幻灯片 1

第 第 13 13 章 机 械 波 章 机 械 波

本章内容： 13.1

机械波的产生和传播

13.2

平面简谐波

13.3

波的能量

13.4

惠更斯原理

13.5

波的干涉

13.6

驻波

13.7

多普勒效应

13.1 机械波的产生和传播

13.1.1

机械波的产生

条件 波源：作机械振动的物体

｛

机械波 : 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地 传播出去，就形成机械波。

弹性介质：承担传播振动的物质

13.1.2

横波和纵波

介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；

如柔绳上传播的波。

介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；

如空气中传播的声波。

横波：

纵波：



 0 t

4 t  T

2 t  T

T t 4

 3

T t 

T t 4

 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718

横 波

4 t  T

2 t  T

T t 4

 3

T t 

T t 4

 5

T t 2

 3

 0 t



1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718

纵 波



结论

(1)

波动中各质点并不随波前进 ;

(2)

各个质点的相位依次落后 , 波动是相位的传播。

 x



 

  ²

u 

13.1.3

波线和波面

沿波的传播方向作的有方向的线。

波线

⁽

^波线

⁾

在波传播过程中，任一时刻媒质中 振动相位相同的点联结成的面。

波面

波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。

球面波 柱面波

波面

波线

波面

x y

波线

z

平面波

（波面）



说明 在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。

同一波线上相位差为

2

的质点之间的距离；即 波源作一次完全振动，波前进的距离。

13.1.4

波长 周期 频率 波速

波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了 波的时间周期性。

单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率 与周期的关系为

T

 1



振动状态在媒质中的传播速度。

）

:

波长（



）

:

周期（

T

）

:

频率（



）

:

波速（

u

波长反映了波的空间周期 性。

波速与波长、周期和频率的

关系为

uT u

    ¹

弦线中的横波：



u _t  T

_{均匀细棒中的纵波：}



u _l  Y

13.2 平面简谐波

波面为平面的简谐波。

简谐波 波所到之处，介质中各质点匀作同频率的谐振动。

平面简谐波

13.2.1

平面简谐波的波函数

) , ( x t f

y 

) cos(    ₀

 A t y _o

平面波函数

y

x x

u 

P O

简谐振动

显然

, P

点

t

时刻的振动状态是

O

点

u t  x

简谐振动

y  A cos(  t   )

平面简谐波的波函数

时刻的状态 ;



若

] )

( cos[

) ,

(      ₀

u t x A

t x y _P

 ) , ( x t y

( P

点处质点振动相位较

O

点处质点相位落后 )

u x x

x 

 

 ^{ 2 } π

2

] )

π ( cos[ 2 )

,

(  ₀

 ^{ }

 A ut x t

x y

] )

( π 2 cos[

) ,

(  ₀

   

 x

t A

t x y

] )

( π 2 cos[

) ,

(  ₀

 ^



 x

T A t

t x

其它形式

y

若波沿轴负向传播时，用同样的方法可得波函数

y

x x

u 

P

O 

) cos(    ₀

 A t y _o

若

] )

( cos[

) ,

(      ₀

u t x A

t x y

其它形式

] )

π ( cos[ 2 )

,

(  ₀

 ^{ }

 A ut x

t x y

] )

( π 2 cos[

) ,

(  ₀

   

 x

t A

t x y

] )

( π 2 cos[

) ,

(  ₀

 ^



 x

T A t

t

x

y

如图，

在下列情况下试求波函数：

8 )]

( 1 π 4

cos[ 

 A t

y _A

(3)

若

u

沿

x

轴负向，以上两种情况又如何？

例

(1)

以

A

为原点；

(2)

以

B

为原点；

B A

x 1

x

已知

A

点的振动方程为：

 

u 

(1)在 x

轴上任取一点

P

，该 点

振动方程为：

8 )]

( 1 π 4

cos[  

 u

t x A

y _p

8 )]

( 1 π 4 cos[

) ,

(   

u t x

A t

x

波函数为：

y

解

P



x 1

B A x

  

u 

(2)

以

B

为原点

u 

P 

x 1

B A x

  

B

点振动方程为：

)]

8 ( 1

π 4 cos[

)

(   ¹ 

u t x

A t

y _B

波函数为

: )]

8 ( 1

π 4 cos[

) ,

(   ¹  

u x u

t x A

t x y

8 )]

( 1 π 4

cos[ 

 A t

y _A

8 )]

