ') ( ) P AB P A P B ，
( ' ') ( ') ( ') P AB P A P B 。
A 、 B 為互斥事件 P A B( ) 0 。
A 、 B 為獨立事件 P A( B)P A P B( ) ( )。
★★ 獨立事件的性質 ★★
設A 、 B 為獨立事件，已知 1 ( ) 3 P A 、 ( ) 5
P A B ，求 (1) ( )6 P B (2) ( ' | )P A B 。 (1)∵ A 、 B 為獨立事件
1
( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B 3P B 又P A B( )P A( )P B( )P A B( ) 5 1 1
( ) ( ) 6 3 P B 3P B 3
( ) 4 P B
(2) 'A 、 B 亦為獨立事件
∴ P A B( ' | )P A( ') 1 P A( ) 1 2
1 3 3
設A 、 B 為獨立事件，已知 4 ( ) 7 P A 、 ( ) 5
P B ，求 (1) (6 P A B ) (2) ( ' | ')P B A 。 (1)∵ A 、 B 為獨立事件
4 5 10
( ) ( ) ( )
7 6 21 P A B P A P B ∴ P A B( )P A( )P B( )P A B( ) 4 5 10 13
7 6 21 14
(2)A 、' B 亦為獨立事件 '
∴ P B A( ' | ')P B( ') 1 P B( ) 5 1
1 6 6
★★ 獨立事件的應用 ★★
甲、乙二人同射一靶一次且互不影響，甲命 中率為3
5，乙命中率為2
3，求 (1)兩人皆中靶的機率。
(2)此靶被射中的機率。
設 A 、 B 分別表示甲、乙中靶的事件 (1)∵ A 、 B 為獨立事件（互不影響）
3 2 2
( ) ( ) ( )
5 3 5 P A B P A P B 故兩人皆中靶的機率為2
5
(2) (P 此靶被射中) 兩人皆不中 1 P( ) 1 P A( ' B')
1 P A P B( ') ( ') 2 1 13
1 5 3 15
甲、乙二人同解一題，若甲、乙二人之解題 能力分別為3
4與1
2，且互不影響，求 (1)恰有 1 人解出此題的機率。
(2)此題被解出的機率。
設 A、B 分別表示甲、乙解出此題的事件 (1)∵ A 、 B 為獨立事件
A 與 'B 、A 與 B 皆為獨立事件 ' ∴ P 恰 人解出 ( 1 )
P A B( ')P A( 'B) P A P B( ) ( ')P A P B( ') ( ) 3 1 1 1 1
4 2 4 2 2
(2) (P 此題被解出) 兩人皆解不出1 P( ) 1 P A( ' B')
1 P A P B( ') ( ') 1 1 7
1 4 2 8
重複試驗
設一試驗中事件A 發生的機率為p，則重複n次相同且互不影響的試驗，其中事件A 恰 發生k次的機率為C pkn k(1p)n k 。
★★ 重複試驗 ★★
某人出賽獲勝的機率為3
4，求此人 (1)比賽 5 場恰獲得 3 勝的機率為何？
(2)至少 2 勝的機率為何？
(1)所求 35 3 3 1 2 27 135 ( ) ( ) 10
4 4 1024 512
C
(2) (P 至少 勝2 ) 1 P(0勝)P(1勝)
5 0 5 5 1 4
0 1
3 1 3 1
1 ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4
C C
1 15 63 1 1024 1024 64
擲一公正骰子3 次，求 (1)恰好出現 2 次 6 點的機率。
(2)至少出現 2 次 6 點的機率。
(1)每次出現 6 點的機率皆為1 6
故P 恰 次 點( 2 6 ) 23 1 2 5 1 5 ( ) ( )
6 6 72
C
(2) (P 至少出現 次 點 2 6 ) ( 2 6 )
