幻灯片 1

对称法

♠

电流叠加法

♠

Y- △ 变换法

♠

对具有一定对称性的电路

,

通过对等势点的拆、合，

对称电路的“折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。

直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所

有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流 分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布．这就 是电流的可叠加性．对于一些并不具备直观的对称性的电路，

可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不 对称问题转化成具有对称性的问题加以解决 。

　　利用

Y

型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论，

通过电阻

Y

型联接与△型联接方式的互换，达到简化电路成 单纯串联或并联的目的．

解 : ^{A B}

D C

E F

H G

A C

B

D

E G

F

H

3

3 4 3

AC

R R R

R R  R

 

则 

AC 间等效电阻 :

^{如图所示，}

¹²

^{个阻值都是}

^R

^{的电阻，组}

成一立方体框架，试求

AC

间的电阻

R

_AC 、

AB

间的电阻

R

_AB 与

AG

间的电阻

R

_AG ．

专题 专题 19- 19- 例 例 1 1

续解

A B

D C

E F

H G

AB 间等效电阻 :

E

G F H

A B

C D

2 R

R

2 2

2.5

2 2

2.5

7

AB 12

R R

R R R

R R

R

R R

R

R

  

 

   

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

则

续解

A B

D C

E F

H G

AG 间等效电阻 :

F H

C

A B

E

D

6

G

R 3

R

3 R

5

AG 6 R R 

则

解 :

A

B

0

2

电源外电路等效电阻

r

:

0 0

0

0 0

2.5 5

2

40

.5 7 7

AB

r r

R r

r r

   

 

通过电源的电流由 6.0 A

40 / 7 1.05A



AB

I  R  

如图所示的正方形网格由

24

个电阻

r

₀

=8Ω

的电阻丝构成，电池电动势

ε=6.0 V

，内电阻不计，求通过电池的 电流．

专题 专题 19- 19- 例 例

2 2

^{波兰数学家谢尔宾斯基}

¹⁹¹⁶

年研究了一个有趣的几何图 形．他将如图

1

所示的一块黑色的等边三角形

ABC

的每一个边长平分为二，再把 平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角 形挖掉，得到如图

2

的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方 法处理，经过第二次分割就得到图

3

的图形．经三次分割后，又得到图

4

的图形

．这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫．它的自相似 性就是将其中一个小单元（例如图

4

中的△

BJK

）适当放大后，就得到图

2

的图 形．如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被 不断地镂空．

图

1

图

2

图

3

图

4

数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分 形几何学”的新学科．近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用 于有关的物理领域，取得了有意义的进展．

我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的 等效电阻问题：设如图

1

所示的三角形

ABC

边长

L

₀ 的电阻均为

r

；经一次分割 得到如图

2

所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形

ABC

的边长的 电阻

r

的二分之一；经二次分割得到如图

3

所示的图形，其中每个小三角形边长 的电阻是原三角形

ABC

的边长的电阻

r

的四分之一；三次分割得到如图

4

所示的 图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形

ABC

的边长的电阻

r

的八分之一

． ⑴ 试求经三次分割后，三角形

ABC

任意两个顶点间的等效电阻．

⑵ 试求按此规律作了

n

次分割后，三角形

ABC

任意两个顶点间的等效电阻

专题 专题 19- 19- 例 例 3 3

A

B C

D E

F

A

B C

D E

F A

B l₀ C

A

B C

D E

F GK

I J

解答

解 :

^对三角形

^ABC,

^{任意两点间的电阻 读题}

0 r

2 R  3 r

A

B C

对分割一次后的图形

2 r

1 6 3

5 9

2 R  r  5 r 

5 6 r

对分割二次后的图形

5 12

r 5 2

6 r

  

 

2 2

5 6

2 R   r 3

   

 

可见 , 分割三次后的图形

₃

3

125 2 2

3 5

6 r 3 4 r R  

 

  

 

2 5

n 3 6

n

R   r

   

递推到分割 n 次后的图形 

如图所示的平面电阻丝网络中，每一 直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为 r ．试求 A 、 B 两点间的等效电阻．

解 :

A

B

A

B B

A



B

r A



3

AB 4

R  r

A

B

A

B

三个相同的均匀金属圆圈两两相交地

连接成如图所示的网络．已知每一个金属圆圈的电阻都是 R ，试求图中 A 、 ^B 两点间的等效电阻 R

_AB

．

解 :

三个金属圈共有六个结点，每四分 之一弧长的电阻

R/4

.

