龍騰數亦優第19期

編輯室墨記

將直線的傾斜角分成 0

2 θ π

< < 、θ= 、0 2 θ= 、π

π θ π2 < < 四類，結合三角函數的概念來討 論直角坐標平面上點到直線的距離公式，一起來看看李維昌老師精闢的分析喔！

99 課程數學課本第二冊第 4 章數據分析單元介紹使用「最小平方法」求二維數據的迴歸直 線方程式，並進而使用迴歸直線來做預測。但是若有兩組數據，且已經分別求出各自的迴歸直 線，那麼我們如何知道哪一組的迴歸直線較適合用來做預測呢？蕭善夫老師即將帶領我們探討 二維數據的迴歸直線用來做預測時，所產生的誤差。

關於行列式的幾何意義，您知道多少它的秘密呢？江慶昱老師利用「行列式二三事」來告

訴您！

科普好書何其多，本期特闢一個新專欄，請洪萬生教授推薦好書，絕對讓您受益無窮。

延續上一期「膾炙人口的 Morley 角三等分線定理(一)三內角的情形」，此次繼續由趙文敏教 授介紹下一個主題－「膾炙人口的 Morley 角三等分線定理(二)三外角的情形」，千萬別錯過囉！

※ 竭誠邀稿：

歡迎將您的教學生活趣聞、甘苦談，教案分享、教材探討，以1000~2000字的內容，註明主 題、作者簡歷、聯絡電話與地址，投稿予 [email protected]。

發 行 人：李枝昌 編輯顧問：許志農 總 編 輯：陳韻嵐 副總編輯：陳美吟 執行編輯：張幸蓮 美術編輯：范文禎

發 行 所：龍騰文化事業股份有限公司 地 址：248新北市五股區五權七路1號 電 話：(02)2299-9063

傳 真：(02)2298-9755 創 刊 日：2006/11/30 出 刊 日：2012/11/15

網 址：http://www.lungteng.com.tw

龍騰數亦優 2012.11 目次 龍騰業務跑天下 數學質好畫亦優

李維昌 ^{國立宜蘭高中}

》 》直角坐標平面上點到直線的距離公式

蕭善夫 ^{嘉義市興華高中}

》 》迴歸直線預測準確度之探討

江慶昱 ^{衛道中學退休教師}

》 》行列式二三事

洪萬生 臺灣師大數學系退休教授

》 》科普好書推薦專欄

趙文敏 ^{臺灣師大數學系}

》 》膾炙人口的 Morley 角三等分線定理 (二)三外角的情形

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》 》動手玩數學專欄

》 》動手玩數學《第 18 期》破解秘笈 3

6

16

20

44

33

數亦優 3

一、研究目的 》

以直線的傾斜角與三角函數，來求直角坐標平面上點到直線的距離公式。

二、研究內容 》

已知A x y

(

0, 0

)

， :L ax+by+ = ， A Lc 0 ∉ ，直線 L 的傾斜角為θ，將傾斜角θ分成四類來討 論， 0 2

θ π

< < 、θ= 、0 2 θ=π 、

π θ π2 < < 。

1. 0 < <

2 θ π ：

a≠ ，0 by⁰ c, ₀

B y L

a

⎛− + ⎞∈

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ，點 A 投影到 L 的投影點為 C，

ACB π2

∠ = ，AB

I

//x 軸，

ABC θ

∠ = ，如下圖所示：

(1) ₀ by⁰ c ax⁰ by⁰ c AB x

a a

+ +

− −

= − =

。

(2) 直線L 的傾斜角為θ

，

2 2

0 tan sin 0

2

a a

b a b

θ π θ θ

< < ⇒ = − ⇒ = >

+ 。

李維昌／國立宜蘭高中

(3) 點 A 到直線 L 的距離

0 0 0 0

2 2 2 2

sin sin d AC AB ABC AB

ax by c a ax by c

a a b a b

θ

= = ⋅ ∠ = ⋅

+ + + +

= ⋅ =

+ + 。

2. = 0 θ ：

0, : 0

a= L by+ = ，點 A 投影到 L 的投影點為c ₀, c C x b

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠，點 A 到 L 的距離

0 0 0 0 0

0 2 2 2 2

0 0

by c x by c ax by c d AC y c

b b b a b

+ ⋅ + + + +

⎛ ⎞

= = − −⎜⎝ ⎟⎠ = = + = +

。

3. = 2 θ π ：

0 :

