三對角線矩陣之幾何觀

(1)

三對角線矩陣之幾何觀

呂宗澤 · ^鄭穗生

一. 簡介

三對角線矩陣是一種特別的方陣, 型如

T (g) =







g ₁ h ₁ 0 · · · 0

f ₁ g ₂ h ₂ 0 ·

0 · · · .. .

. .. ... ... 0

f _n−2 g _n−1 h _n−1

0 · · · 0 f _n−1 g n





 ,

(1)

非零分量只分佈在主對角線及其上下次對角線上, 其他分量均為 0。

因為這種稀疏的特性, 三對角線矩陣比一般矩陣有更好的性質, 有更多的理論被發現, 研究起來當然也比較容易。事實上它在矩陣理論或矩陣計算上都扮演了一個重要的角色。

十多年前, 我們一個在清華大學的研究小組, 經過多年的努力, 自行開發一套幾何的觀點來研究三對角線矩陣的可逆性, 陸續得到一些有趣而且具應用價值的結果 [1 − 5]。本文的目的是希望由淺顯的方式來介紹這套幾何, 指出一些我們最新的研究方向。要瞭解本文, 大概

需要修過一學期的線性代數, 但其中一些概念高中學過的矩陣已足夠了。

底下我們討論的三對角線矩陣, 其分量均為實數。首先觀察一個特別的三對角線矩陣

M =







a 1 1 b 0

1 c 1 1 d







,

其次對角線上有一零分量。 M 是否有反矩陣, 只要檢查 M 的行列式是否非零, 但

det(M) =

a 1 1 b 0

1 c 1 1 d

=

a 1 1 b

·

c 1 1 d

,

.

... ... ... ... ... ... ... ... ... . .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. . .. .. .. . .. . . .. . .. .. .. .. . .. . . .. .. . .. .. .. . .. . . .. . .. .. .. .. . .. .

因此 M 可逆 (即有反矩陣) 的充要條件是其子矩陣

"

a 1 1 b

#

與

"

c 1 1 d

#

(2) 的行列式皆不等於零, 亦即此二矩陣都可逆, 所以三對角線矩陣若有

1

(2)

註

_:

組員鄭穗生、趙昭子、呂宗澤、李宏展、吳淑惠、謝良瑜、盧瑞棻、羅家耀、林素心。

次對角線上分量為零, 其是否可逆能由其數個子矩陣的可逆性得知。

要求 M 的固有值, 即解特徵方程式 det(M − λI)

=

a − λ 1

1 b − λ 0

1 c − λ 1

1 d − λ

=

a − λ 1 1 b − λ

·

c − λ 1 1 d − λ

的根, 因此 M 的固有值即其二子矩陣 (2) 的固有值聯集。所以, 次對角線上有分量為零時, 探討其可逆性及固有值的問題, 可化成一

些維數較小的子矩陣的對應問題。換句話說,

我們只要研究次對角線分量均非零的三對角線矩陣, 一般的情形都可簡化成這種型式來討論。

在解線性方程組時, 我們都知道其中一

個方程式的每個係數都乘上同一非零常數時,

其解不會改變, 或者某個變數在所有方程式

的係數, 都乘上同一非零常數時, 其解除了在此變數上有增減外, 其他的均不變。這種“伸縮”的技巧也可應用在三對角線矩陣上, 例如 f

1

f

2

h

1

h

2

6= 0 時

T =







g

1

h

1

0 f

1

g

2

h

2

0 f

₂

g

₃







.

的行列式可改寫如下:

det(T ) =

g

1

h

1

0 f

1

g

2

h

2

0 f

2

g

3

= f

1

g

1

h

1

0 1

^g _f

²₁

^h _f

²₁ 0 f

2

g

3

= f

1

h

1

g

1

1 0

1

_f ^g

²

1

h

1

h

2

f

1

0

_h ^f

²₁ g

3

= f

1

h

1

· f

₂

h

1

g

1

1 0

1

_f ^g

₁²

_h

₁

^h _f

₁² 0 1

^h _f

₂¹g

3

= f

2

h

2

·

g

1

1 0

1

_f ^g

₁

_h

²₁ 1 0 1

^h _f

₂¹

_h ^f

¹₂g

3

,

因此 T 的可逆性可轉化成矩陣







g

1

1 0

1

_f ^g

₁²

_h

₁ 1 0 1

^f _f

¹₂

^h _h

¹₂g

3 





的可逆性, 新矩陣的次對角線分量均為 1, 當然比 T 容易研究。同理只要瞭解 n × n 矩陣

A(g) =







g

1

1 1 g

2

1

. .. ... ...