( 1 π 4

cos[   ¹ 

 u

x t x

A

8 )]

( 1 π 4 cos[

) ,

(    ¹ 

u x t x

A t

x y

8 )]

( 1 π 4 cos[

) ,

(   

u t x A

t x y (3)

以

A

为原点：

以

B

为原点：



波函数的物理意义

] )

( π 2 cos[

) ,

(  ₀

 ^



 x

T A t

t x y

(2)

波形传播的时间周期性

(1)

振动状态的空间周期性

) , ( )

,

( x t y x t

y   

说明波线上振动状态的空间周期性

), , ( )

,

( x t T y x t

y  

说明波形传播的时间周期性

t ₁

时刻的波形

O y

x

u 

x x ₁  

(4) t

_给定，

y = y(x)

_表示

t

_{时刻的波形图}

(5) x

_和

t

_{都在变化，}

表明各质点在不同 时刻的位移分布。

(3) x

_给定，

y = y (t)

_是

x

_{处振动方程}

t ₁ +Δt

时刻的波形

x ₁

一平面简谐波沿

x

轴正方向传播，已知其波函数为

m )

10 . 0 50

( cos 04

.

0 t x

y   

2 ) 10 . 0 2

( 50 π

2 cos 04

.

0 t x

y  

m 04 .

 0

A 0 . 04 s

50 2 

 T m

10 20 . 0

2 

  _{  500 m/s}

u T 

a.

比较法

(

与标准形式比较）

] )

( π 2 cos[

) ,

(  ₀

 ^



 x

T A t

t x

标准形式

y

波函数为 比较可得 例

解

(1)

波的振幅、波长、周期及波速；

(2)

质点振动的最大速度。

求

(1)

π 2 )

10 . 0 50

( π )

10 . 0 50

(

π t ₂  x  t ₁  x 

s 04 .

1 0

2  

 t t T

π 2 )

10 . 0 50

( π )

10 . 0 50

(

π t  x ₁  t  x ₂  m

1 20

2  

 x x



b. 分析法（由各量物理意义，分析相位关系）

m .

y

A  _max  0 04

振幅 波长

周期

波速

  500 m/s u T 

) 10 . 0 50

( π sin π

50 04

.

0 t x

t

y    



  v

max  0 . 04  50   6 . 28 m/s v

(2)

 u

13.2.2

平面波的波动微分方程

)]

) (

cos[

) ,

(      ₀

u t x A

t x y

] )

(

cos[ ₀

2 2

2       





u t x t A

y

] )

(

cos[ ₀

2 2 2

2 _{ }   _{ } 





u t x A u

x

y ²

2 2 2

2 1

t y u

x y



 





由

得

(2)

不仅适用于机械波，也适用于电磁波、热传导、化学

中的扩散等过程；

(1)

上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；

(3)

若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程为

2 2 2 2

2 2

2 2

2 1

t u

z y

x 

 



 



 



    



说明

13.3 波的能量

13.3.1

波的能量和能量密度

⁽

以绳索上传播的简谐波为例）

x m  

 

) ( l x T

W _p    

O ^x

2 y

2 ( )

2 1 2

1

t m y m

W _k



 

  v 

线元的动能为

线元的势能（^{平衡位置为势能零点}）为

①

设波沿

x

方向传播，取线元

T ₂

T ₁

△l

△y

△x

u 

2

2 ( )

)

( x y

l  

  

其中

2 / 1 2 ] ) (

1

[ x

x y



  

 ( ) ]

2 1 1

[ ²

x x y



 

 

) 2

2 ( 1

x x y T W _p



   ②

] )

( [ 2 sin

1

0 2

2

2   



  

 u

t x xA

] )

( [ 2 sin

1

0 2

2

2   



  

 u

t x xA

) 2

2 ( 1

t x y W _k



   

) 2

2 ( 1

x x y T W _p



  

] )

(

cos[     ₀

 u

t x A

将

T  u ²  y

代入①、 ② 、 ③ 线元的机械能为

和

③

p

k W

W W  

] )

( [

sin ² ₀

2

2   



  





 u

t x xA

W W

W _{k p}

机械能



能量密度（绳子的横截面为

S

，体密度为

ρ

）

) , ( ]

) (

[

sin ² ₀

2

2 x t

u t x x A

S

W w

w         



平均能量密度



 ^T t T 1 ⁰ d

w

w ^{2 2}

2

1  A 



(1)