,

0 + =

=

L ax c

b

，

點 A 投影到 L 的投影點為 c, ₀

C y

a

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

，

點 A 到 L 的距離

0 0 0 0 0

0 2 2 2 2

0 0

ax c ax y c ax by c d AC x c

a a a a b

+ + ⋅ + + +

⎛ ⎞

= = − −⎜ ⎟ = = =

⎝ ⎠ + +

。

4. < <

2

π θ π

：

0

0, by c, 0

a B y L

a

⎛ + ⎞

≠ ⎜⎝− ⎟⎠∈

，

C 為 A 投影到 L 的投影點

，

ACB π2

∠ =

，

AB

I

//x 軸，

ABC π θ

∠ = − ，如下圖所示：

數亦優 5 (1) ₀ by⁰ c ax⁰ by⁰ c

AB x

a a

+ +

− −

= − =

。

(2) 直線L 的傾斜角

2 2

tan sin( ) 0

2

a a

b a b

π θ π< < ⇒ θ= − ⇒ π θ− = >

+

。

(3) 點A 到直線 L 的距離

( )

0 0 0 0

2 2 2 2

sin sin d AC AB ABC AB

ax by c a ax by c

a a b a b

π θ

= = ⋅ ∠ = ⋅ −

+ + + +

= ⋅ =

+ + 。

三、結論 》

由 1、2、3、4 的討論，可得點A x y

(

0, 0

)

到直線 :L ax+by+ = 的距離c 0 ^{0 0}

2 2

ax by c d

a b + +

= +

。

一、前言 》

99 課程數學課本第二冊第 4 章數據分析單元介紹使用「最小平方法」求二維數據的迴歸直 線方程式，並進而使用迴歸直線來做預測。但是若有兩組數據，且已經分別求出各自的迴歸直 線，那麼我們如何知道哪一組的迴歸直線較適合用來做預測呢？也就是說，迴歸直線雖然名稱 為「最佳直線」，但用來做預估時，應有它準確性的限制，而所產生的誤差究竟有多大呢？本文 即是探討二維數據的迴歸直線用來做預測時，所產生的誤差。

二、迴歸直線方程式推導 》

各個高中數學課本版本對於推導迴歸直線方程式有所不同。翰林版與康熹版採用原始數據 直接配方後而得［註 1］［註 2］，而龍騰版、南一版、全華版、三民版則是先將原始數據標準化 後再配方［註 3］［註 4］［註 5］［註 6］。本文使用原始數據去推導迴歸直線，但是推導的過程 與前述課本的方法有所不同，分別採用「改良式配方法」與「解二元一次方程組」兩種方法。

方法一：改良式配方法

有別於課本中的傳統配方法，在此將

(

yi− −a bxi

)

拆開成三項：y_i− 與y ^y−

(

^a+bx

)

^與

(

ⁱ

)

b x −x ，再平方展開，推導過程如下：

( ) ( )

²

1

,

n

i i

i

E a b y a bx

=

=

∑

− −

( ( ) )

²

1 n

i i

i

y y y a bx

=

=

∑

− + − −

( ( ) ( ) ( ) )

²

1 n

i i

i

y y y a bx b x x

=

⎡ ⎤

=

∑

− +⎣ − + ⎦− −

( )

²

( )

^{2 2}

( )

²

( ) ( )

1 1 1 1

2

n n n n

i i i

i i i i

y y y a bx b x x y y y a bx

= = = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=

∑

− +

∑

⎣ − + ⎦ +

∑

− +

∑

− ⎣ − + ⎦

( ) ( ) ( )( )

1 1

2 2

n n

i i i

i i

b x x y a bx b y y x x

= =

⎡ ⎤

−

∑

− ⎣ − + ⎦−

∑

− −

蕭善夫／嘉義市興華高中

數亦優 7 因為

( )

1 1 1

0

n n n

i i

i i i

x x x x nx nx

= = =

− = − = − =

∑ ∑ ∑

^，

同理

( )

1 1 1

0

n n n

i i

i i i

y y y y n y n y

= = =

− = − = − =

∑ ∑ ∑

故原式可繼續推導得到

( )

²

( )

^{2 2}

( )

²

( )( )