P 恰 次 點 恰 次 點 P( 3 6 )
3 2 1 3 3 0
2 3
1 5 1 5
( ) ( ) ( ) ( )
6 6 6 6
C C
5 1 2
72 216 27
11-3 數學期望值
數學期望值
1.事件的數學期望值
設一事件發生的機率為 p ，若此事件發生可得數值為m的報酬，
則p m 稱為此事件的數學期望值，簡稱為事件期望值。
2.試驗的數學期望值
設一試驗有n種可能的結果，其發生的機率分別為p 、1 p 、…、2 p ， n 若各結果分別可得m 、1 m 、…、2 m 的報酬， n
則稱p m1 1 p m2 2 p mn n為此試驗的數學期望值，
簡稱為期望值，常以E 表示。
★★ 期望值－外加報酬 ★★
設某人投擲兩枚均勻硬幣，若出現兩正面可 得8 元、恰一正面出現可得 4 元、無正面出 現，則損失2 元，求此人之期望值。
情形 兩正 一正 無正
m 8 4 2 p 1
4
1 2
1 4
1 1 1 7
8 4 ( 2)
4 2 4 2
E （元）
設一擲骰子遊戲，出現奇數點可得 5 元，出 現偶數點要付3 元，求此遊戲之期望值。
點數 奇數點 偶數點
m 5 元 元 3
p 1
2
1 2
1 1
5 ( 3) 1
2 2
E （元）
★★ 期望值－內含報酬 ★★
擲一公正骰子的點數期望值為何？
點數 1 2 3 4 5 6 P 1
6 1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
6 6 6 6 6
E 1 7
6 6 2
（點）
擲三枚均勻硬幣，得到正面個數的期望值為 何？
正面個數 3 2 1 0
P 13 2 3
3 2 3
3 2 3
1 2
3 3 3 3
1 3 3 1
3 2 1 0
2 2 2 2
E 3
（個）2
★★★ 以平均報酬求期望值 ★★★
設口袋中有五元硬幣2 個，十元硬幣 3 個，
若從口袋中隨意取出 2 個硬幣，求其金額的 期望值。
情形 2 個五元 1 個五元
1 個十元 2 個十元
金額 10 15 20
P
2 2 5 2
1 10 C
C 12513
2
6 10 C C
C 235
2
3 10 C C
∴ 1 6 3
10 15 20 16
10 10 10
E （元）
【另解】
取出2 個硬幣的金額期望值為取出 1 個硬 幣的金額期望值的2 倍，而
2 3
(1 ) 5 10 8
5 5
E 個硬幣 （元）
故E(2個硬幣) 2 E(1個硬幣) 2 8 16（元）
設一箱中裝有4 個白球、6 個黑球，若拿到 1 個白球可得12 元、1 個黑球可得 2 元，求任 取2 球的金額期望值。
情形 2 白 1 白 1 黑 2 黑
金額 24 14 4
P
4 2 10 2
6 45 C
C 141016
2
24 45 C C
C 1026
2
15 45 C C
∴ 6 24 15
24 14 4 12
45 45 45
E （元）
【另解】
取出2 球的金額期望值為取出 1 球的金額 期望值的2 倍，而
4 6
(1 ) 12 2 6
10 10
E 球 （元）
故E(2球) 2 E(1球) 2 6 12 （元）
★★ 期望值的應用 ★★
某彩券行發售1000 張彩券，其中獎金 10 元 有600 張、獎金 100 元有 300 張、獎金 10000 元有 1 張，其餘彩券無獎金。若彩券行每賣 一張彩券的期望獲利為 4 元，則每張應賣多 少元？
彩券行一張彩券所付出獎金的期望值為
600 300 1
10 100 10000
1000 1000 1000
46（元）
故每張應賣46 4 50 （元）
在有四個選項的單選題中，設答對一題可得 6 分，若要使亂猜其中一個選項的作答者，
分數的期望值為 0 分，則每題答錯應倒扣幾 分？
設每題倒扣x分，則
1 3
6 ( ) 0
4 4
E x
x2
故每題答錯應倒扣2 分