在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同 步变化的，即

W _k =W _p

，与简谐弹簧振子的振动能量变化 规律是不同的。



讨论

x

y u 

O

A

B

也最小 最小

x

y

 ,  v

也最大 最大

x

y

 ,  v

(2)

质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播 过程中不断吸收和放出能量；因此，波动过程是能量 的传播过程。

13.3.2

能流密度

在一个周期中的平均能流为

u  s

u t △ t

tS P u





 w _{ w uS}

uS t

T P

P  1  ^T 0 d  w

能流密度：通过垂直于波线截面单位面积上的能流。

S u

J  P  w d

大小：

d

方向：波的传播方向

u J   w 

矢量表示式：

能流：单位时间内通过某一截面的波动能量为通过该面的能流

J 

u  _S

波的强度：一个周期内能流密度大小的平均值。

w w t u T

t u T J

J

I   1  0 ^T d   0 ^T d 

u A ^{2 2} 2

1  

  A ²

13.3.3

平面波和球面波的振幅



平面波

S 1 ^S ₂

u 

（介质不吸收能量）

2

1 P

P 

2

1 A

A 

由 得

uS A

uS S

I

P _{1 1 1 1 1} ^{2 2} 2

1  





 w

uS A

uS S

I

P _{2 2 2 2 2} ^{2 2} 2

1  





 w

这表明平面波在媒质不吸收的情况下 , 振幅不变。



球面波

2 2

2 2 1

2 2

1 2

1 2

1  A  uS   A  uS

由

S ^{1 2}

S

r 1

r 2

2 2 2

2 2

1 2

1 4 π r A 4 π r

A   

2 2 1

1 r A r A 

0 ],

) (

cos[

) ,

( ^{0 0}  ⁰  ₀ 



 r

u r t r

r r t A

r

y  

令 得

球面波的振幅在媒质不吸收的情况下 , 随

r

增大而减小 .

则球面简谐波的波函数为

0 0 r A

Ar 

（

A ₀

为离原点（波源）

r ₀

距离处波的振幅）

13.3.4

波的吸收

I 0

x

I

O x

dx

波在吸收媒质中传播时 , 实验表明

I

d    ^{I x d}

e x

I

I  ₀ ^{ }



为介质吸收系数，与介质的性质

、温度及波的频率有关。

I

x I ₀

I ₀

x

O ^I



 I ^{I  x } x I

I

0 d

d

0



应用：



增加吸收……



减少吸收……

(1)

已知某一时刻的波前，

可用几何方法决定下 一时刻波面；



说明

R ₁ R ₂ S ₁

S ₂

O

S 1

S 2

t ^{t   t}

t u r  

13.4 惠更斯原理



惠更斯原理

各个子波所形成的包络 行进中的波面上任意一点都 可看 作是新的子波源；所有子波源各自向外 发出许多子波；

面，就是原波面在一定时间内所传播到 的新波面。

(2)

亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质；

(3)

解释反射、折射、衍射现象；

2 1 2

1

sin sin

u u t

u t u

i 



 



B

C

i



A

由几何关系知：

D

E F u ₁

u ₂

u ₂ △ t

d ₌ u

1 △ t

·

·

·

a

折射现象 衍射现象

(4)

不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。

13.5 波的干涉



叠加原理

(1)

波传播的独立性

(2)

叠加原理

当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各 波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、

波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。

在波相遇区域内，任一质点 的振动，为各波单独存在时 所引起的振动的合振动。

v ₁

v ₂

2

1 y

y y  



注意

: 波的叠加原理仅适用于线性波的问题。



相干波与相干条件

干涉现象 :

当两列（或多列）波叠加时，其合振动的振幅

A

和合 强度

I

将在空间形成一种稳定的分布，即某些点上的 振动始终加强，某些点上的振动始终减弱的现象。

相干波

相干条件 频率相同、振动方向相同、相位差恒定。

相干波源

满足相干条件的波。

产生相干波的波源。



干涉规律

)

cos( ₁

10

01  A  t  

y

) π

2

cos( ¹ ₁

1

1 

   

 r

t A

y

] π

2 cos[

2 _{1 2 2 1} ^{2 1}

2 2 2

1 2

 

 ^{r r}

A A A

A

A      

)