1 g

n−1

1 1 g

n







的可逆性, 就可解決 T (g) 是否可逆的問題 [3, §5]。底下我們就針對 A(g) 這矩陣來研究。

二. 奇異曲面

(3)

我們這套幾何乃將矩陣 A(g) 看成其主對角線向量 g = (g

₁

, g

2

. . . g

n

) 的函數, 討論在不同 g ∈ R

ⁿ

時 A(g) 的可逆性。為方便討論, 我們有以下的定義: 若 A(g) 可逆, 我們說向量 g 是正則的, 否則稱 g 為奇異的;

在 R

ⁿ

中, 若一個集合內的每個向量都是正

則 (奇異) 的, 則稱此集合為正則 (奇異) 集。

先看 2 × 2 矩陣 E =

"

x 1 1 y

#

的例子, 將有助我們理解 A(g) 可逆的幾何意義。 E 的行列式很容易算出, 即 xy − 1, 因此 E 不可逆的充要條件是對角線 (x, y) 在雙曲線 xy = 1 上 (見圖 1)。用我們上面的定義來說, xy = 1 為 R

²

平面上所有奇異點所成的集合, 可以稱它為奇異曲線; 雙曲線外的點都是正則的, 這些點所構成的集合稱為正則區域。注意到雙曲線有兩支, 每支都是無界的閉集。

...

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . . . .. . .. .. .. . .... . .. . .. .. .. . ..

.. ...

. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . . .. .. . .. .. . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. .. . .. .. . .. . .. .. . . .. . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D

² ₀

D

₁ ²

D

² ₁

D

₂ ²

S

₀ ²

S

₁ ²

xy = 1

圖 1

不難將這個概念推廣到 n 維矩陣 A(g):

S

ⁿ

= {g ∈ R

ⁿ

| det(A(g)) = 0}

為 n 維空間的奇異集, 其他地方構成正則區域。有趣的是這個奇異集

可分成 n 個互不相交的部份, 每部份都是無界的連通閉集, 而且具有“曲面”的性質 [4]。這 n 部份奇異曲面, 兩兩間到底有什麼不同呢? 要解釋此差異, 我們需要伴隨向量與振動次數的概念。

首先我們定義 A(g) 第 k 個主子矩陣的行列式為

A

k

=

g

1

1 1 g

2

·

· . .. ...

. .. · 1 1 g

k

, k = 1, 2, . . . , n,

則根據行列式展開, 可得遞推式

A

k−1

= g

k+1

g

1

1 1 g

2

·

· . .. ...

. .. · 1 1 g

_k

−

g

1

1 0

1 g

2

. .. ... . .. 1 . .. g

k−1

0

1 1

= g

k+1

A

k

− A

k−1

。 (3)

設定 A

₋₁

= 0 及 A

0

= 1, 我們就可利用三項遞迴式 (3) 遂次算出 A

1

, A

2

, . . . , A

n

, 最終的 A

n

即為 A(g) 的行列式。對每個 g ∈ R

ⁿ

, 都可定義出數列 {A

_k

}

ⁿ _k=−1

, 因此我們稱

C(g) = (A

₋₁

, A

₀

, . . . , A

_n

)

(4)

為 g 的伴隨向量。

將伴隨向量的下標與對應分量 {(k, A

_k

)| k = −1, 0, . . . , n} 在平面上畫出來, 就得到 n + 2 個點。連續兩點用直線段連起來, 就得到一個折線 (如圖 2), 這個折線的零根就稱為 c(g) 的節點。注意到連續兩個 A

k

及 A

k+1

不能同時為 0, 否則根據 (3) c(g) 只能為零向量, 這與 A

0

= 1 相矛盾。

因此 c(g) 節點數目必為有限, 設 I 為 [−1, n] 的一個子區間, 我們就可定義 c(g) 在 I 的振動次數 V (c(g); I) 為 c(g) 在 I 的節點數目。

... ...