1 1 1

2

n n n

i i i i

i i i

y y n y a bx b x x b x x y y

= = =

⎡ ⎤

=

∑

− + ⎣ − + ⎦ +

∑

− −

∑

− − = + + ， A B C

我們發現上式為 A、B、C 三項的組合，其中

( )

²

1 n

i i

A y y

=

=

∑

−

^{B=n y⎡}_⎣ ⁻

(

^a+bx

)

^⎤_⎦ ²

²

( )

²

( )( )

1 1

2

n n

i i i

i i

C b x x b x x y y

= =

=

∑

− −

∑

− − 觀察 A，B，C 三項可知：

( )

²

1 n

i i

A y y

=

=

∑

− ^{與 a，b 無關，}

( )

²

B=n y⎡⎣ − a+bx ⎤⎦ 欲產生最小值，

必須^y−

(

^a+bx

)

= ，亦即 y a bx⁰ = + ， 而 ²

( )

²

( )( )

1 1

2

n n

i i i

i i

C b x x b x x y y

= =

=

∑

− −

∑

− −

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

2 2

2 2 1 1 1

2 2 2 2

1

1 1 1

2

n n

n

i i i i

i i

n

i i

i

i n n n

i

i i i

i i i

x x y y x x y y

x x y y

x x b b

x x x x x x

= =

=

=

= = =

⎛ ⎛ − − ⎞ ⎞ ⎛ − − ⎞

⎜ − − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

= − ⎜⎜⎜⎝ − ⋅ − + ⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠ ⎟⎟⎟⎠− −

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

2 2

2 1 1

2 2

1

1 1

n n

i i

i i

n

i i

i n n

i

i i

i i

x x y y x x y y

x x b

x x x x

= =

=

= =

⎛ ⎞

⎛ − − ⎞ ⎜ − − ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

= − − −

⎜ − ⎟ −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑ ∑

^，

由上式可知，欲使 C 產生最小值，必須

( )( )

( )

1

2

1

0

n

i i

i n

i i

x x y y b

x x

=

=

− −

− =

−

∑

∑ ^，亦即

( )( )

( )

1

2

1 n

i i

i n

i i

x x y y b

x x

=

=

− −

=

−

∑

∑ ^，

若以上式解出的 b 代入 y= +a bx，即可得到 a= −y bx

。 方法二：解二元一次方程組

在這個方法中，將誤差平方展開後，依 a，b 分類，令一為常數，另一為變數，並配方後求 方程組的解。

( ) ( )

²

( )

²

1 1

,

n n

i i i i

i i

E a b a bx y a bx y

= =

=

∑

⎡ +⎣ − ⎤ =⎦

∑

⎡ +⎣ − ⎤⎦

²

( ) ( )

²

1 1

2

n n

i i i i

i i

na a bx y bx y

= =

= +

∑

− +

∑

−

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 2 1

2 1

2

1

2

n n

n

i i i i

i i n

i i

i

i i

i

bx y bx y

bx y

n a a bx y

n n n

= =

=

=

⎛ ⎛ − ⎞ ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

= ⎜ + ⋅ + ⎟+ − −

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑

( )

( ) ( )

²

2

2 1

1

1 n n

i i

i i n

i i

i i

i

bx y bx y

n a bx y

n n

= =

=

⎛ ⎞

⎛ − ⎞ ⎜ − ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

= + + − −

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ^，

令 b 為常數，則欲使E a b 產生最小值，必須

( )

^,

( )

1 0

n

i i

i

bx y

a n

=

−

+

∑

=

，亦即

1 1

n n

i i

i i

na b x y

= =

+

∑

=

∑

同樣方法，若

( ) ( )

²

1

,

n

i i

i

E a b a bx y

=

=

∑

⎡ +⎣ − ⎤⎦

^{( )}

²

1 n

i i

i

bx a y

=

=

∑

⎡⎣ + − ⎤⎦

^{2 2}

( ) ( )

²

1 1 1

2

n n n

i i i i

i i i

b x b x a y a y

= = =

=

∑

+

∑

− +

∑

−

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 1 1 2 1

2 2 2

1 2 1

1 1 1

2

n n

n

i i i i

i i

n n

i i

i

i n n i n

i i

i i i

i i i

x a y x a y

x a y

x b b a y

x x x

= =

=

= =

= = =

⎛ ⎛ − ⎞ ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜⎝ + ⋅ + ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎟⎟⎟⎠+ − −

