A. 基本能力題
1. 設 y＝f (x) 是一次函數，每當 x 值增加 1 個單位時，對應的 y 值就增加 3 個單 位。已知 f (1)＝1，試求 f (x)，並作出 y＝f (x) 的圖形。
解：
依題意：令 f (x)＝3x＋b∵ f (1)＝1
∴ 3＋b＝1，故 b＝－2
∴ f (x)＝3x－2
2. 有一次數學測驗，全班 40 人中最高分 65 分，最低分 40 分。老師想用
“線性平移法＂加分，使 65 分變成 90 分，40 分變成 60 分。試求：
(1) “線性平移法＂所對應的一次函數。
(2) 張三考了 50 分，加分後變成多少分？
解：
(1) 設線性平移法所對應的一次函數為 f (x)＝ax＋b，f (65)＝90，f (40)＝60
65a＋b＝90
40a＋b＝60
a＝ 65 b＝12
。 ∴ f (x)＝ 6 5 x＋12 (2) f ( 50 )＝ 6
5 ×50＋12＝72 (分)。
3. 華氏 ( Fahrenheit ) 溫度計 ( ℉ ) 與攝氏 ( Celsius ) 溫度計 ( ℃ ) 的關係如右表：
(1) 設攝氏 x ℃時，華氏為 y ℉，將 y 表成 x 的一次函數。
(2) 若攝氏 x ℃的範圍為 20 x 25，人體感覺“清爽舒適＂，試求對應 的華氏 y ℉的範圍。
解：
(1) 令 y＝ax＋b，32＝a．0＋b212＝a．100＋b
a＝ 95 b＝32
∴ y＝ 9 5 x＋32 (2) 20 x 25，68 y＝ 9
5 x＋32 77，68 y 77。
2-1 簡單多項式函數及其圖形
攝氏 0 ℃ 100 ℃
華氏 32 ℉ 212 ℉
4. 人的「肱骨」是手臂「從肘部到肩部」的骨頭。人類學家用肱骨的長度 ( 單位：
公分 ) 來估計男性、女性的身高 ( 單位：公分 )，其線性關係如下：
M (x)＝2.89x＋70.64 男性身高 F (x)＝2.75x＋71.48 女性身高
其中 x ( 公分 ) 代表肱骨的長度。某廢墟中發現一根 30 公分長的肱骨 (1) 此肱骨若屬男性，他有多高？
(2) 此肱骨若屬女性，她有多高？
解：
(1) 男性 M (x)＝2.89x＋70.64，x＝30 M ( 30 )＝157.34 ( 公分 )。(2) 女性 F (x)＝2.75x＋71.48，x＝30 F ( 30 )＝153.98 ( 公分 )。
5. 已知函數 y＝x2的圖形Γ如右圖，將Γ先沿 y 軸 壓縮 1
2 倍，再向右平移 2 單位，續向下平移 3 單 位後得到Γ′ 的圖形，而Γ′ 所對應的二次函數為 y＝f (x)。試求 f (x)，並求出Γ′ 中的 P 點坐標。
解：
y＝x2 ────→沿 y 軸方向壓縮 1 2 倍
y＝ 1
2 x2 ────→右移2單位 y＝ 1
2 ( x－2 )2
────→下移3單位 y＝ 1
2 ( x－2 )2－3。
令 x＝0，y＝－1，P ( 0 , －1 )。
6. 求出下列二次函數的頂點及對稱軸，並概略地描出它們的圖形，並求出其 最大值或最小值。
(1) y＝－2x
2－4x＋1。 (2) y＝( x－3 ) ( x＋1 )。 (3) y＝－x ( x－6 )。
解：
(1) y＝－2 ( x＋1 )2＋3。頂點 ( －1 , 3 )，對稱軸：x＋1＝0，最大值＝3，如下圖一。(2) y＝( x－3 ) ( x＋1 )＝x2－2x－3，y＝( x－1 )2－4。