11-4 統計抽樣
統計抽樣
統計的意義
對研究對象蒐集資料，經過整理、分類、計算後，得到一些可供分析的圖表或數據，
以供作出決策的一種科學方法，稱為統計。常用名詞如下：
(1)母群體（母體）：研究對象的全體。
(2)樣本：從母群體中所抽出的一部分。
(3)抽樣：從母群體抽出樣本。
(4)普查：對母群體進行研究調查。具有完整性，但耗費成本。如：人口普查。
(5)抽查：對抽樣的樣本進行研究調查。節省成本，但其代表性取決於抽樣方法好壞。
如：民意調查、收視率調查。
抽樣方法
1.簡單隨機抽樣：抽樣時母群體每一個體被抽中機會均等。常以抽籤或將每一個體編號 後，利用亂數表選出樣本。
(1)優點：公平、方便，無需對母群體分類。
(2)缺點：母群體差異太大或抽樣數太少時，易有偏差。
2.系統抽樣：將母群體每一個體編號後，以隨機方式選出一個樣本，再依固定間隔取出其 它樣本。
(1)優點：比簡單隨機抽樣更方便。
(2)缺點：對有週期性的母群體不適用。 圖 11-3
3.分層隨機抽樣：將母群體依某標準分成幾個不重複的子 群體，又稱為「層」，使層與層差異大，層內差異小，並 由各層所占的比例分配樣本數，再從各層中隨機取樣。
(1)優點：避免抽樣偏差。
(2)缺點：需找到適當的分層標準。
圖 11-4
4.部落抽樣：將母群體分成幾個部落，使部落與部 落間差異小，部落內差異大，再抽取其中數個部落 做普查或抽查。
(1)優點：適合用於母群體資料蒐集不易時。
(2)缺點：需找到適當區分部落的標準，使部落即
母群體的縮影。 圖 11-5
★ 簡單隨機抽樣 ★ 班上有座號1 到 40 號的 40 位學生，試利用
下列隨機號碼表的第二列第一行開始，由左 至右選出五位學生（超過40 及重複皆捨棄不 選）。
5951 9366 7028 5388 5004 0441 4124 6251 2419 7995 6070 0294 2017 7325 9437 8482 1723 3930 8988 9001 從第二列第一行開始
由左至右每次選取兩位數字可得 04 41 41 24 62 51 24 19 79 95 60 70 02 94 20
捨棄超過40 及重複者，可知五位學生座 號為4、24、19、2、20
H 公司某日生產編號 1 到 500 的 500 支手 機，若要選出 5 支作檢驗，且利用教師演示 1 的隨機號碼表，從第一列第一行開始選出，
求選出5 支手機的編號為何？
從第一列第一行開始
由左至右每次取三位數字可得 595 193 667 028 538 850 040 441 412
捨棄超過500 及重複者，可知 5 支手機 編號為193、28、40、441、412
★ 系統抽樣 ★
某班共有42 位學生，老師以系統抽樣法選出 6 位學生，已知第一位被選到的學生座號為 10 號，則被選出的 6 位學生座號為何？
∵ 42
6 7
∴ 以7 為抽樣區間長度
又第一位為10 號，其後每加 7 號取一位，
超過42 號則再從 1 號開始算起，
故選出6 位學生座號為 10、17、24、31、
38、3
編號1 到 100 號的 100 個產品中，先以下列 隨機號碼表的第二列第3、4 行之數字作為第 一個選出產品的編號，再以系統抽樣方式選 出其它4 個，求選出 5 個產品的編號為何？
4558 6012 6190 6652 2472 8102 1054 2766 第二列第 3、4 行之數字為 72，
又共抽出5 個，
其抽樣區間長度為100
5 20，
故選出 5 個產品的編號為 72、92、12、
32、52
★ 分層抽樣 ★ 信樺高職的高一、高二、高三學生各有500、
400、300 人，若欲調查全校學生每日念書時 數，按年級人數比例作分層抽樣，共抽取120 位同學為樣本，求各年級應抽出多少人？
全校共有300 400 500 1200 人 故高一應抽出 500
120 50 1200 人 高二應抽出 400