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

數亦優 9

( )

( ) ( )

²

2

2 1 2 1

2 2

1 1

1 1

n n

i i

i i

n n

i i

i n i n

i i

i i

i i

x a y x a y

x b a y

x x

= =

= =

= =

⎛ ⎞

⎛ − ⎞ ⎜ − ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

= + + − −

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

令 a 為常數，則E a b 欲產生最小值，必須

( )

,

( )

1 2 1

0

n

i i

i n

i i

x a y b

x

=

=

−

+

∑

=

∑ ^，亦即

2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a x b x x y

= = =

+ =

∑ ∑ ∑

由以上結果，可得到以 a，b 為變數的二元一次方程組

^{1 1}

2

1 1 1

n n

i i

i i

n n n

i i i i

i i i

na x b y

x a x b x y

= =

= = =

⎧ +⎛ ⎞ =

⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎪⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =

⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎩

∑ ∑

∑ ∑ ∑

由克拉瑪公式，得到方程組的解為

1 1

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2

1 1 1

2

1 1

n n

i i

i i

n n n n n n

i i i i i i i i

i i i i i i

n n n

i i i

i i i

n n

i i

i i

y x

x y x x y x x y

a

n x n x x

x x

= =

= = = = = =

= = =

= =

⋅ − ⋅

= =

⎛ ⎞

⋅ − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

( )( )

( )

1

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

2

1 1

1 1 1

2

1 1

n i i

n n n n n n n

i i i i i i i i i i i

i i i i i i i

n n

n n n

i i

i i i

i i

i i i

n n

i i

i i

n y

x x y n x y x y x y nx y x x y y

b

x nx x x

n x n x x

x x

=

= = = = = = =

= =

= = =

= =

⋅ − ⋅ − − −

= = = =

⎛ ⎞ − −

⋅ − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

以上兩種推導的方法，其結果相同，得到迴歸直線方程式為 y= +a bx，其中直線斜率

( )( )

( )

1

2

1 n

i i

i n

i i

x x y y b

x x

=

=

− −

=

−

∑

∑

^{，而 y 截距 a= −y bx。}

三、迴歸直線之誤差計算 》

若是給定一組數據，我們已經可求出迴歸直線，而且知道這條直線是最能擬合原始數據的

「最適合直線」，但問題是：擬合的程度是如何？若是用迴歸直線來預測未知的數值時，其預測 的誤差有多大？準確性有多高？為了解答上述的疑惑，以下我們針對預測所產生的誤差來討論。

因為迴歸直線方程式為 y= +a bx，令x 的預測值為 l_i y_i = +a bx_i，則可推導得

( )

²

(

^l

)

²

(

^l

)

²

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

y y y y y y

= = =

− = − + −

∑ ∑ ∑

^{（推導過程見附錄）。}

我們發現，

( )

²

1 n

i i

y y

=

∑

− 可看成是一不變量，它不受迴歸直線方程式係數所影響，且此不變 量由兩部分

(

l

)

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^與

(

^l

)

²

1 n

i i

i

y y

=

∑

− ^{所組成，而後者}

(

^l

)

²

1 n

i i

i

y y

=

∑

− 則是最小平方法所計算之誤差 平方和，可視為以迴歸直線所預測產生錯誤的部分，相對而言，前者

(

l

)

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^{則可視為以迴} 歸直線準確預測的部分，此兩部分組成總不變量

( )

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^。

在實際估算時，若是要求預測能夠準確，則錯誤預測的部分

(

l

)

²

1 n

i i

i

y y

=

∑

− ^{要愈小愈好，正確} 預測的部分

(

l

)

²

1 n

i i

y y

=

∑

− 要愈大愈好，但這些數值受到數據個數 n 的影響，也就是數據個數愈多，

則誤差平方和當然愈大，但不代表預測不準確，故我們轉而計算預測正確部分

(

l

)

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^在總 不變量

( )

²

1 n

i i

y y

=

∑

− 中占了多少百分比，因為

(

^l

)

²

^{( )} ( )

²

1 1

n n

i i

i i

y y a bx a bx

= =

⎡ ⎤

− = ⎣ + − + ⎦

∑ ∑

( ) ( )( )

( ) ( )

2

2 2

2 1

1 2 1

1 n

i i

n n

i

i n i

i i

i i

x x y y

b x x x x

x x

=

= =

=

⎛ − − ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⋅ − = −

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑

( )( )