頂點 ( 1 , －4 )，對稱軸 x－1＝0，最小值＝－4，如下圖二。
(3) y＝－x ( x－6 )＝－x2＋6x＝－( x－3 )2＋9。
頂點 ( 3 , 9 )，對稱軸 x－3＝0，最大值＝9，如下圖三。
圖一 圖二 圖三
7. 求下列二次函數在閉區間上的最大值及最小值。
(1) f (x)＝3x
2－12x＋7 ( 0 x 5 )。
(2) g (x)＝－2x
2－4x＋1 ( －5 x －2 )。
解：
(1) f (x)＝3 ( x－2 )2－5，0 x 5。
最大值＝22。( 當 x＝5 ) 最小值＝－5。( 當 x＝2 ) 如右圖一。
(2) g (x)＝－2 ( x＋1 )2＋3，
－5 x －2。
最大值＝1。( 當 x＝－2 ) 最小值＝－29。( 當 x＝－5 ) 如右圖二。
8. 若二次函數 y＝f (x) 的圖形通過三點 ( －1 , 0 )，( 3 , 0 )，( 5 , 6 )，求 (1) 對稱軸。 (2) f (x) 與其最大值或最小值。
解：
(1) ∵ f ( －1 )＝f (3)＝0，f (5)＝6 ∴ 對稱軸為 x－1＝0。(2) 可令 f (x)＝a ( x－1 )2＋h，
f ( －1 )＝0 f (5)＝6
4a＋h＝0
16a＋h＝6
a＝ 12 h＝－2 ∴ f (x)＝ 1
2 ( x－1 )2－2，最小值＝－2。
圖一 圖二
9. 二次函數 y＝f (x) 的圖形如右圖所示。
(1) 寫出 A 點坐標。
(2) 求出 f (x)。
(3) 寫出使 y 坐標為正數的 x 範圍。
解：
(1)(2) ∵ 頂點 ( －1 , 2 )可令 f (x)＝a ( x＋1 )2＋2，又 f (0)＝0 ∴ a＝－2 故 f (x)＝－2 ( x＋1 )2＋2＝－2x2－4x ∴ A ( －2 , 0 ) (3) 看圖可知－2＜x＜0 時，y＞0。
10. 設 f (x)＝( x－1 )
2＋( x－2 )
2＋( x－3 )
2＋( x－4 )
2＋( x－5 )
2( 計 5 項完全平方 )。
試求 f (x) 的最小值及對應的 x 值。
解：
f (x)＝5x2－2 ( 1＋2＋…＋5 ) x＋( 12＋22＋…＋52 ) ＝5［x2－ 25 ( 1＋2＋…＋5 ) x＋(
1＋2＋…＋5
5 )2］＋( 12＋22＋…＋52 )－ ( 1＋2＋…＋5 )2 5 ＝5 ( x－ 1＋2＋…＋5
5 )2＋ 50 5 。
∴ 當 x＝ 1＋2＋…＋5
5 ＝3 時，f (3)＝10 最小。
B. 挑戰題
1. 已知二次函數 y＝ax
2＋bx＋c 的圖形，如右圖，
試判別下列各式的正、負。
(1) 各項係數 a，b，c。 (2) a＋b＋c，a－b＋c。
(3) b
2－4ac。
解：
(1) y＝ax2＋bx＋c＝a ( x＋ b2a )2＋ 4ac－b2 4a 。 開口向上 a＞0， －b
2a ＜0 b＞0，圖形與 y 軸交於 ( 0，c ) c＜0。
(2) f (1)＝a＋b＋c＞0，f ( －1 )＝a－b＋c＜0。
(2) y＝f (x) 與 x 軸有兩個交點 b2－4ac＞0。
2. 若二次函數 y＝2x
2＋x＋k 圖形恆在直線 y＝3x－1 的上方，試求實數 k 取值的範 圍。
解：
∵ y＝2x2＋x＋k 的圖形恆在 y＝3x－1 上方∴ 2x2＋x＋k＞3x－1 恆成立 2x2－2x＋( k＋1 )＞0 恆成立
∴ ( －2 )2－4×2 ( k＋1 )＜0
∴ k＞ －1 2
