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港明高中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科
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一、單一選擇題(每題 5 分，共 30 分)( )1. 點 (sin100, cos100) 若在
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (E)坐標軸上 ( )2. 下列各三角函數值，何者最小？
(A)cos1 (B)cos 2 (C)cos 3 (D)cos 4 (E)cos 5 ( )3. 函數 sin(2 )
y= x−
π
2在區間 ,
π π
2−
的簡圖為下列何者？
(A) (B) (C)
(D) (E)
( )4. 橢圓 2 cos : sin
x y
θ θ
=
Γ = 0≤ <θ 2π，通過橢圓Γ 的中心O且與x軸夾角30°的直線在第一象限 交橢圓於 P 點，則 OP 長為何？
(A) 4
7 (B) 7
4 (C) 7
2 (D) 13
2 (E) 4 13
( )5. 設橢圓
2 2
1: 1
25 9 x y
Γ + = 與雙曲線
2 2
2: 1
9 7
x y
Γ − = 共焦點F，1 F 且 P 為兩曲線2 Γ 與1 Γ 的一交 2 點，若∠F PF1 2 = ，則θ cosθ 之值為何？
(A)4
5 (B)3
5 (C)1
6 (D)1
7 (E)1 8 ( )6. 已知 1
sec tan
θ
−θ
= ，則3 cscθ +cotθ =？ (A)2 (B)3 (C)12 (D)27
20 (E)29 12
二、多重選擇題(全對 5 分，錯一個選項得 3 分；錯二個選項得 1 分；其他不給分，共 35 分) ( )7. 橢圓Γ 的焦點為F ，1 F 則以2 F 為圓心，半徑1 r作圓C，則Γ 與圓C的交點數會隨著圓C的
半徑r而改變，試問Γ 與圓C的交點數可為何？
(A)0 個 (B)1 個 (C)2 個 (D)3 個 (E)4 個
1
2
−π
x
y
−1
6 π
3
−π π x
y
1
−1
2
−π 6
−π
3 π
π x
y
1
−1
2
−π
6
−π
3
π π
x
y
1
−1
2
−π 6
3 π
−π
π x
y
1
−1
2
−π π
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( )8. 坐標平面上，下列哪些直線與雙曲線
2 2
4 9 1
x − y = 不相交？
(A) 3x= (B) 3y x= −2y (C) 3x=2y+ (D)1 x=1 (E)y= −100
( )9. 函數 ( )f x 滿足 (f x+
π
)= f x( )且 ( )f x 的圖形對稱於 y 軸，則 ( )f x 可為下列哪些函數？(A) sin | |x (B) | sin |x (C) 1
cos2x (D) cos | |x (E) | tan( ) | x
π
2+ ( )10.下列哪些方程式會有實數解？
(A) sin 3
x= (B)x sin cos 100
x
x = (C)sinx=2 tanx (D)sinx−cosx=2 (E) 1 sin cos
x+ x=100 ( )11.已知雙曲線
2 2
1: 1
9 4
x y
Γ − = ，
2 2
2: 1
9 4
y x
Γ − = − ，
2 2
3: 4
4 9
x y
Γ − = − ，
2 2
4:
4 9 2
y x y
Γ − = ，之
貫軸長分別為 ，請選出正確的選項： 1, 2, 3, 4
(A)1 >2 = (B)4 3 =2 (C)2 Γ 與1 Γ 共焦點 (D)2 Γ 與2 Γ 有相同漸近線 3 (E)Γ 之正焦弦四個端點為頂點的四邊形面積4 9 13
2 ( )12.橢圓
2 2
: 1
25 9 x y
Γ + = 的兩焦點F ，1 F ，2 P 為Γ 上一點，若∆PF F1 2為等腰三角形，請選出正 確的選項：
(A)滿足條件的P 點恰有 2 個 (B)滿足條件的 P 點恰有 4 個 (C)∆PF F1 2之周長恆為定值 (D)所有滿足條件∆PF F1 2必為銳角三角形 (E)所有滿足條件的∆PF F1 2之面積最大為 12 ( )13.若 ( ) cos 2 sin( 2 )
f x = x+
π
6 − x，請選出正確的選項：
(A)週期π (B)振幅 2 (C)y= f x( )的圖形對稱於直線 5 x=12
π
(D)y= f x( )的圖形可由y= 3 cos 2x之圖形左移6
π
單位而得(E)當0
x
π
2≤ ≤ ，則 ( )f x 之最大值為 3 三、填充題(每格 5 分，共 35 分)
1. 設函數 ( )f x =5sinx−12 cosx且0≤ ≤x π ，則 ( )f x 之最小值為_________
2. 已知5 3
4 2
π < <θ π 且 2+ 3為方程式x2−(tanθ +cot )θ x+ = 之一根，試求1 0 sin3
θ
−cos3θ
之值 為_________3. 如圖，兩山之間有一座吊橋，橋面BD 用鋼索 FAE 懸吊，鋼索 FAE 所形成的曲線為雙曲線的一 部分，其中 A 為雙曲線的一頂點，O為雙曲線的中心，O在 BD 上，OA⊥BD，OA=2公尺，
而橋長BD=36公尺，OB=OD，DF =BE= 公尺，且從4 O起每隔 1 公尺有一根與橋面垂直的 拉索A B (i i i=1, 2, 3,)；則A B3 3 =___________公尺
…
F
E
D B1
A
OA1
B
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4. 設 (1, 0)A ， ( 1,0)B − 為平面上兩定點，若 ( , )P x y 滿足 PAB∆ 的周長為 8，且 PAB∆ 的面積為 2，則
2 2
x +y 之值為_________
5. 有一直圓錐，其底半徑為 4，高為8 2 ，如圖，試求：
(1)此直圓錐的側表面積(不含底部)為_________
(2)若自錐底P 點出發，沿著圓錐側面繞行一圈，到達斜高AP 的中點 Q 而停止，則此路線的最 小
值為_________
6. 橢圓Γ: 9x2+25y2+18x−100y−116= 之長軸上一頂點 A，短軸上一頂點 B，P 為0 Γ 上任一點，
則 ABP∆ 之最大面積為_________
C A
P B
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港明高中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科簡答
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一、單一選擇題(每題 5 分，共 30 分)1. 2. 3. 4.
(B) (C) (D) (A)
5. 6.
(E) (A)
二、多重選擇題(全對 5 分，錯一個選項得 3 分；錯二個選項得 1 分；其他不給分，共 35 分)
7. 8. 9. 10.
(A)(B)(C) (A)(B)(D) (B)(E) (A)(B)(C)(E)
11. 12. 13.
(C)(D)(E) (C)(E) (A)(C)
三、填充題(每格 5 分，共 35 分)
1. 2. 3. 4.
− 12 5 2
8
39 3
17 2
5. 6.
(1) 48π (2) 6 7 15 2 15 2
+