( )

2

1

2

1 n

i i

i n

i i

x x y y x x

=

=

⎛ − − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

−

∑

∑

^，

數亦優 11 所以

(

l

)

( ) (

^l

)

( )

2 1 2

2 2

1

1 1

1

n

i n

i

n i n

i

i i

i i

y y

y y

y y y y

=

=

= =

−

= − ⋅

− −

∑ ∑

∑ ∑

( )( )

( ) ( )

2

1

2 2

1 1

1

n

i i

i

n n

i i

i i

x x y y

x x y y

=

= =

⎛ − − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ⋅

− −

∑

∑ ∑

( )( )

( ) ( )

2

1

2 2

1 1

n

i i

i

n n

i i

i i

x x y y

x x y y

=

= =

⎛ ⎞

⎜ − − ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ − − ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑ ∑

，

因為我們知道 x，y 的相關係數

( )( )

( ) ( )

1

2 2

1 1

n

i i

i

n n

i i

i i

x x y y r

x x y y

=

= =

− −

=

− −

∑

∑ ∑

，故由上面的推導，我們發現

(

l

)

( )

2

1

2

1 n

i i

n i i

y y y y

=

=

−

−

∑

∑

剛好等於相關係數的平方，此數值稱為決定係數(coefficient of determination)［註 7］， 它表示用迴歸直線來做預測時的準確度，當決定係數愈大時，表示迴歸直線所做的預測愈準確。

四、實例分析 》

以下這個實例係採自龍騰課本第二冊第 200 頁的例題［註 3］，我們將它延伸至求預測的準 確度。

實例：若有甲乙丙丁戊 5 個考生，其筆試與口試的成績如下表：

考生 甲 乙 丙 丁 戊

筆試成績 x 5 5 4 7 9

口試成績 y 3 1 4 3 9

若有一考生僅考筆試，且筆試成績為 8，請以迴歸直線預測其口試成績是多少？並說明預測結 果的準確度。

解：將計算所用到的數據列表如下：

xi 5 5 4 7 9 6x=

yi 3 1 4 3 9 4y=

xi−x −1 −1 −2 1 3

yi−y −1 −3 0 −1 5

(

^xi−x

)

² 1 1 4 1 9

(

^yi−y

)

² 1 9 0 1 25

(

^xi−x

)(

^yi−y

)

^{1 3 0 −1 15}

l

i i

y = +a bx 2.875 2.875 1.75 5.125 7.375 l

i i

y −y −0.125 1.875 −2.25 2.125 −1.625

(

l^yi−yi

)

² 0.015625 3.515625 5.0625 4.515625 2.640625 l

yi−y −1.125 −1.125 −2.25 1.125 3.375

(

l^yi−y

)

² 1.265625 1.265625 5.0625 1.265625 11.390625 計算結果：

(1)

( )( )

( )

1

2

1

9 8

n

i i

i n

i i

x x y y b

x x

=

=

− −

= =

−

∑

∑

(2) 11 a= −y bx= − 4

(3)迴歸直線方程式 9 11 8 4 y= x−

(4)總離均差平方和

( )

²

1

36

n i i

y y

=

− =

∑

(5)預測正確的平方和

(

l

)

²

1

20.25

n i i

y y

=

− =

∑

(6)預測錯誤的平方和

(

l

)

²

1

15.75

n

i i

i

y y

=

− =

∑

如同上面所推導的結果，我們發現總不變量

( )

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^等於

(

^l

)

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^與

(

^l

)

²

1 n

i i

i

y y

=

∑

− ^的 和。

數亦優 13 (7)決定係數

( )( )

( ) ( )

2

2

2 1

2 2

1 1

18 0.5625 16 36

n

i i

i

n n

i i

i i

x x y y r

x x y y

=

= =

⎛ ⎞

⎜ − − ⎟

⎛ ⎞

⎜ ⎟

=⎜⎜⎜⎝ − − ⎟⎟⎟⎠ =⎜⎝ ⎟⎠ =

∑

∑ ∑

故由以上的計算，可知筆試成績與口試成績的相關係數的值為 0.75，雖為中高度正相關，

但是決定係數的值為 0.5625，亦即使用迴歸直線來預測的準確度僅為 56.25%，不到六成，

準確度並不高。

五、結論 》

一、一般高中數學課本在推導迴歸直線方程式時，是採用配方法，本文是採用二種不同的 方法來推導，一是改良式的配方法，另一是解方程組，這兩種方法均是採用未標準化的數據，