. ...

.. ... . .

.. .. .. . . . . . . . .. .. .. . ...

.. .. .. . . .. . . . .. .. .. . ...

.. .. .. . . . . . . . .. .. .. . ...

. .. .. . .. . . . .. . .. .. . ...

. .. . .. .. . .. .

−1 0 1 2 3 · · · n−1 n

· · ·

圖 2

當 g 是奇異時, A

n

= det A(g) = 0, 故其伴隨向量 c(g) 產生的折線, 頭尾兩端 ( k = −1 及 n) 都是節點。奇異曲面之所以分成 n 片, 乃因每片上點的伴隨向量振動次數相異之故, 因此我們可以定義第 k + 1 片奇異曲面為

S

_k ⁿ

= {g ∈ R

ⁿ

| det A(g) = 0 且 V (c(g); (0, n)) = k},

k = 0, 1, . . . , n − 1。

二維的情形如圖 1, S

²

= S

₀ ²

∪ S

₁ ²

, 其中 S

₀ ²

為雙曲線在第一象限的分支, S

₁ ²

為雙曲線在第三象限的分支。

對任何奇異的向量 g, 齊次方程組

A(g)x = 0

的解空間都是一維的; 若 g ∈ S

_k ⁿ

, 則非零解 x = (x

₁

, x

2

. . . x

n

) 產生的折線在 [1, n] 間有 n − 1 − k 個零根, 因此我們知道 x 的振動次數為

V (x; [1, n]) = n − 1 − k。

從圖 1 我們觀察到 S

₀ ²

與 S

₁ ²

是對原點對稱, 同時也對 x + y = 0 直線對稱; 就每支曲線而言, S

_k ²

是對 x = y 直線對稱的 (k = 1, 2)。這個對稱性不難推廣到 n 維, 事實上 S

_k ⁿ

與 S

_n−k−1 ⁿ

是對原點對稱 [4, 定理 2.1], 且對下列子空間對稱

U = {(x

1

. . . x

n

)| x

i

+ x

n+1−i

= 0, i = 1, 2, . . . , n}。

當 n 為奇數時, 正中間的曲面 S

ⁿ

ⁿ−1 2

本身就對原點及 U 對稱。另外每片曲面 S

_k ⁿ

都是對下列子空間對稱的 [4, 定理 2.2]

V = {(x

1

. . . x

n

)| x

i

= x

n+1−i

, i = 1, 2, . . . , n}。

上面提到, S

_k ⁿ

有曲面的性質, 其中比較重要的是這些曲面可用參數式表達。以 S

²

為例, 由於它是用方程式 xy − 1 = 0 定義, 則以參數方程 x = t, y =

¹ _t

也可表示 S

²

。

(5)

對於一般的奇異曲面, 首先注意到, 如果 A

1

, A

2

, . . . , A

n−1

均不為零, 則 (3) 式可改寫成

g

k+1

= A

k+1

A

k

+A

k−1

A

k

, k = 0, 1, . . . , n−1。

因 g 是奇異的, A

_n

= 0。設定參數 c

k

= A

k

/A

k−1

, k = 1, 2, . . . , n − 1 則得參數方程組



 



 