120 40 1200 人 高三應抽出 300
120 30 1200 人
為了解全校學生平均身高，把全校學生分為 四層，第一層為160 公分以下有 20 人，第二 層為160～170 公分有 300 人，第三層為 170
～180 公分有 580 人，第四層為 180 公分以 上有100 人，則依分層抽樣方法抽出 50 人，
各層應抽出多少人？
全校有共20 300 580 100 1000 人 故第一層抽出 20
100050 1 人 第二層抽出 300
50 15 1000 人 第三層抽出 580
50 29 1000 人 第四層抽出 100
100050 5 人
★ 部落抽樣 ★
某校高一新生依常態編班，若想了解今年高 一新生的數學程度，則以何種抽樣方式調查 較為簡便？
因為依常態編號，故每個班級的差異極 小，可將每個班級視為各個部落，抽取一 個班級來做調查即可，故以部落抽樣法較 為簡便
某班級中30 位學生的家庭人口數列表如下：
座號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 人數 3 6 4 4 5 3 3 5 7 2 4 5 6 5 7 座號 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 人數 7 6 2 2 3 5 4 8 5 3 6 4 5 4 4 若從1 號開始，每 5 人分成一個部落，則第 4 個部落中的家庭人口平均數為幾人？
第 4 個部落為 16、17、18、19、20 號同學 其家庭人口平均數為
1(7 6 2 2 3) 4
5 （人）
★★★ 抽樣的機率 ★★★
某校共有800 人，平分成 20 個班級，每班各 有男生25 人，女生 15 人，為了解學生對男 女交友之看法，準備抽取40 位學生作調查，
其中男生小文被編到 101 號，女生小美被編 到 330 號，求下列各抽樣方法中，小文被抽 中的機率為何？
(1)以 800 人作簡單隨機抽樣。
(2)以部落抽樣抽出一個班級。
(1)所求 40 1 800 20
(2)即從 20 個班級中抽出一班共 40 人作 調查，故小文被抽中的機率即小文所 在的班級被抽中的機率為 1
20
承教師演示 5，若已知小美被抽中，求下列 各抽樣方法中，小文被抽中的機率為何？
(1)以編號作系統抽樣。
(2)以男女比例作分層抽樣。
(1)以編號作系統抽樣，則抽樣區間長度 為800
40 20人
又已知330 號的小美被抽中
∴ 抽出的號碼為330、350、370、390、
410、…，其中必不含 101 號的小文 故小文被抽中的機率為0
(2)∵ 男生人數：女生人數25 :15 5 : 3 ∴ 全校有男生 5
800 500
8 人 且需抽出男生 5
40 25
8 人 故小文被抽中的機率為 25 1
500 20
11-5 資料整理與圖表編製
資料整理
1.資料整理的目的
資料整理的目的在使資料系統化與簡單化，消除資料的雜亂性與複雜性，便於記憶與 分析運用。
2.資料整理的步驟
分類：依資料特性分門別類。
歸類：將資料歸入所屬類別。
列表：按格式編列成統計表。
繪圖：繪製統計圖呈現結果。
圖表編製
1.分組次數分配表編製步驟
求全距：全距 最大數值最小數值。
定組數：通常為 5 到 15 組。
定組距：組距即每一組的範圍。若採用相同組距，則組距 全距 組數。
定組限：組限即每組資料上下兩端的界限，最大值稱為上限，最小值稱為下限。
上下限的平均數稱為組中點。
歸類劃記：將資料在對應的組內劃記一畫。以五劃為一束「 |||| 」或以「正」字劃 記。
計算次數：計算劃記次數，寫於次數欄內。
2.次數分配表與圖示
(1)長條圖：常用於呈現簡單次數分配表，例如：
月份 一月 二月 三月 四月
天數 3 5 6 8
一到四月降雨天數次數分配表
圖 6
(2)直方圖：用於呈現分組次數分配表，例如：