将三维金属圈“压扁”到

AB

所 在平面并“抻直”弧线成下图

4 R

8 R

B A

8 8 2

8 8 2

AB

R R R

R R R R

  

 

 

        

5

48 R



4 R

正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一 小段电阻均为

R

．试求

R

_AB 和

R

_CD ．

解 :

3

AB 4

R  r _B

A

E

2

F

R 4 R

2 R

A

2R

B

H I

E

乙

2 R

2 R

D

C I G

H L

甲

甲

B A

F

D

C I G

H L E

C D

丙

2 R

2 R 2

R 2

R

3

CD 8

R  r

解 : ^{解题方向 :}

^{由于对称，可将}

^AB

中垂线上各电势点拆分，

原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无 限网络，其基本单元如图丙



B



B

_n

A

_n

A

n

 ^R

^x

B

_n



R R

R R

2R

丙

A B

甲

A

A B  A  B 

乙

当

n

→∞ 时，多一个单元，只是使

R

_x 按边长同比增大，即

2 2 2

2 2

2 2 2

2

x x

x x

x

RR R R

R R R

RR R R

R R

 

 

  

  

 

 

  

 

7 1

x

3

R  R

 7 1

AB

3 a

R  ^ 

试求框架上

A

、

B

两点间的电阻

R

_AB ．此框架是用同种

细金属制作的，单位长度的电阻为

ρ

．一连串内接等边三角形的数目可认为趋 向无穷，如图所示．取

AB

边长为

a

，以下每个三角形的边长依次减少一半．

解 :

^解题方向

^:

将原无限长立体正三棱柱框 架沿左、右递缩为三棱台再“压”在

AB

所在平面，各电阻连接如图

A

B

C

2

r r ²

3 r

3

r 3

3 x r

r x x r

  

 由

3 21 x   6 r

A

B

2 21

AB 21 r

R 

如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，

已知每一段电阻丝的电阻均为

r

，试求

A 、 ^B

两点之间的总电阻．

B A

C

返回

解 :

专题 专题 19- 19- 例 例 4 4

A

B

A

O B

O

2 I

8 I

A

O B

24 I 5

24 I

5

2 4 8 24 2

2

AB

I R I

I R R

I I 

   

             

29

AB 24 R R 

田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的

电阻均为

R

，试求网络中

A

、

B

两点间的等效电阻

R

_AB ．

R

2

R

如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接 两个结点的导线的电阻为

r

₀ ，如果将

A

和

B

接入电路，求此导线 网的等效电阻

R

_AB ．

解 :

专题 专题 19- 19- 例 例 5 5

A B

4 0 AB 4

I I r

R  I 

       

0 AB 2

R r



解 :

专题 专题 19- 19- 例 例 6 6

b a

0 0

6 3

3 6

ab

I I

I I

R I R

  R  

              

0

R ab  R

有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正

六边形网眼组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为

R

₀ ，求 间位结点

a 、 ^b

间的等效电阻．

如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小 相同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为

r

，求把该网 络中相邻的

A 、 ^B

两点接入电路中时，

AB

间的电阻

R

_AB ．

解 :

A

B

6 6

AB

I I I

R      R

 

  

AB 3

R R



半径为

R

的薄壁导电球由连在

A

、

B

两点上的（

AO

⊥

BO

，

O

点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图．通过电源的电流为

I

₀

．问在球面上

C

点处（

OC

⊥

OA

，

OC

⊥

OB

）电荷朝什么方向运动？若在

C

点 附近球面上作两个小标志，使它们相距

R

／

1000

，其连线垂直电荷运动方向．

问总电流中有多大部分通过这两标志之连线？

解 :

B A

Ｏ B 

A  C i

₁

i

₂

C 处单位长度上电流

2 0

1

c 2 2 i I

 R

 

C 处垂直于电荷运动方向 上一段弧是的电流为

2 0

1

2 2 1000

I R

i ^{ }  R ^{ 0}

2 4000

I

 

如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均 为

2r

，求

A

、

B

间的电阻．

解 :

A

B

B

A

C

C

¹⁵

I

11 15 I

4 15 I

B

A

8 15 I

7 15 I

C

2 15 I

11 5 10 7

2 4

15 15 15 15

R

AB

r I I

I

r

 

          

   

   

AB 2

R  r

2r r

4r

返回

A

C I

_A

I

_c 甲

B I

B

R

_AB

R

_AC

R

_BC

a

c I

_a

I

_c

O

乙

R

_a

R

_b

R

_c

b I

b

AC AB

A

AB AC

BC BA

B

AB BC

CA CB

C

CA BC

U I U

R R

U I U

R R

U U

I R R

 

 

  0

ab a a b b

ac a a c c

bc b b c c

a b c

U I R I R U I R I R U I R I R

I I I

 

   

   

    



ab c ac b

a

a c a b b c

U R U R I R R R R R R

 

 

A a B b C c

I  I I  I I  I

AB ab AC ac BC bc

U  U U  U U  U

bc a ba c

b

a c a b b c

U R U R I R R R R R R

 

 

ca b cb a

c

a c a b b c

U R U R I R R R R R R

 

 

ab c ac b

a c a b b c

U R U R R R R R R R

 

 

bc a ba c

a c a b b c

U R U R R R R R R R

 

 

ca b cb a

a c a b b c

U R U R R R R R R R

 

 

c

1

a c a b b c AB

R

R R R R R R  R

 

b

1

a c a b b c AC

R

R R R R R R  R

 

a

1

a c a b b c BC

R

R R R R R R  R

 

Y→

△ 变换

^{Y Y Y}

AB BC

c a

AC

b

R R R

R R R

  

△

→ Y

变换 _{AB AC AB BC AC BC}

a b c

R R R R R R

R R R

 