g

1

= c

1

, g

k

= c

k

+

_c ¹

k−1

, k = 2, . . . , n − 1, g

_n

=

_c

_n

¹

−1

,

(4) 其中注意到我們用了 n − 1 個參數 c

k

。

依振動數目的定義, 知 g ∈ S

₀ ⁿ

時, 其伴隨向量中的 A

₀

, A

₁

, . . . , A

_n−1

均為正。因此 g 有 (4) 之表法, 其所有參數 c

k

均為正。若 g ∈ S

_n−1 ⁿ

, 則其伴隨向量中的 A

₀

, . . . , A

_n−1

正負相間, 因此 g 也可用 (4) 表示, 但所有參數均取負值。至於其他曲面 S

_k ⁿ

(1 ≤ k ≤ n − 2) 上的點, 對應的 A

1

, . . . , A

n−1

中可能會有零出現, 其參數表示法當然會比較複雜, 有興趣的讀者可參考 [4,

§3]。利用這些參數表示法, 我們可以證出很多有關奇異曲面的性質, 例如它們的延伸範圍、它們的拓樸性質、它們的對稱性質等等。

三. 正則區域

從圖 1 可觀察到, 兩支奇異曲線 S

₀ ²

與 S

₁ ²

將 R

²

平面分成三塊正則區域。在高維空間也有同樣的情形, S

₀ ⁿ

, . . . , S

_n−1 ⁿ

這 n 片曲面將 R

ⁿ

空間分割成 n + 1 個不連通的正則區域, 不同區域間的差別乃在其伴隨向量的振動次數不一樣。我們可精確地來定義第 k 個正則區域

D

_k ⁿ

= {g ∈ R

ⁿ

| det A(g) 6= 0 且 V (c(g); (0, n)) = k},

k = 0, 1, . . . , n。

圖 1 標出 D

² _k

的位置, D

² ₀

乃在 S

₀ ²

右上方部份, D

₁ ²

為 S

₀ ²

與 S

₁ ²

中間區域, D

² ₂

在 S

₁ ²

左下方。

不難證出 [4], 每個正則區域 D

_k ⁿ

都是無界的連通開集。奇異曲面有對稱性, 正則區域當然也有, D

_k ⁿ

與 D

_n−k ⁿ

對原點對稱, 且對子空間 U 對稱; 另外每個區域 D

_k ⁿ

本身都對子空間 V 對稱; 當 n 為偶數時, 正中間的區域 D

ⁿ

2 會對原點及 U 對稱。

一個令人驚訝的事情是, 這些正則區域與奇異曲面是按著某種規律有條不紊的排列著, 他們之間可以定義次序關係。這個規則很容易可從圖 1 看出來, 從右上往左下依次是 D

₀ ²

, S

₀ ²

, D

₁ ²

, S

₁ ²

及 D

₂ ²

。 n 維的情形, 我們可以考慮與 (1, 1, . . . 1) 向量平行的直線, 這種直線當然有無限多個, 但不管是那一條, 它上面正則區域與奇異曲面的次序都是一樣的。當某質點沿著此種直線移動, 其座標分量由 +∞ 遞減到 −∞ 時, 它會依次經過 D

₀ ⁿ

, S

₀ ⁿ

, D

ⁿ ₁

, S

₁ ⁿ

, . . . , D

ⁿ _n−1

, S

_n−1 ⁿ

而到 D

_n ⁿ

。瞭解了各個正則區域與各片奇異曲面的空間次序關係, 就不難瞭解 S

₀ ⁿ

為 D

₀ ⁿ

之邊

(6)

界, S

_n−1 ⁿ

為 D

ⁿ _n

的邊界, 而 D

ⁿ _k

的邊界為 S

_k−1 ⁿ

∪ S

_k ⁿ

, k = 1, 2, . . . n − 1 [4, 定理 5.1], 也不難想像 D

_k ⁿ

∪ S

_k ⁿ

∪ D

_k+1 ⁿ

為一開集。假設有一條路徑連接 D

ⁿ ₁

內某點與 D

ⁿ ₄

內某點, 則此路徑上必有 S

₁ ⁿ

, D

₂ ⁿ

, S

₂ ⁿ

, D

₃ ⁿ

與 S

₃ ⁿ

的點, [4, 定理 6.1]。同樣地很容易可看出, 若有某連通的正則集合, 則此集合必落在某個 D

ⁿ _k

內 [4, 定理 6.2]。

四. 正則凸域

這一節我們對奇異曲面最外邊的正則集

再作說明, 先看二維的情形會帶給我們一些

靈感。回憶 S

₀ ²

上點的參數式為 (t,

¹ _t

), 其中 t > 0; 每個正 t 就對應出 S

₀ ²

上點 P = (t,

¹ _t

)。 P 點外面可定義為

(

|x| ≥ t

|y| ≥

¹ _t

,

.

...

. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. ... .. .. . .. .. . .. ..

...

. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. . .. .. .. . . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . . . .. . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

... . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .

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.

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .

.

...

.

...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . . .. ... ..

... . ..

.. ... ..

. ...

−P P

···

·

···

·

···

·

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·

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·

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·

···

圖 3

這個集合為圖 3 中格子點的部份, 每象限都有一塊無界的區域, 每塊形狀都類似。注意到這集合除了點 P 及 −P 外, 其他點都是正則的。

因為 t 可變動, 實際上我們有無窮多個這種集合, 將所有這類集合聯集

起來, 就形成圖 4 的點狀區域 G。 G 除了在邊界 S

₀ ²

及 S

₁ ²

上, 其他點都是正則的, 而且 G 在每個象限內都是一個凸集。

...

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. . .. .. .

...

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···

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····

···

xy = −1

圖 4

高維時首先考慮 S

₀ ⁿ

上的點 P = (c

1

, c

2

+

_c ¹

₁, . . . , c

n−1

+

_c

_n

¹

−2

,

_c

_n

¹

−1

), 其參數 c

₁

, . . . , c

n−1

均為正。此點“外面”的集合可定義為



 

 

 

 

|g

1

| ≥ c

1

|g

k

| ≥ c

k

+

_c ¹

k−1

, k = 2, . . . , n − 1

|g

n

| ≥

_c

_n

¹

−1

(5) 只要 (5) 中有一個不等式是嚴格大於, 則 g 為正則的。它的證明其實很容易, 只要用歸納法證明三項遞推式 (3) 滿足

|A

_k

| ≥ c

_k

|A

_k−1

| > 0, k = 1, . . . , n − 1, (6) 就可得到 |A

_n

| > 0, 有興趣的讀者可參考 [1, 引理 1,2]。事實上只要 g 不為

±P , 滿足 (5) 式的 g 都是正則的 [4, 定理 7.4]。

(7)

讓正的參數 c

1

, . . . , c

n−1

變動, (5) 式就定義出許多不同的集合, 將這些集合聯集起來, 就得到一個區域 G。這個 G 有絕對對稱性, 也就是說當向量 u 與 v 的分量絕對值均相同 (|u

_k

| = |v

_k

|, k = 1, . . . , n), 若 u ∈ G 則 v ∈ G。二維的象限, 推廣到 n 維就稱為卦限。不難看出, G 在 n 維空間的每個卦限都有一塊, 每一塊都是無界, 且兩兩並不相連; 根據絕對對稱性, 每塊形狀均“相同”。同二維的情形一樣, G 在 (+, +, . . . , +) 卦限的這一塊就是 D

ⁿ ₀

∪ S

₀ ⁿ

, G 在 (−, −, . . . , −) 卦限的這一塊就是 D

ⁿ _n

∪ S

_n−1 ⁿ

[4, 定理 7.3]; G 的邊界只在這兩個卦限是奇異的, 此二奇異邊界分別為 S

₀ ⁿ

及 S

_n−1 ⁿ

, 其餘邊界均為正則 [4, 定理 7.4], 因此 G 中除了 ±P 這種點外都是正則的。所以區域 G 的內部是包含 D

ⁿ ₀

與 D

ⁿ _n

, 且在每個卦限都是連通的最大絕對對稱正則區域。

G 的另一特徵是它在每個卦限內都是凸集 [1, 定理 1], 二維時, 由圖 4 很容易可看出。用這個凸集的特性可做出一些不同的正則集 [1, 推論 1,2], 如

n

X

k=1

k(n+1−k) min{|g

k

|−2, 0} > −(n+1);

n

(7)

X

k=1

min{|g

k

| − 2, 0} > −γ

n

, (8) 而

γ

_n

=







2m+1

m(m+1)

, n = 2m

2 m+1

, n = 2m + 1

等等。 n = 2 時, 上面二不等式的圖形如圖 5。

...

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ... .. .. . .. . .. .. ..

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·

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. . ...

... .

... ..

.. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. . . . .. .. . .. .. .. . . . .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . . . .. .. . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. .. . ...

. ...

... .

...

