3.3 定积分的应用

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

3.3 定积分的应用

高等数学A

第3章 一元函数积分学

3.3.1 平面图形的面积 3.3.2 体积(1)

3.3 定积分的应用

3.3.1 平面图形的面积

问题的提出与微元法

直角坐标情形

参数方程情形

计算平面图形面积习例1-3

极坐标情形

计算平面图形面积习例7-10

3.3.2 立体体积

旋转体的体积

计算立体体积习例8-11

内容小结

定积 分的 几何 应 用

习例4-6

回顾 曲边梯形求面积的问题





a

f x dx

A ( )

曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线

) ( x f

y  ( f ( x )  0 )

x

x  a

b

x 

^{a b x}

y

o

) (x f y 

一、问题的提出与微元法

具有对区间的可加性. 要求量

运用定积分处理问题时 A

取极限”

— 求和

— 近似

“分划—

, 利用整体上变化的量在局 局部问题

的步骤将整体问题化成

,

, 在局部上以“不变”代替“变”

关系 部上近似于不变的辩证

, 采用

按照定积分的概念

].

, [

)

(

₁

1 1

i i

i n

i

i i

n

i

i f x x x

A

A _















 

便有关系式

,

, 略去下标 将具有代表性的第 个

为简便和醒目起见 i i

,

, ] d ,

[

] , [

₁ 表示为 称之为典型小区间 且取 小区间 x_i x_i x x  x

, 则有

为区间的左端点x

i

. d ) (x x f

A 



, ) (

d )

( 为量 的微分元素 或积分元素 记为 通常称 f x x A

. d ) (

d A  f x x

( 0 d

, 取极限过程 相当于 对区间的可加性

由量 A x 

]

, [ d

, 0)

||

|| x  将微分元素 A在区间 a b 上“无限累加”起来

] , [ )

(即作定积分 就得到量 A在区间 a b 上的值：

. d ) (

d





 ^b

a b

a A f x x

A

.

, 我们在这里将定积分理解为微分元素的无限累加 简言之

元素法的一般步骤：

第一步 利用“化整为零

,

的 微分表达式

x x

f

U ( ) d

d 

第二步 利用“ 积零为整

,



U

f x x

a

( ) d



这种分析方法成为元素法

(

)

元素的几何形状常取为

:

,

,

,

,

,

,

精确值

应用方向：平面图形的面积、 体积、平面曲线的弧 长、 功、水压力、引力和平均值等。

x y

o

) ( x f

y 

a _b

y

o

)

1

( x f

y 

)

2

( x f

y 

a _b

曲边梯形的面积





a

f x dx

A ( )

围成图形的面积

 ^



a

f x f x dx

A [

( )

( )]

x_{x dx} x ^{x dx}

1.

二、平面图形的面积

说明：注意各积分区间上被积函数的形式．

问题：积分变量只能选

x

1

(y) ,

(y) C c d [ , ],

(y)

(y)

     

dy y

y

dA  [ 

( )  

( )]

 ^



c

y y dy

A [ 

( ) 

( )]

计算由曲线 _y² _{ 2x}和直线 _{y  x 4}所围成的图形的面积.

计算平面图形面积习例

求椭圆 ₂ 1

2 2

2  

b y a

x 的面积.

积

.

2 0

, sin

,

cos



  

 a t y a t t

求星形线

x

例5 例2

例4

例 1 计算由两条抛物线

y

 x

y  x

计算由曲线 _{y  x}³ _{ 6x}和 _{y  x}²所围成的图形的面积. 例3

)

cos 1

(

), sin

( 的第一拱

求由摆线 x  a t  t y  a  t

. )

2 0

(  t   与横轴 x 所围成的平面图形的面积

例

6

例 1 计算由两条抛物线

y

 x

y  x

图形的面积

.

解 两曲线的交点

) 1 , 1 ( )

0 , 0 (

面积元素

dA  ( x  x

) dx

选

x

x  [ 0 , 1 ]

dx x

x

A

(

)

0



 

1

0 3

3 3

2

 

 



 

 x

x .

3

 1

x2

y  y2

x 

计算由曲线

y

 2 x

y  x  4

图形的面积

.

).

4 , 8 ( ), 2 , 2 ( 

 

 







4

2

2 x y

x y

选

y

_{y  [  2 , 4 ]}

2 , 4

2

y dy y

dA 



 



  

 ) 18 .