而且所用到的觀念並未超出高中數學課程的範圍。

二、迴歸直線雖名為「最佳直線」，但在做預測時，其準確度受到相關係數大小的影響，且 預測的準確度也就是決定係數等於相關係數的平方，所以在利用迴歸直線做預估時，若決定係 數不大，所求出的迴歸直線並不適合用來做預測，這點在使用迴歸直線求預估值時常被忽略，

本文提出這個論點供作大家參考。

六、引註資料 》

1.余文卿主編(2010)。高級中學數學第二冊。臺南市：翰林出版。

2.李虎雄等(2010)。高級中學數學第二冊。新北市：康熹文化。

3.許志農主編(2010)。高級中學數學第二冊。新北市：龍騰文化。

4.林福來等(2010)。高級中學數學第二冊。臺南市：南一書局。

5.楊壬孝主編(2010)。高級中學數學第二冊。新北市：全華圖書。

6.鄭惟厚、單維彰主編(2010)。高級中學數學第二冊。臺北市：三民書局。

7.林清山(1998)。心理與教育統計學。臺北市：東華書局。

七、附錄 》

我們要證明

( )

²

(

^l

)

²

(

^l

)

²

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

y y y y y y

= = =

− = − + −

∑ ∑ ∑

^{，設迴歸直線為y}

^{= +}

^{a bx，直線上的點}

是

( )

^{x y ，其中 li,}l^{i yi= +a bxi}。在證明之前，必須注意到 y= +a bx= 。第二個等號成立是因為y 迴歸直線必過點

( )

^{x y 。 ,}

證明如下：

由

( )

²

( ^{l l} )

²

1 1

n n

i i i i

i i

y y y y y y

= =

− = − + −

∑ ∑

( l )

²

( ^l )

²

( ^l ) ( ^l )

1 1 1

2

n n n

i i i i i i

i i i

y y y y y y y y

= = =

= ∑ − + ∑ − + ∑ − −

我們的目標是證出

( l ) ( ^l )

1

0

n

i i i

i

y y y y

=

− − =

∑

此式展開後化簡可得

( l ) ( ^l ) ( ^{l l l l} )

1 1

n n

i i i i i i i i i

i i

y y y y y y y y y y y y

= =

− − = − − +

∑ ∑

^{= ∑}

_iⁿ₌₁ ^{y yi}

l

ⁱ

⁻

^{n y2}

^{− ∑}

_iⁿ₌₁

l l

^{y yi i}

⁺

^{n y2}

^{= ∑}

_iⁿ₌₁

(

^{y yi}

l l

ⁱ

⁻

^yi2

)

因此只需證明

^∑

_iⁿ₌₁

(

^{y yi}

l l

ⁱ

⁻

^yi2

) ^{= 0}

^即可

∑

_i=ⁿ₁

(

^{y yi}

l l

ⁱ

⁻

^yi2

) ⁼ ∑

_i=ⁿ₁

^⎡ ⎣

^{y bxi}

⁽

ⁱ

⁺

^a

^{) ( −}

^bxi

⁺

^a

⁾

²

^⎤ ⎦ (

^{2 2 2}

)

1

2

n

i i i i i

i

bx y ay b x abx a

=

= ∑ + − − −

^{2 2 2}

1 1

2

n n

i i i

i i

bx y na y b x nabx na

= =

= ∑ + − ∑ − −

( )

^{2 2 2}

1 1

2

n n

i i i

i i

bx y na bx a b x nabx na

= =

= ∑ + + − ∑ − −

^{2 2 2 2}

1 1

2

n n

i i i

i i

bx y nabx na b x nabx na

= =

= ∑ + + − ∑ − −

^{2 2}

1 1

n n

i i i

i i

b x y b x nabx

= =

= ∑ − ∑ −

²

1 1

n n

i i i

i i

b x y b x nax

= =

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ ∑ − ∑ − ⎟ ⎠

數亦優 15 此時，利用迴歸直線的斜率

( )( )

( )

