直線數 vs 平面數

從複數開始的科技文明

單維彰

民國101年12月6日

直線數 vs 平面數

在直線上給定

原點、單位長、方向

就把直線上的點和實數相互對應 在平面上給定

（直角）坐標系

就把平面上的點和複數相互對應

複數和實數共有一致的運算性質

除了…

平面不分左右，複數沒有三一律

z

+1 > 0

本來就沒有意義，也不成立：每個 多項式都有「根」。

複數裡的富藏：

內積、二階行列式

a bi  r(cos  isin )

(cos sin ) c  di  s   i 

c di a bi

 



( ac bd ) ( ad bc i ) r

  

複數裡的富藏：

投影公式、面積公式

 ^{cos( ) sin( )} 

c di s

a ^ bi  r     i   



a c cos

ac bd rs

b d 

   

      

   

a c sin

ad bc rs

b d 

  

平面的秘密

平面 點P 直角坐標 點 複數平面 點 平面向量

( , ) P x y

x  yi  rei^

OP x

y

   

 



平面的秘密

 令 和 為單位圓上的複數，則

揭開了向量的原型，坐標不再只是被動地記錄點的位置，

釋放了坐標本身的威力

（ 的面積是 ）

就像物理學家解開了原子的秘密一樣 威力巨大而影響深遠

ei^  a bi _e^i _{ c di}

( )

( ) ( ) ⁱ cos( ) sin( )

a bi

ac bd ad bc i e i

c di

 ^    

         



ABC ^{1 | |}

2  AB AC

19 世紀前葉的一個數學大問題

有沒有可以像

實數 ^{（直線數）} ／複數 ^{（平面數）}

一樣計算的

「空間數」呢？

高斯（1777—1855）

熟知複數的他，在複數平面上利 用複數的極式和複數乘法的旋轉 意涵證明了「代數基本定理」。

1819年嘗試了

a + bi + cj

形式的「空間數」，但失敗了。

他有很多寫在筆記裡未發表的作 品，過世後才逐漸解密。

漢彌爾頓（W. R. Hamilton 1805—65）

從1828年起成為他智識上的 渴望 (Intellectual Want)。十 五年後1843年10月16日，觸 電式的頓悟：三項不夠。發明 了「四元數」

u + ai + bj + ck

分成純量﹑向量部分

四元數 Quaternion

(1) 兩數相等：對應項相等 (2) 向下相容（須設計）：

若 a、b、c 是 0 則「降」為實數 若 b、c 是 0 則「降」為複數

(3) 加減

p±q=(u±v)

+(a±x) i +(b±y) j +(c±z) k

四元數相乘：生成元素的規則 i

=-1、j

=-1、k

=-1

ij=k、 jk=i、 ki=j ji=-k、kj=-i、ik=-j

（繼承分配律）例如

(3+2i)(7i-5k) = 3(7i-5k) + 2i(7i-5k)

= 21i - 15k + 14i² - 10ik

= -14 + 21i + 10j - 15k

四元數除法：乘以倒數

共軛四元數

p’ = u – ai – bj - ck

四元數的絕對值

pp’=u

+ a

+ b

+ c

=: |p|

四元數的倒數

1 / p = p’ / |p|

抽象代數的濫觴

保：結合律、分配律

棄：交換律 ^{（這些名詞首度出現）}

愛爾蘭（ie）

都柏林 金雀花橋

(On the 16^th of October 1843)

Since

1843

馬克士威（J. C. Maxwell 1831—79）

蘇格蘭人，1861—2 陸續發表 電與磁交互關係的數學描述，

集結於1865年的綜合論文。

真正

須要

但是，Hamilton 逝於 1865。

而且…

吉布斯（W. Gibbs 1839—1903）

美國人，耶魯大學物理教授。

帶著一部類比型計算機參加 1900的巴黎世博。

Gibbs 現象

1881年在電磁學講義裡附帶 傳授向量方法。直到1901由 學生 Wilson 代筆出版教科書

《Vector Analysis》。

黑維塞（Heaviside 1850—1925）

英國人，自我教育的學者。獨 立發現四元數可簡化為空間向 量，而仍然滿足電磁學的需求

Heaviside （階梯）函數 1883年發表以向量方法描述

的電磁學論文。一生孤獨奮鬥，

身後備受肯定。

不美總比不妙好

空間向量之四大罪狀：

1. 不相容於實數

2. 不成代數體系

3. 不滿足結合律

4. 沒有消去律

( i   j) j i

( ) 0

i j j 

   

向量形式的馬克士威方程組

向量揭發了坐標的秘密

複數平面揭開了平面向量的原型，

坐標不再只是被動地紀錄點的位置，

釋放了坐標本身的威力

（ 的面積是 ）

就像物理學家解開了原子的秘密一樣 威力巨大而影響深遠

ABC ^{1 | |}

2  AB AC

漢彌爾頓漏了什麼嗎？

霍維茨 (A. Hurwitz 1859—

1919)，德國猶太人，於1898 年證明：在「合理」條件下，

所有「數系」只有四種，包括 實數、複數、四元數。換言之

大家期待的空間數

不存在

The End