國立高師大附中 109 學年第一學期高三數學第一次段考(自然組) 注意

(1)

國立高師大附中109 學年第一學期高三數學第一次段考(自然組)

注意: 請將答案作答於另張(答案卷)中 (考試時間: 80 分鐘)

一、多選題 (每題全對得 6 分，只錯一選項得 4 分，錯兩選項得 2 分，不作答與其他不給分) 1. 某廠商委託民調機構在甲﹑乙兩地調查﹐聽過某項產品的居民占當地居民之

百分比（以下簡稱為「知名度」）﹒結果如下：在95%信心水準之下﹐該產品在甲﹑乙兩地的知名度之信賴區間分別為

[0.48, 0.56]

﹑

[0.51, 0.67]

﹒下列何者正確？ (1)

(A) 甲地本次的參訪者中﹐54%的人聽過該產品　 (B) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數　 (C) 此次民調在甲地的抽樣誤差為 8%

(D) 在甲地再次進行民調﹐並增加參訪人數達原人數的 2 倍﹐則在 95%信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半為 0.02

(E) 若不分地區，此次民調該產品知名度的抽樣誤差小於 0.04

2. 甲﹑乙﹑丙三人投擲一枚不均勻的硬幣各若干次

（每人投擲次數可不相同）在各自選定的信心水準之下﹐作擲出正面機率的信賴區間圖形如

右上（其中乙和丙的區間長度相同）﹐下列何者正確？ (2) (A) 丙擲出反面的比率最大 (B) 甲的信心水準最高 (C) 若投擲次數相同﹐則甲的信心水準比乙高

(D) 若信心水準相同,則甲的投擲次數比乙少 (E) 若信心水準相同,則丙的投擲次數比乙少 3. 職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制﹐當參賽甲﹑乙兩隊中有一隊贏得三場比賽時﹐就由該隊晉級而賽事結束﹒每場比賽皆須分出勝負﹐且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響﹒假設甲隊在任一場贏球的機率為定值

^p

﹐以

^{f p}  

表實際比賽場數的期望值（其中

⁰ ^{ } ^p ¹

）. 下列何者正確？ (3) (A) 須比賽五場才能產生晉級球隊的機率為

⁶ ^p

²

 ¹ ^ ^p 

²

(B)

^{f p}  

的常數項等於

3

(C)

^{f p}  

的各項係數和等於

5

(D) 函數

^{f p}  

在

¹

p  2

時有最小值 (E)

^f ^{ }     ¹ ₅ ^ ^f ^{ }     ⁵ ₆

二、填充題

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0 11 1 2 1

3 1 4 1

5 16 得分 8 1

6 2 4 3

2 4 0 4

6 5 2 5

8 6 2 6

6 70 7 4 7

6 7 8 8

0 82

1. 假設某棒球隊在任一局發生失誤的機率都等於

^p

（其中

0   p 1

）﹐且各局之間發生失誤與否互相獨立﹒令隨機變數

X

代表一場比賽

9

局中出現失誤的局數﹐且令

p

k代表

9

局中恰有

k

局出現失誤的機率

^{P X}  ^ ^k 

﹒已知

8( p

4

 p

5

) 45  p

6﹐則該球隊在一場

9

局的比賽中出現失誤局數的變異數為 (1) ﹒（化成最簡分數）

2. 某公司尾牙舉辦「紅包大放送」活動﹒每位員工擲兩枚均勻銅板一次﹐若出現兩個反面可得獎金

800

元﹔若出現一正一反可得獎金

1600

元﹔若出現兩個正面可得獎金

1600

元並且獲得再擲一次的機會﹐其獲得獎金規則與前述相同﹐但不再有繼續投擲銅板的機會（也就是說每位員工最多有兩次擲銅板的機會）﹒試問每位參加活動的員工可獲得獎金的期望值為 (2)

3. 投擲四個公正的骰子﹒若四個骰子出現點數完全相同時﹐可得獎金2160元﹔若出現點數為四連號時﹐可得獎金648元﹔若出現兩種點數時﹐可得獎金216元﹒求此獎金的期望值為 (3)

4. 一箱中有 2 顆白球和 7 顆紅球﹒從箱中隨機取球﹐一次一球取後不放回﹐直到取到紅球為止﹒求所取出球個數的變異數為 (4)

--P1--

(2)

國立高師大附中109 學年第一學期高三數學第一次段考(自然組)

5. 甲﹑乙兩人經常在一起打桌球﹐根據過去經驗﹐單局中甲獲勝的機率為

³

5

﹐且各局比賽的結果不互相影響﹒今兩人比賽﹐由乙在五(局)戰三勝制中獲勝的機率為 (5)

6. 某工廠要檢測某商品的不良率﹐若已知該商品抽樣的不良率均不超過 6%﹐在 95%的信心水準下﹐需抽驗至少 (6) 件商品才能使誤差不超過2% .