體重(公斤) 次數(人) 以下累積 次數(人)
以上累積 次數(人)
40～50 5 5 30
50～60 9 14 25
60～70 10 24 16
70～80 4 28 6
80～90 2 30 2
甲班體重次數分配表及累積次數分配表
圖 7
(3)次數分配曲線圖：以各組之組中點為橫軸坐標，
該組次數為縱軸坐標畫出各點，再以直線依序 連接。
圖 8
(4)以下（以上）累積次數分配曲線圖：
以各組的上限（下限）為橫軸坐標，
該組之以下（以上）累積次數為縱軸 坐標畫出各點，再以直線依序連接。
例如：
圖 9
(1)累積次數分配表中，各組之「以下累積次數以上累積次數該組次數總次數」。 (2)以下累積曲線為遞增、以上累積曲線為遞減，若兩交點為 ( , )a b ，則 a 為該資料之中 位數，且b 為總次數之半，兩曲線上下對稱於 y b 直線。
★ 次數分配直方圖與曲線圖 ★
某班20 位同學投籃 20 次命中次數之次數分 配表劃記如下，試完成此表並作次數分配直 方圖與曲線圖。
(1)次數分配表
組別(次) 劃記 次數(人)
0～5 2
5～10 7 10～15 8 15～20 3 (2)次數分配直方圖與曲線圖
班上 20 位同學抽測英文成績之次數分配表 劃記如下，試完成此表並作次數分配直方圖 與曲線圖。
(1)次數分配表
組別(分) 劃記 次數(人)
30～40 1
40～50 3
50～60 5
60～70 6
70～80 4
80～90 1
(2)次數分配直方圖與曲線圖
★ 累積次數分配表與曲線圖 ★ 承教師演示1，試作：
(1)累積次數分配表。
(2)以下累積次數分配曲線圖。
(3)以上累積次數分配曲線圖。
(1)累積次數分配表 組別
(分)
次數 (人)
以下累積 次數(人)
以上累積 次數(人)
0～5 2 2 20
5～10 7 9 18 10～15 8 17 11 15～20 3 20 3
(2)以下累積次數分配曲線圖
(3)以上累積次數分配曲線圖
承學生練習1，試作：
(1)累積次數分配表。
(2)以下累積次數分配曲線圖。
(3)以上累積次數分配曲線圖。
(1)累積次數分配表 組別
(分)
次數 (人)
以下累積 次數(人)
以上累積 次數(人)
30～40 1 1 20
40～50 3 4 19
50～60 5 9 16
60～70 6 15 11 70～80 4 19 5 80～90 1 20 1 (2)以下累積次數分配曲線圖
(3)以上累積次數分配曲線圖
★★ 求累積次數分配表中未知數 ★★
試完成下列之累積次數分配表。
組別 次數 以下累積 次數
以上累積 次數
10～20 1 1 25
20～30 7 8 24
30～40 8 16 17
40～50 3 19 9 50～60 6 25 6
設 1 d g
a 8 h
b e i
3 f 9
c 25 j 則d 1，g 25
由以下累積得
1 a 8，8 b e ，e ，3 f f c 25 由以上累積得
c ，j j ，3 9 9 b i ，i a h 1 25
h
∴ a7，c ，j 6 h24，i17 b8， f 19，e16
某連鎖速食店 30 家分店年營業額的累積次 數分配表之部分數字如下表，試完成此表。
組別 (千萬元)
次數 (家)
以下累積 次數(家)
以上累積 次數(家) 2～4 2 2 30
4～6 5 7 28
6～8 8 15 23
8～10 11 26 15
10～12 2 28 4
12～14 2 30 2
設 a 2 i
5 e j
b 15 k c f l
2 g 4
d h m 則a2，i h 30
由以下累積得
2 5 e ，e b 15，15 c f 2
f ，g g d 30 由以上累積得
d m，m 2 4，4 c l ，l b k 5
k ，j j 2 30
∴ e7，b8，m d 2，g28 f 26，c11，l15， j28 k23，b8