4 2

4

(

2

2









 ^A 

^{y y dy}

x y²  2

4

 x y

], 4 , 2 [ ]

,

[   

 y y dy

2

解

计算由曲线

y  x

 6 x

y  x

面积

.

解

).

9 , 3 ( ),

4 , 2 ( ),

0 , 0

( 

 

 







2

3

6

x y

x x

y

] 3 , [ 2

 x

], 0 , 2 [ 

x  dA

 ( x

 6 x  x

) dx

], 3 , 0

 [

x dA

 ( x

 x

 6 x ) dx

x

y 

x x

y 

 6

选

x

,

dx x

x x

A

( 6

)

2

3

 

 

( x

x

6 x ) dx

0

 

  ^{ 253} ₁₂ ^.

例

3

归纳

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：

（1）画草图，求出曲线的交点坐标

（3）写出面积微元

（4）写出面积的定积分表达式

（5）计算定积分，求出面积

（注

y

x

y

)

（2）根据图形特点，选取适当的积分变量

)

, ,

(

且被积表达式尽量简单

应使图形的分块尽量少 根据平面图形

求椭圆 ₂

1

2 2

2

 

b y a

x

.

椭圆的参数方程

 







t b

y

t a

x

sin cos

由对称性知总面积等于

4





ydx

A 4

^ 

2

) cos (

sin

4 b td a t

dt t ab 



0

sin

4   ab .

例

4

则曲边梯形面积

此时要注意曲边是有正方向的! 从而确定出起点和终点. 当你沿曲边朝着这方向前进时曲边梯形将在你的右边.

2.

积. 所围成的平面图形的面

2 0

, sin

,

cos



  

 a t y a t t

x

O x

y

a 2





2 3

, 只需求出

由对称性

1, 然 第一象限中的面积 A

.

4即可

后乘以

0 2 4 2

1

2

4 4 ( 3 sin cos ) d

A  A 



8 . d 3

sin ) sin 1

(

12 ^{2 2}

0

4 2

2 t t t a

a ^    





t

例

5

所求面积

)

cos 1

(

), sin

( 的第一拱

求由摆线x  a t  t y  a  t

. )

2 0

(  t   与横轴 x 所围成的平面图形的面积

O x

y

a 2 a

) 1

( 求积分区间

. 2 0

: , 2

0

:  a t  

x 时

) 2

( 求微分元素 d |

|

d A  y x  a(1cost)d(a(t sint))

. d ) cos 1

( ²

2 t t

a 



) 3

( 计算面积





 ^{ 2}

0

2 2 2

0 | y | d x a (1 cost) dt

A ^a

. 3

d ) cos cos

2 1

( ²

2 0

2

2 t t t a

a ^     





t

例

6

r   (  )



 

  

 (  )

在

[  ,  ]

 (  )  0

o x



 



d



  



  d

面积元素

dA [  (  )]

d  2

 1

曲边扇形的面积

.

2 )] 1

( 2 [

1  









d r d

A ^  ^ 

) (

 r 

3.

.

,   



 

求双纽线

r

 a

cos 2 

.

求心形线

r  a ( 1  cos  )

面积

( a  0 ) .

计算平面图形面积习例

例

8

9

cos

1 cos

3 与心形线 所围成的

求圆 r   r   

平面图形的面积 .

例

10

对应



0

7

到

2

.

对应



0

7.

解

: 2  a x

o 

 d



 ) d 2 (

1

 a



A

2 a

  

 

3 1 

0 2 

2 3

3

4  a



到

2

.

求双纽线

r

 a

cos 2 

.

由对称性知总面积

=4

4 A

A 





d r

A ^{ 4} 

¹ ₂

^{ a}

^.

x y 

 2

2

cos

2

a

r 

A

4 , 0    







d a cos 2 2

4

1

0





8

解

求心形线

r  a ( 1  cos  )

)

0 ( a  .

利用对称性知

d 









0

2

2

2 1 r d

A

, 0    

 ^





 

0

2 2

( 1 cos ) 2

2 1 a d





 cos ) d cos

2 1

(  





a

 

   

   sin 2  4

sin 1 2 2

2

3 a

 0

2 .

3

 a



9

解

cos

1 cos

3 与心形线 所围成的

求圆r   r    平面图形的面积.