1 1

2 2 2

1 1

n n

i i i i

i i

n n

i i

i i

x x y y x y nx y

b

x x x nx

= =

= =

− − −

= =

− −

∑ ∑

∑ ∑

右邊分母乘到左邊，得

^{2 2}

1 1

n n

i i i

i i

b x nbx x y nx y

= =

− = −

∑ ∑

移項成

^{2 2}

1 1

n n

i i i

i i

x y b x nx y nbx

= =

− = −

∑ ∑

所以原式

^b

^{⎛ ⎜} _⎝ ^∑

_i=ⁿ₁ ^{x yi i}

⁻

^b

^∑

_iⁿ₌₁ ^xi2

⁻

^{na x}

^{⎞ ⎟} _⎠ ⁼

^{b nx y}

( ⁻

^nbx2

⁻

^{na x}

) ⁼

^{bnx y bx}

^{( − −}

^a

⁾

又y

=

bx

+

a，故^{bnx y bx a}

( ^{− −} ) ^{= 0}

^{，即得所證。}

一、行列式的幾何意義 》

K

u =

(

a b1, 1

)

， K

v =

(

a b2, 2

)

是兩平面向量，則 u

K

﹐ K

v

所張的平

行四邊形面積

^{1 1}

2 2

^ | a b | u v

a b

K K

=

﹐取 K

u

到 K

v

為逆時針方向，則

1 1

2 2

a b a b

為 K

u

﹐ K

v

所張的有向面積。這件事在所有的課本都會有 證明，所以我們就略過。

二、Cramer 公式的幾何意義 》

解 ax by c dx ey f + =

⎧⎨ + =

⎩ ，設 a b

d e

Δ = ， _x c b f e

Δ = ， _y a c d f Δ = 。

假設Δ ≠ ，則克拉瑪（Cramer）公式說：0 x Δ^x

= Δ ，y Δ^y

= Δ 。

聯立方程組的解為什麼是面積比？幾乎所有的課本都是用加減消去法 解出 x，y，沒有呈現幾何（面積）意義。其實，驗證其幾何意義不難。

把 ax by c dx ey f + =

⎧⎨ + =

⎩ 改寫成 x u

K K K

+y v = w

，其中^OA

K K

^{= u =}

( )

^{a d,}

，

( )

^,

OB

K K

= v = b e

，^OF

K K

^{= w =}

(

^{c f,}

)

則

( ) ( )

det , det , w v x

OC OCEB OFGB

x OA OADB OADB u v

= = = = =Δ

Δ

. .

. . ，

同理可知y Δ^y

= Δ 。

以上所述之^det

( )

^{u v 表示向量 u,}

K

﹐ v

K

所張的有向面積，所以 x，y 當然有可能是負數。三階行 列式表示有向體積，想必三元一次聯立方程組的 Cramer 公式也可以這樣做。

江慶昱／衛道中學退休教師

數亦優 17

三、測量師公式 》

A x y ，

(

1, 1

)

B x y

(

2, 2

)

，C x y

(

3, 3

)

，D x y

(

4, 4

)

是平面上四個點，則 四邊形 ABCD 的面積

=

(

1 2 2 3 3 4 4 1 1 4 4 3 3 2 2 1

)

1

2 x y x y x y x y x y x y x y x y

= + + + − − − −

稱為測量師公式，聰明的學生就問了：是行列式嗎？

第一次我說：不是。後來想一想就說是：「加長型」行列式。何以故？

我們來看看證明。

(1) 如右圖，

ΔOAB= ΔOB' B+AA' B' B− ΔOA' A 2 2

(

1 2

)(

1 2

)

1 1

1 1 1

2x y 2 y y x x 2x y

= + + − −

(

1 2 2 1

)

1

2 x y x y

= −

(2) 如右圖，

ΔABC= ΔOAB+ ΔOBC− ΔOAC（由(1)）

(

1 2 2 1

) (

2 3 3 2

) (

1 3 3 1

)

1 1 1

2 x y x y 2 x y x y 2 x y x y

= − + − − −

^{1 2 3 1}

1 2 3 1

1 2

x x x x y y y y

=

(3) 如右圖，

ABCD= ΔABC+ ΔCDA（由(2)）

1 2 3 1 3 4 1 3

1 2 3 1 3 4 1 3

1 1

2 2

x x x x x x x x

y y y y y y y y

= +

1 2 3 4 1

1 2 3 4 1

1 2

x x x x x y y y y y

=

A B C D A