圖 5

五. 正則卦限

圖 1 告訴我們, 第二、四象限都是正則的, 自然我們會懷疑, n 維空間有那些卦限是正則的? 它的答案是, 只有兩個正則卦限, 即 (+, −, +, −, · · ·) 與 (−, +, −, +, · · ·)。

證明詳見 [2], 要說明此二卦限是正則的卻很簡單, 利用數學歸納法推導出三項遞迴式 (3) 滿足

g

k

A

k−1

A

k

> 0, k = 1, 2, . . . , n。 (9) 至於奇異的卦限是不存在的, 因為奇異曲面不是“實心”的 [4, 引理 2.4], 換句話說, 這些 n − 1 維曲面並不包含任何 n 維的球。

圖1也可看出兩個座標軸 ( x 軸與 y 軸) 都是正則的, 那麼 n 維空間有那些正則的座標軸或座標面呢? 它的充要條件較繁, 我們不打算在此敘述, 讀者可自行閱讀 [2, 定理 2]。事實上, 當維數 n 為偶數時, 所有的正則

卦限及正則座標軸、面, 都含在正中間的正則

(8)

區域 D

ⁿ

2 內, n 奇數時, 這些卦限、軸、面包含在 D

ⁿ

ⁿ−1

2

與 D

ⁿ

n+1 2

內 [4, 定理 7.7]。

至於有那些奇異的座標軸或面呢? 這問題的答案卻很簡單, 首先注意到當維數 n 是偶數時, 不存在奇異的座標軸與面。其原因是當 g 為原點時, det A(0) = (−1)

^n/2

6= 0, 故原點附近都是正則的, 而任何座標軸、面都包含原點附近, 所以不可能整個軸、面都奇異。奇數維時, 原點為奇異的, 而有奇異的座標軸、面, 其充要條件為 [2, 定理 3]

g

1

= g

3

= · · · = g

n

= 0;

事實上所有的奇異座標軸、面都在正中間片

奇異曲面 S

ⁿ

ⁿ−1 2

之內 [4, 定理 7.6]。

利用第一節提到的伸縮變換, 我們可以

得到 (1) 式一般三對角線矩陣 T (g) 的正則卦限與正則座標軸、面 [2, 定理4]。例如矩陣

B =

"

g

1

h f g

2 #

。

當 f h > 0 時, g 在第二、四象限是正則的;

當 f h < 0, g 在一、三象限是正則的。換成符號矩陣的語言來說

"

+ + + −

#

,

"

− + + +

#

,

"

+ −

− −

#

,

"

− −

− +

#

,

"

+ − + +

#

,

"

− − + −

#

,

"

+ +

− +

#

,

"

− +

− −

#

, 都是可逆的, 亦即任何矩陣對應分量有上述符號性, 則此矩陣必可逆。符號矩陣是當今矩陣理論最熱門的研究題材之一 [7]。

六. 正則內域

上節提到, 當維數 n 為偶數時, 原點是正則的; 當 n 為奇數時, 原點為奇異的。底下我們討論包含原點的正則集, 因此本節 n 都限定為偶數。在 R

²

平面, 我們有很多包含原點的正則菱形

1

t|x| + t|y| < 2, (10)

...

. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. ... .. . .. .. . .. .. ..

...

.. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. . . .. . . . .. .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. ···

····

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·

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···

····

···

··· P

−P

.. . .. . . .. . .. ...

. ... . .

... ...

. ...

. . .. . . . .. . . .. .. . . . .. . . .. . .. . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . .. . . .. . . . .. . . .. . . . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . . .. .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .

...

圖 6

如圖 6, 其中 t 為任意正數。這些菱形都與奇異曲線相切, 切點在 ±P =

±(t,

¹ _t

), 因此幾何上它們都是中心在原點的最大正則菱形; 代數上來說, 不等式 (10) 的上界 2 是最好的了, 無法再增大。圖 7 也可看出雙曲線內部

|x| · |y| < 1

(9)

.

...

.. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . ... . .. . .. .. .. . .. ..

... .. .. .. .. . .. . .. .. . .. . . .. . .. . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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... .

.. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .

...

