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第 4 章 二次曲線
4-1
4 二次曲線
4 - 1 拋物線
重點一 拋物線的定義 例題 1
右圖中，拋物線 Γ 以 F（2，2）為焦點，L：x = −2 為準 線，若 A，B，C，D，E 為方格紙上的格子點，試問拋物 線 Γ 會經過下列哪些點？（6 分）
A A B B C C D D E E 解：
假設 P 為 Γ 上任一點，F 為拋物線之焦點利用拋物線的定義，即 PF = d（P，L）
故選ABD
重點二 拋物線的標準式 例題 2
頂點為（ 1，1），焦點為（1，2）之拋物線方程式為 。（6 分）
解：
頂點為 V（1，1），焦點為 F（1，2），則 VF =│c│= 1 對稱軸為 x = 1如右圖，開口向上 ∴ c = 1
利用拋物線的標準式（x − 1）2 = 4 × 1（y − 1）
故拋物線方程式為（x − 1）2 = 4（y − 1）
例題 3
設拋物線的焦點為 F（3，−1），準線為 L：x = 1，試求對稱軸方程式、頂點坐標、拋 物線方程式。（ 12 分）
解：
1 對稱軸通過焦點 F（3，−1）且垂直準線 x = 1 對稱軸方程式為 y = −12 頂點 V 為 A 與 F 之中點
∴ V
（
1 + 32 ，−1 +（−1）2）
=（2，−1）3 此拋物線開口向右，頂點 V（2，−1），c = 3 − 2 = 1 利用拋物線的標準式（y − k）2 = 4c（x − h）
故拋物線方程式為（y + 1）2 = 4（x − 2）
高中數學（4）‧習作甲
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例題 4
已知拋物線方程式為 x
2= 2x + 4y + 7，試求頂點坐標、焦點坐標、準線方程式、
對稱軸方程式。（ 12 分）
解：
x2 = 2x + 4y + 7⇨（x − 1）2 = 4y + 8 = 4（y + 2）= 4 × 1（y + 2）
此拋物線開口向上，且 c = 1
∴頂點坐標為 V（1，−2）
焦點坐標為 F（1，−2 + 1）=（1，−1）
準線方程式為 L：y = −3 對稱軸方程式為 x = 1
例題 5
已知拋物線方程式為 y
2− 4y + 4x − 4 = 0，試求頂點坐標、焦點坐標、準線方程式、
對稱軸方程式。（ 12 分）
解：
y2 − 4y + 4x − 4 = 0⇨（y − 2）2 = −4（x − 2）
此拋物線開口向左，且 c = −1
∴頂點坐標為 V（2，2）
焦點坐標為 F（2 − 1，2）=（1，2）
準線方程式為 L：x = 3 對稱軸方程式為 y = 2
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第 4 章 二次曲線
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例題 6
一拋物線的對稱軸垂直於 x 軸，並通過（0，1），（1，2），（3，−2）三點，試求拋物 線方程式、焦點坐標、準線方程式。（ 12 分）
解：
1 已知拋物線的對稱軸垂直於 x 軸 可設拋物線方程式為 y = ax2 + bx + c又過（0，1），（1，2），（3，−2），代入方程式得
1 = c 2 = a + b + c
−2 = 9a + 3b + c ⇨ a = −1，b = 2，c = 1
故拋物線方程式為 y = −x2 + 2x + 1 2 ∵ y = −x2 + 2x + 1 ⇨（x − 1）2 = −（y − 2）
⇨（x − 1）2 = 4 ×
（
− 14）
（y − 2）頂點（1，2），開口向下，│c│= 1 4 ∴焦點 F
（
1，2 − 14）
=（
1，74）
3 準線方程式為 y = 94
例題 7
如右圖，汽車前燈的外形是拋物線繞軸旋轉而成的拋物面，它的 縱截面之輪廓是拋物線的一部分，若燈口的直徑為 8 公分，燈深 4 公分，試求焦點與頂點的距離。（10 分）
解：
汽車前燈的縱截面為拋物線，如右圖 令頂點 V（0，0），焦點為 F（c，0）燈口 A 點（4，4）代入拋物線 y2 = 4cx 中 得 16 = 4c × 4 ⇨ c = 1
故焦點與頂點的距離為 1 公分
高中數學（4）‧習作甲
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例題 8
設 y = ax
2+ bx + c 之圖形如右，下列何者正確？（10 分）
A a < 0 B b < 0 C c > 0 D a + b + c > 0 E b
2− 4ac > 0
解：
y = ax2 + bx + c ⇨ y = a（
x + b2a）
2 + 4ac − b4a 2A ×：∵開口朝上 ∴ a > 0 B ×：對稱軸 x = − b2a < 0 ⇨ b > 0 C ○：∵ y 之截距為正 ∴ c > 0 D ○：令 x = 1 ∴ a + b + c > 0 E ○：與 x 軸交於兩點 ∴ b2 − 4ac > 0 故選CDE
例題 9
已知直線 L：x + 2 = 0，圓 C：x
2+ y
2− 6x − 4y + 12 = 0，試求與 L 相切且與圓 C 外切 之切圓圓心軌跡方程式為 。（ 10 分）
解：
C：（x − 3）2 +（y − 2）2 = 1 設所求圓心 P（x，y）PQ = d（P，L）+ 1
√
（x − 3）2 +（y − 2）2 =（x + 2）+ 1⇨（x − 3）2 +（y − 2）2 =（x + 3）2 故軌跡方程式為（y − 2）2 = 12x
例題 10
有一拋物線形隧道口，最底部寬為 4 公尺，頂部高為 4 公尺，
最高點為原點，以公尺為單位，試求隧道口所形成的拋物線方 程式。（ 10 分）
解：
將拋物線的隧道口坐標化，置最高頂點於原點 位置，則拋物線方程式為 x2 = 4cy，其中 c < 0∵通過（2，−4）
∴ 22 = 4c ×（−4），得 4c = −1 即拋物線方程式為 x2 = −y