7. 針對臺灣地區的詐騙電話做調查後發現﹕「有 95%的信心認為約有 69%到 75%的人曾接過

詐騙電話﹒」問此次調查約抽樣多少人﹖ (7)

8. 在一選舉中﹐甲候選人的辦事處抽訪

ⁿ

位選民後﹐希望在95％的信心水準下﹐

^{估計全體選民} 支持比例 p _{的抽樣誤差不超過正負} _{2 個百分點﹐則} n 至少須為 (8)

9. 將

⁶

顆不同的球﹐任意投入

3

個箱子﹐設隨機變數

X

表空箱之個數﹐求期望值

^{E X}  

為 (9) 10. 小明上電視參加益智問答比賽﹐共有

6

題選擇題﹐假設每一題答對的機率是

¹

4

﹐且各自獨立﹒一開始有獎金

6000

元﹐答對一題增加

500

元﹐但答錯一題倒扣

1000

元﹒令隨機變數

X

表示最後小明可得的獎金﹐求隨機變數

X

的標準差為 (10)

11. 在一箱子中裝有

⁴⁸

個白球及若干個黑球﹒今從箱子中任取一球檢視後放回﹐如此反覆取

ⁿ

次球之後﹐計算取得白球球數的期望值為

¹⁶

個﹐標準差為

2.4

個﹒ 則袋中有 (11) 個黑球 12. 一圓盤分成標有數字

⁰

﹑

1

的兩區域﹐且圓盤上有一可轉動的指針﹒已知每次轉動指針

後﹐

前後兩次指針停在同一區域的機率為

¹

3

﹐而停在不同區域的機率為

²

3

﹒遊戲規則為連續轉動指針三次﹐計算指針在這三次所停區域的標號數字之和﹒若遊戲前指針的位置停在標號數字為

1

的區域﹐則此遊戲的期望值為 (12) （化成最簡分數）

13. 小明平時投籃 3 球中會投進 2 球﹐今體育老師規定 5 球中至少進 2 球才及格﹐求小明及格的

機率為 (13)

14. 同時投擲 2 枚均勻硬幣 192 次﹐若 2 枚都出現正面的次數為

X

﹐試求變數

_X

的標準差為 (14) (次)

15. 已知某試驗每次成功機率為

¹

6

﹐現在操作

n

次﹐其中隨機變數

X

表成功次數﹐

若

^{P X} ⁽ ^{ } ^{1) 0.9}

﹐求

n

的最小值為 (15)

16. 擲 3 粒公正骰子, 隨機變數

X

表點數和, 則

^{P X} ⁽ ^ ¹²⁾ ^

(16)

--P2--

(答案卷)國立高師大附中 109 學年第一學期高三數學第一段考(自然

(3)

組)

班級：座號：姓名：

一、多選題 (每題全對得 6 分，只錯一選項得 4 分，錯兩選項得 2 分，不作答與其他不給分)

二、填充題

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0 11 1 2 1

3 1 4 1

5 16 得分 8 1

6 2 4 3

2 4 0 4

6 5 2 5

8 6 2 6

6 70 7 4 7

6 7 8 8

0 82

(1) (2) (3) (4)

⁵⁴ 25

¹⁷⁵⁰

81 ³⁵ 144

(5) (6) (7) (8)

⁹⁹² 3125

⁵⁶⁴

⁸⁹⁶ 2500

(9) (10) (11) (12)

64 243

1125 2

²⁷ 37

27

(13) (14) (15) (16)

²³² 243

6 ¹³

³

8

(1) (2) (3)

國立高師大附中 109 學年第一學期高三數學第一次段考(自然組) 注意

[0.48, 0.56]

[0.51, 0.67]

p

f p  

0   p 1

6 p

 1  p 

f p  

3

f p  

5

f p  

1

p  2

f       1 5  f       5 6

p

0   p 1

X

9

p

9

k

P X   k 

8( p

 p

) 45  p

9

800

1600

1600

3

5

n

估計全體選民 支持比例 p 的抽樣誤差不超過正負 2 個百分點﹐則 n 至少須為 (8)

6

3

X

E X  

6

1

4

6000

500

1000

X

X

48

n

16

2.4

0

1

1

3

2

3

1

X

X

1

6

n

X

P X (   1) 0.9

n

X

P X (  12) 

54 25

1750

81

35 144

992 3125

564

896 2500

64 243

1125 2

27 37

27

232 243

^p

^{f p}  

⁰ ^{ } ^p ¹

⁶ ^p

 ¹ ^ ^p 

^{f p}  

^{f p}  

^{f p}  

¹

^f ^{ }     ¹ ₅ ^ ^f ^{ }     ⁵ ₆

^p

^{P X}  ^ ^k 

³

ⁿ

^{估計全體選民} 支持比例 p _{的抽樣誤差不超過正負} _{2 個百分點﹐則} n 至少須為 (8)

⁶

^{E X}  

¹

⁴⁸

ⁿ

¹⁶

⁰

¹

²

_X

¹

^{P X} ⁽ ^{ } ^{1) 0.9}

^{P X} ⁽ ^ ¹²⁾ ^

⁵⁴ 25

¹⁷⁵⁰

³⁵ 144

⁹⁹² 3125

⁵⁶⁴

⁸⁹⁶ 2500

²⁷ 37

²³² 243

¹³

³