例

10

O x

3





 3 r



 r

. 2

,

, 求出上半部分的面积 A₁ 则 A  A₁ 由对称性

) 1

( 求积分区间 联立方程组

 cos

 3 r



cos 1

 r

2 cos  1

3

   2A1

A 







  



 

3 3 2

0

2 (3cos ) d

2 d 1

) cos 1

2( 2 1







   



 ³

0 )d

2 2 cos cos 1

2 1 (

    ^



3

2 d

) 2 cos 1

(

 9



 

4 5





旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．

圆柱 圆锥 圆台

旋转体的体积

三、立体体积

一般地，如果旋转体是由连续曲线

y  f ( x )

直线

x  a

x  b

x

x

取积分变量为

x

] , [ a b x 

在

[ a , b ]

间

[ x , x  dx ]

取以

dx

x

dV   [ f ( x )]

dx

旋转体的体积为

V

f x dx

a

)]

(

 ^ [



x ^{x  dx} x y

o

) (x f y 

(1)

x   ( y )

y  c

y  d

y

y

x y

o

) ( y x   c

d

dy y )]

(

[ 

 ^



V

. ),

( ),

( ,

, )

2

(

x  a x  b y  f

x y  f

x

x

o x

y

a b

)

1

( x f

y 

)

2

( x f

y 

] , [ a b

x   [ x , x  dx ] A ( x )   f

( x )   f

( x ) dx

x f

x f

dV  [ 

( )  

( )]

. )]

( )

(

[

 ^



a

f x f x dx

V 

求星形线 ³

2 3

2 3

2

a y

x   ( a  0 )

x

.

求摆线

x  a ( t  sin t )

y  a ( 1  cos t )

与

y  0

x

y

.

求由曲线

y  4  x

y  0

直线

x  3

.

11

例

13

例

14

计算立体体积习例

.

2 1

2 2

2

体积 轴旋转所成的旋转体的

轴与 绕

求椭圆 x y

b y a

x  

例

12

 a o a y

x

求星形线 ³

2 3

2 3

2

a y

x   ( a  0 )

x

.

解

,

2 3

2 3

2

x a

y  



3 3 2 3

2

2





 



 



 y a x

] , [ a a x  

旋转体的体积 _V

_{a x dx}

a

3 3 2 3

2

 



 

 



 

.

105

32

 a



11

.

2 1

2 2

2

体积 轴旋转所成的旋转体的

轴与 绕

求椭圆 x y

b y a

x  

解

(1)

x

,

x

,

].

, [ a a

x   ¹

a b x

y  







x a

y dx

V 

^ 

^{ dx}

a b ( 1 x

)

2 2

 ;

3

4

 ab



(2)

y

, y  [  b , b ]. ¹

b a y

x  







y b

x dy

V 

^ 

^{ dy}

b a ( 1 y

)

2 2

 ^.

3

4

b

 a



12

解 绕

x

dx

x y

V

( )



^





^{  }





0

2

2

( 1 cos t ) a ( 1 cos t ) dt a



^{  }





0

3 2

3

( 1 3 cos t 3 cos t cos t ) dt

a  5 

a

.

a

a



) ( x y

求摆线

x  a ( t  sin t )

y  a ( 1  cos t )

与

y  0

x

y

.

例

13

绕

y

可看作平面图

OABC

OBC

分别绕

y

.

dy y

x

V

( )

0 ²



 

x

( y ) dy

0 ¹



 

o y

a x

 2

A C B

a

2 x  x

( y ) )

1

( y x x 



 





2

2

( t sin t ) a sin tdt a



^{ }





2

2

( t sin t ) a sin tdt a

 ^



 

0

2

3

( t sin t ) sin tdt

a  6 

a

.

（

2

2

柱壳体积

x x  d x y

柱面面积



 2  a ( t  sin t )  a ( 1  cos t )

补充 如果旋转体是由连续曲线

y  f ( x )

a

x 

x  b

_x

_y

dx x

f x

V

y

^ 2 ^ 

| ( ) |

取积分变量为

y , y  [ 0 , 4 ]

体积元素为

dy QM

PM

dV  [ 

 

]

dy y

y ) ( 3 4 ) ] 4

3 (

[   

   



, 4

12   y dy



dy y V ^{ }  ^



0

4

12 _{ 64 .}

3

P

求由曲线

y  4  x

y  0

直线

x  3

.

14

解

内容小结

1.

边界方程 参数方程 极坐标方程 直角坐标方程

上下限按顺时针方向 确定

2.

)

( x y

A  

绕

x

:

y x x

A ( )  2 

绕

y

: