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“C44N38” — 2020/9/8 — 15:15 — page 73 — #1
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✐ 數學傳播 44 卷 3 期, pp. 73-75
從幾何 觀點推導二階逆矩陣公式
周伯欣 · 李依淳
眾所皆知, 對於任意的實數 a, b, c, d, 若滿足 ad − bc 6= 0, 則二階矩陣 A =
"
a b c d
# 具 有逆矩陣
A−1 = 1 ad − bc
"
d −b
−c a
# .
我國的高中數學教材 (從民國 59 年的東華本到現在 99 課綱) 與大部分的線性代數教材1, 推 導的方式主要有兩種 : (i) 直接列方程式後以 Cramer 公式求解; (ii) 使用 Gauss-Jordan 消 去法進行列運算 (row operation)。 筆者認為這兩種方法都偏於代數面, 很遺憾地沒有用到二 階矩陣的幾何性質。 在一次的討論中, 我們發現了一種幾何的詮釋, 充分地展現二階矩陣對應的 平面線性變換特性。
對於任意向量 x =
"
x1
x2
#
, 矩陣 A 與 x 的乘積就是矩陣 A 的行向量 (column vector) 的線性組合:
Ax =
"
a b c d
# "
x1
x2
#
= x1
"
a c
# + x2
"
b d
# .
由此可知, 一旦我們搞清楚 A 對基底向量 e1 =
"
1 0
# , e2 =
"
0 1
#
的作用結果, 就可以確定 A 對任意向量作用後的結果。 另外, 根據這樣的乘法定義, 很容易推導出具有伸縮效果的對角矩陣 D、(擬) 推移 (剪切) 矩陣 S 與旋轉矩陣 R。
首先假設矩陣 A 的兩個行向量皆不平行。 設 f1= Ae1=
"
a c
#
, f2= Ae2=
"
b d
#
, 並且假 設 f1, f2與正 x 軸的夾角分別為 θ, ϕ, 此時可知 cos θ = a
kf1k, sin θ = c
kf1k, cos ϕ = b kf2k, sin ϕ = d
kf2k。 下圖演示了矩陣 A 把由 e1, e2 構成的單位正方形變為由 f1, f2 構成的平行四
1第一作者家中收藏了約 15 種線性代數教材, 涵蓋美、 德、 中、 日。
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“C44N38” — 2020/9/8 — 15:15 — page 74 — #2
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✐ 74 數學傳播 44 卷 3 期 民 109 年 9 月
邊形的過程。
圖一
我們可以將以上的形變過程想作是一連串可逆形變的複合:
圖二
設形變過程中的三個變換矩陣依序為 D, S, R, 矩陣具體表達式分別是 D =
"
kf1k 0 0 kf2k
#
, S =
"
1 cos(ϕ − θ) 0 sin(ϕ − θ)
#
, R =
"
cos θ − sin θ sin θ cos θ
# . 由圖二即得
A = RSD.
由於 D, S, R 三個矩陣顯然都可逆, 容易寫出它們的逆矩陣分別為
D−1=
"
kf1k−1 0 0 kf2k−1
#
, S−1=
1 − cos(ϕ − θ) sin(ϕ − θ)
0 1
sin(ϕ − θ)
, R−1=
"
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
# .
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✐ 從幾何觀點推導二階逆矩陣公式 75
再由矩陣乘積的逆公式得到
A−1 = (RSD)−1 = D−1S−1R−1. 代入以上計算結果有
A−1 =
"
kf1k−1 0 0 kf2k−1
#
1 − cos(ϕ − θ) sin(ϕ − θ)
0 1
sin(ϕ − θ)
"
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
#
= 1
sin(ϕ − θ)kf1k−1kf2k−1
"
kf2k sin ϕ −kf2k cos ϕ
−kf1k sin θ kf1k cos θ
# .
其中
1
sin(ϕ − θ)kf1k−1kf2k−1 = 1
kf1kkf2k sin ϕ cos θ − kf1kkf2k sin θ cos ϕ, 於是
A−1 = 1 ad − bc
"
d −b
−c a
# .
此外, 根據以上的幾何形變過程, 可知 A 的行列式值 ad − bc 就是 kf1kkf2k sin(ϕ − θ), 其 幾何意義即是正方形經 A 變形之後的平行四邊形的面積。
以上討論是基於兩個行向量不平行的情況。 那當兩行向量平行時又如何呢? 此時正方形會 變成一條線段 (被壓扁的平行四邊形), 這意味著線段無法經過前面的形變過程變回正方形, 也 就是說矩陣 A 是不可逆的。
致謝
本文寫作過程中, 承蒙中研院數學研究所李宣北、 張清煇研究員提供意見, 第一作者的朋 友連威翔先生亦提供了建議, 特此鳴謝。
參考文獻
1. 許志農主編。 高中數學(四) (99 課綱), 龍騰文化。
2. G. Strang, Introduction to Linear Algebra (5th edition), Wellesley-Cambridge Press, 2016.
—本文作者周伯欣任教於台北市私立鵬展文理補習班, 並主持 「宇宙數學教室」 部落格; 李依 淳投稿時為台北市立景美女中, 高一學生—