. .. .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

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··

···

圖 7

也是正則的, 它是含原點的最大絕對對稱的星狀正則區域。

不難將這些概念推廣到 n 維 [3, 定理 2.3]。首先我們可驗證下面含原點的正則內域

n/2

X

i=1 i

X

j=1

|g

2i

g

2j−1

| < 1, (11) 然後再利用不等式

n/2

X

i=1 i

X

j=1

|g

2i

g

2j−1

| ≤

n/2

X

i=1

|g

2i

| ·

n/2

X

j=1

|g

2j−1

|

≤ 1 4

t

n/2

X

i=1

|g

_2i

| +1 t

n/2

X

j=1

|g

_2j−1

|

²

,

其中 t 可設定為任意正數, 則我們可得到更多的正則內域, 如

n/2

X

i=1

|g

2i

| ·

n/2

X

j=1

|g

2j−1

| < 1,

t

n/2

X

i=1

|g

2i

| + 1 t

n/2

X

j=1

|g

2j−1

| < 2,

n/2

X

i=1

|g

2i

| < 1 t 且

n/2

X

j=1

|g

2j−1

| < t.

幾何上這些區域的邊界都碰到奇異曲面, 代數上這些不等式的上界常數不能再大, 因此這些區域都是“最好”的。附帶一提, 我們事實上還得到 (11) 式定義出來的正則內域, 其邊界上的點是正則或奇異的充要條件 [3, 定理 2.6 及 2.7]。

...

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . ... .. .. . .. .. .. . ..

...

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . . .. . . .. .. . . . .. . . .. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

. ····

···

··· ····

·

···

·

···

·

···

·

····

(1, 1)

(−1, −1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . . ... .. ... .. .

.. .. . . . . .. .. ...

圖 8

圖 8 畫出二維時, 中心在原點, 邊線與座標軸平行的最大正則正方形: max{|x|, |y|} ≤ 1, 其邊界除了

±(1, 1) 之外, 都是正則的。高維時, 此種最大正方體為 [3, 定理 4.1]

|g

i

| ≤ σ; i = 1, 2, . . . , n (12) 而 σ = 2 cos

_2(n+1) ^nπ

; 除了 g =

±(σ, σ, . . . , σ) 之外, 滿足 (12) 式的 g 都是正則的。

自然我們會想到中心在原點、

邊線與座標軸平行的最大正則長方體。二維的做法是: 任選 S

₀ ²

上的一個點 P = (t,

¹ _t

) 當頂點, 當然此

(10)

處 t > 0, 然後依此定義出長方形

(

|x| ≤ t

|y| ≤

¹ _t

.

...

. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. ... .. .. . .. .. .. . ..

...

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. . . .. .. . . . .. . . .. . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

. ···

···

S

₀ ²

P

−P

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

...

圖 9

如圖 9。注意到除了 ±P 之外, 此長方形上的點都是正則的, 因此它是最大的正則長方形。因為 t 可變動, 我們可將無窮多個這種長方形聯集起來, 就形成了圖 7 的點狀區域 L (含邊界)。 L 是一星狀區域, 除了在邊界 S

₀ ²

及 S

₁ ²

, 其他的點都是正則的。

這些想法不難推廣到 n 維空間, 首先選取 S

ⁿ

2

−1

上的點 P = (c

1

, 1

c

₁

− c

2

, c

3

− 1 c

₂

, 1

c

₃

− c

4

, · · · , c

_n−1

− 1

c

n−2

, 1 c

n−1

)

為頂點, 其參數 c

k

滿足

¹

c

1 ≥ c

2

≥

_c ¹

₃ ≥

· · · ≥ c

n−2

≥

_c

_n

¹

−1

> 0。由 P 就可定義出長方體



 

 

 

 

|g

1

| ≤ c

1

|g

_k

| ≤ (−1)

^k−1

(c

_k

−

_c ¹

k−1

), k=2, . . . , n−1

|g

n

| ≤

_c

_n

¹

−1

。

(13)

只要 g 6= ±P , 則滿足 (13) 式的 g 均為正則的 [3, 定理 3.7]。因此, 這個長方體為一個中心在原點的最大正則長方體。

如法泡製, 讓這些參數 c

1

, . . . , c

n−1

變動, 就得到很多不同的長方體, 將這些長方體聯集起來成為集合 L。

L 不用說是星狀、絕對對稱、中心在原點, 且其內部是正則的; 因原點落在正中間的正則區域 D

ⁿ

2, L 內部當然包含於 D

ⁿ

2 之內。 L 的邊界及奇異邊界都已經知道了 [3, 定理 3.5 及 3.6], 事實上它的奇異邊界是 S

ⁿ

2

−1

及 S

ⁿ

2 的一部份 [4, 定理 7.5], 因此 L − (S

ⁿ

2

−1

∪ S

ⁿ

2) 是正則的。總結來說, L 的內部是含原點的最大絕對對稱正則連通區域。

另一個有趣的問題是圓心在原點的最大正則球是什麼? 二維的最大正則圓當然是 x

²

+y

²

< 1, 如圖 10。

...

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圖 10

至於 n 維 ( n 為偶數) 的情形, 仍尚未被解決。

(11)

七. 特徵幾何

固有值 (或稱特徵值) 與矩陣的可逆性有密切的關係, 那麼上面所發展的幾何觀點, 是否也可以處理一些固有值問題呢? 選取向量 e = (1, 1, · · · , 1), 設 λ 為 A(g) 的一個實固有值, 則

A(g) − λI = A(g − λe)

不可逆, 亦即 g − λe 為奇異的, 換句話說, g − λe 在某片奇異曲面 S

_k ⁿ

上。當 t 變動時, g − te 為通過點 g 且與向量 e 平行的直線, 每當此線與一片奇異曲面相交, 此時的 t 就是一個實固有值。因此固有值幾何上對應直線與 n 片奇異曲面相交的現象。

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S

₀ ²

S

₀ ¹

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g

圖 11

二維上來看是很清楚的, 當對角線向量為 g = (g

₁

, g

₂

) 時, 求 A(g) 的固有值, 即求直線 g − te = (g

₁

− t, g

₂

− t) 與奇異曲線 S

₀ ²

與 S

₁ ²

的交點, 如圖11。因此最大固有值對應直線與 S

₁ ²

的交點, 最小固有值發生在直線與 S

₀ ²

的交點。若交點是在以 g 為起點, (−1, −1) 方向的射線上, 則對應固有值為正; 若在 (1, 1) 方向的射線, 則對應固有值

為負; 若 g 本身就在奇異曲線上, 則對應固有值為 0。所以

當g ∈ D

² ₀

, A(g)兩固有值均為正;

當g ∈ D

² ₁

, A(g)有一正及一負的固有值;

當g ∈ D

² ₂

, A(g)兩固有值均為負;

當g ∈ S

₀ ²

, A(g)有零及一正的固有值;

當g ∈ S

₁ ²

, A(g)有零及一負的固有值。

因A(g)為對稱矩陣, 其固有值均為實數, 所以在 n 維空間, 直線 g − te 與每片奇異曲面均相交。在第3 節中提到, D

₀ ⁿ

, S

₀ ⁿ

, D

ⁿ ₁

, S

₁ ⁿ

, · · ·, S

_n−1 ⁿ

, D

ⁿ _n

是沿著 (−1, −1, · · · , −1) 方向規則的排列著, 因此不難推論出 D

₀ ⁿ

上的點 g, 其矩陣 A(g) 的固有值均為正; D

_n ⁿ

上的 g, A(g) 的固有值均為負。事實上

當 g ∈ D

ⁿ _k

, A(g) 有 k 個負的及 n − k 個正的固有值;

當 g ∈ S

_k ⁿ

, A(g) 有一個零、 k 個負、

及 n − 1 − k 個正的固有值。

用矩陣的語言來說, A(g) 是正定的充要條件是 g ∈ D

₀ ⁿ

, A(g) 是負定的充要條件是 g ∈ D

_n ⁿ

; D

ⁿ ₀

∪ S

₀ ⁿ

對應出半正定的矩陣 A(g), D

_n ⁿ

∪ S

_n−1 ⁿ

對應出半負定的 A(g), 其餘部分對應非定矩陣。我們知道一個矩陣的行列式為其固有值的乘積, 因此奇異曲面上的點 g, det(A(g)) = 0; det(A(g)) > 0 的充要條件是 g ∈ D

ⁿ _k

, 而 k 為偶數; det(A(g)) < 0 充要條件是 g ∈ D

ⁿ _k

, 而 k 為奇數。

依據奇異曲面排列的特性, 不管對角線

向量 g 在何處, 最小固有值一定發生在直線

三對角線矩陣之幾何觀