  



AB BC AC

R R R

   

解 :

专题 专题 19- 19- 例 例 8 8

a b

A B

d c

D C

A B

  4r AB 间等效电阻 :

c

a b

O

/ 2 r / 2

r r / 4

2r r

1.5

r

1.25

r O

B A

C

Y  6r 2

24 / 5r 4r

4r

R AB 

24 2 4 4 5

5 5 24 2 5

24 2

4 4 5

5 5 24 2 5

r

  

 

  

  

 

 

  

 

   

  

 

 

47 80 r



如图所示

,

一个原来用

12

根相同的电阻丝构成

的立方体框架，每根电阻丝的电阻均为

r

，现将其中一根拆去，求

A 、 ^B

两点间的电阻．

2

4 4

a c b

r r r r

R R r R

r

 

  

2 2

1.

2

6 4

5 4 1.2

6 5

AC

5

AB BC

R r R

r r

r R r

    

r

如图所示

,

甲中三端电容网络为△型网络元，

乙中三端电容网络为Ｙ型网络元，试导出其间的等效变换公式．

解 : ^A

C q

_A

q

_C 甲

B q

B

C

_AB

C

_AC

C

_BC

乙

a

c q

_a

q

_c

b q

^b

C

_b

C

_a

C

_c

A a B b C c

O

q  q q  q q  q

AB ab AC ac BC bc

U  U U  U U  U

A AB AB AC AC

B BA AB BC BC

C CA CA CB BC

q U C U C q U C U C q U C U C

 

 

 

0

a b

ab

a b

a c

ac

a c

a b c

q q

U C C

q q

U C C

q q q

 

 

   Y→

△ 变换

Y Y Y

a b b c a c

AB BC CA

C C C C C

C C

C C

  

△

→ Y

变换 ^{a b}

BC CA AB

C C

c

C C

C C

  

  

Y  C

_a

 C

_b

 C

_c

AB AC BA BC CB CA

C C C C C C

   

解 : ^R

A

B R/3 R/8 R/2 R/6

R AB  ¹⁵

11 R

电阻均为 R 的九个相同的金属丝组成

构架如图所示，求构架上 A 、 ^B 两点间电路的电阻．

如图所示，由九根相同的导线组成的一个 三棱柱框架，每根导线的电阻为

R

，导线之间接触良好，求

BD

之 间的电阻值．

解 :

B

D

R

B

R/3 D

R/6

2R/3 2R/15

3 1 2 3 2 1 15 2

R BD R

  

 

   

  

 

11

15 R



解 :

A

B

2

R

R R/8 R/4

R AB

1 3 1 1 1 8 4 2 2 4 1

2

R

       

   

 

  

  

 

 

47

22 R



如图所示，由电阻丝构成的网络中

，每一段电阻丝的电阻均为 R ，试求 R

_AB

．

由

7

个阻值相同的均为

r

的电阻组成的网 络元如图所示，由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图⑵所示

，试求

P

、

Q

两点之间的等效电阻．

解 : ^{r R}

^x

^{r/4 r/2}

5 3

4 2

2 5 3

4 2

x x

x x

x

R r r

R r r

r R

R r r

R r r

 

 

  

 

 

 

 

  

 

5 55

x 15

R  r



r r r r r

r r

⑴ ⑵

P

Q

如图所示，一长为

L

的圆台形均匀导体，

两底面半径分别为

a

和

b

，电阻率为

ρ

．试求它的两个底面之间的 电阻．

解 :

L a b

i 2

L R n

a i k L n





      

 

2

1 1

lim

ⁿ _i

lim

ⁿ

n n

i i

R R L

n a i k L n





   

 

   

 

 

 

 

1

1 1

lim

1

n

n i

L

L L

n a i k a i k

n n





^ _

  

        

   

   



 

1

1 1

lim

1

n

n i

L L

k a i k a i k

n n





^ _

 

 

   

      

 

 



1 1

k a b





 

   

  ^{ }  ^{ a b L }  ^{ }  ^{1 a  1 b  }  本题解题方向 : 由

电阻定律出发 , 用微

元法求解 !

解 :

1

l

2

i i

i

r r

R

n  r l



^

 



a b

2

1

1

n n

i i

Rl r

n r





^

 

 

   

  

   

2

1

lim 1 lim

n n

i

n n

i

Rl r

n r





^

 

 

 

   

  

   

2 Rl

e b

a



 

2 ln

b R l

a



 

本题解题方向 : 由电阻

定律出发 , 用微元法求解

!

一铜圆柱体半径为

a

、长为

l

，外面套一 个与它共轴且等长的铜筒，筒的内半径为

b

，在柱与筒之间充满电 阻率为

ρ

的均匀物质，如图，求柱与筒之间的电阻．

如图所示的立方体网络中，每一小 段电阻丝的电阻均为 R ，试求 R

_PQ

.

解 : _{R / 2}

r/4 R

Q P

P

C 2R

P C

7 R

3 R

3 R

12 R

4 7

R 2

7 R

12

PC 35 R R 

24

PQ 35 R

R 