EduMath 16 (6/2003)
數學之用
蕭文強 香港大學數學系
去年年底有一位多年前的數學系畢業生送來一疊文稿，是一本適合中 學生以至一般大眾閱讀的密碼學普及讀物。當年我曾經是這位充滿教學熱 誠的數學教師的大一導師，與她見面談天的機會較多，也給她上過幾門課，
當時已經看得出來她是一位十分認真的學生。後來看見她畢業後對教學的 投入，在在均印證了當年她給予我的印象。她請我給她的書寫一個前言，
我沒有遲疑便一口答應了。由此引發的一些偶感，也許對現今修讀數學的 同學也是合適的話題，便寫下來讓大家看看。
那位教師在書的開首即提及學生問她數學有何用？相信每位數學教師 都碰過學生這樣的提問。二十年前我在一篇文章（「數學、數學史、數學教 師」，《抖擻》，第 53 期，1983 年 7 月，67 – 72 頁）說過：「數學的『學識』
可作縱橫看，縱方面就是追溯數學概念和理論的來龍去脈，橫方面就是探 討數學的本質和意義。」看來，為了更好欣賞數學境界的姿采風貌，我們 應該加上第三維 ⎯⎯ 廣方面就是了解數學的應用和它與日常生活之關 連。
固然，數學的價值並非單憑它在日常生活中的應用去確立，但對大眾 而言，這是較重要也是較具說服力的一面。但同時這一面也帶來相應的困 惑，就是一門學科之用，是否用得其所？英國數學家哈代（Godfrey Harold Hardy）逝世前幾年（1940）寫了一本小書，題為《一位數學家的自白》
（A Mathematician’s Apology），字裏行間一方面流露出一股「英雄遲暮」的 蒼涼感，另一方面很為自己選了很「純」的數論研究而欣慰。引用書中話，
「至今為止沒有人找到數論或者相對論於戰爭的用途，看來在很多年後也 不會有人找到這樣的用途 …… 因此一位真正的數學家（意指研究純數的 人）可以清心直說，他的任何工作絕無不宜成份。正如我以前在牛津大學 的時候說過，數學是一門無害且清白的行業。」大家倒不要斷章取義草率 地得出結論，認為哈代以數學「無用」（useless）而自豪，甚至視數學的任 何應用是玷污了數學的清白。要真正了解哈代的意思，你應該找原書看一
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數學教育第十六期 (6/2003)
看，尤其應該細讀第 21 及 22 節。再者，我們也得明白哈代寫作該書的時 代背景，當時歐洲戰火剛燃，慘痛的第二次世界大戰開始了不久。（際此戰 雲密佈的時局，哈代的話令人不無感觸。）要是哈代多活三十年，他便知 道數論亦非如此「無害且清白」，因為密碼學用上了看似最無用的數論知 識！如同別的科學家一般，數學家也無法置身事外，因為如同別的科學成 果一般，數學成果既可造福人群，也可帶來禍害。
二十世紀後半期代數及數論於糾錯編碼及密碼的應用說明了「純數」
及「應數」之間並沒有一道深不可逾的鴻溝。時至今天，數學在金融、經 濟以至生物科學的應用日趨普遍，更好說明這一點。雖然我們毋需認為數 學必須有應用方能肯定它的存在價值，但我們亦毋需冷落數學的應用。反 之，理論與應用的相互推動，正好顯示了數學這門學科的活力，自古如是，
將來也如是。
後記：
無獨有偶，過去幾個月內收到同一屆三位畢業生的消息。除了上面提 到那位中學教師外，另一位任職於郵政署的畢業生，因為工作上碰到問題 來信問及檢驗位（check digit）的數學原理。正好我知道還有另一位同屆的 畢業生（也是中學教師）年前寫了一則解釋身份證號碼的普及文章，便乘 著覆信之便把他們三位同學拉在一起，好讓他們互相切磋一番。很湊巧，
當年我教一門「離散數學」，他們三人都在同一個班上。課的內容包括了編 碼的數學，有一回為了展示格雷碼（Gray code）的原理我做了一個土製「三 子連還」在課堂上把玩，三人當中有一位多年後仍然記得這個玩意，2000 年在日本舉行的國際數學教育大會上他講述如何利用「九子連環」進行課 外活動，並且當場派發這個玩意，討論如何解答，大受歡迎！還記得我在 1981 年開設「離散數學」這門課，主要原因其實是自己想學習圖論和糾錯 編碼。要學習一門學問，最有效的方法是教它一遍，迫使自己把它弄通。
我教了幾年「離散數學」後便轉去教別的課，再過一些時候，該門「離散 數學」也演變成兩門課，即是如今一年級的「離散數學」和高年級的「應 用離散數學選講」。在 1994 年我重拾一年級「離散數學」的教學，十多年 已經過去了，八十年代初修讀「離散數學」的學生都已成長，在各個不同 的工作崗位上作出貢獻，有些當了教師的，他們的學生又在我的另一個「離 散數學」班上出現呢。一位教師的最大工作喜悅，來自見到一代接著一代 的學生茁壯成長。
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