2 cos(

1     

 y y A t

y

P

点处的合振动方程为

r 1

r 2

S 1

S 2

S ₁ S ₂

) π

2

cos( ² ₂

2

2 

   

 r

t A

y

P

点处合振动的振幅

)

cos( ₂

20

02  A  t  

y P

P



 cos 2 _{1 2}

2

1 I I I

I

I    P

点处波的强度

波源：



 cos 2 _{1 2}

2

1 I I I

I

I    r ₁

r 2

S 1

S 2

P

 





  ( ₂  ₁ )  2 π r ²  r ¹

相位差

波的强度



讨论

空间点振动情况分析 :

,  2 , 1 , 0 π

2 π

2 )

( ₂  ₁  ²  ¹   

 r r k k

 







2 1 2

1 max

2 1

max A A I I I 2 I I

A     

,  2 , 1 , 0 π

) 1 2

( π

2 )

( ₂  ₁  ²  ¹    

 r r k k

 







2 1 2

1 min

2 1

min | A A | I I I 2 I I

A     

当

(

干涉相

长

)

当

(

干涉相消

)

2

1 

 

若





 

   2 π r ²  r ¹  2 π

2

1 r

r 

  ₍

_波程差

₎

2

1 

 

若

,  2 , 1 , 0

2 ,

1    

 r r k  k



_{（干涉相长）}

若

A ₁  A ₂  A

,  2 , 1 , 0 2 ,

) 1 2

2 (

1     

 r r k  k



（干涉相消）

0

0 _min

min  I 

A

0 max

max 2 A I 4 I

A  

^{（干涉相长）}

（干涉相消）

从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区域，合成波 在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布

，形成了时间上稳定、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。

当

A 、 ^B

为两相干波源，距离为

30 m

，振幅相同，初相 差为



,

u = 400 m/s

, 　

f =100 Hz

。

例

A 、 ^B

连线上因干涉而静止的各点位置。

求

m

1 30

2   

 r r



解

B A

P

30m m

 4

 f

 u

 



 









 14 π

π 30 16

4 π π 2

π π 2 

 



（

P

在

A

左侧）

（

P

在

B

右侧）

I max

I  ₍

即在两侧干涉相长，不会出现静止点

)

r ₁ r ₂

P

在

A 、 ^B

点之 间

P

1

2 r

r 

   30  2 r ₁ P

在

A

点左侧或

B

点的右侧

 



  π  ^{2 π}   14 π  π r ₁   ( 2 k  1 ) π

_{（干涉相消）}

因干涉而静止的点：

⁰  r 1  ¹⁴  ^{( 2} k  ^{1 )}  ^{30 m} k  0 , 1 , 2 , 

13.6 驻波

) (

2 cos

) (

2 cos

2 1

 



 



t x A

y

t x A

y









13.6.1

弦线上的驻波实验



波腹



波节

(

两列等振幅相干波相向传播时叠加形成驻波

)

驻波条件：

2 n  L 

,  3 , 2 ,

 1 n

13.6.2

驻波波函数

 2

 L

 L 

3  2

 L

(a)

(b)

(c )

A

A

A

B

B

B C

₁

C

₂

C

₁

C

₂

C

₃

D

₁

D

₂

D

₃

D

₄

D

₁

D

₂

D

₃

)]

( π 2 cos )

( π 2

2 [cos

1  

  x t ^x

t A

y y

y      

x t

A 

 ^{) cos 2 π} π

2 cos 2

( 



 A x

x

A  ( )  2 cos 2 π

，即驻波是各质点振幅按余弦分布

(1)

波腹：



讨论

t x

A  ( ) cos 







 x k 2 

,  2 , 1 , 0

2 ,   

 k k

x 

2 1

cos  

 x

波节：

2  x  ( 2 k  1 )  2



,  2 , 1 , 0 4 ,

) 1 2

(    

 k k

x 

时 当

2 0

cos  



x

2 2

) 2 1

1 (





 _{ }





  x k k

x _{k k}

相邻两波腹之间的距离：

(2)

所有波节点将媒质划分为长

 / 2

的许多段，每段中各 质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段间各质 点的振动相位相反 ; 即驻波中不存在相位的传播。

2 ) 4

1 2

4 ( ] 1 ) 1 (

2

1 [





 _{  }







  x k k

x _{k k}

相邻两波节之间的距离：

(3)

没有能量的定向传播。能量只是在波节和波腹之间进行 动能和势能的转化。

 0 t

4 t  T

2 t  T

势能

动能

势能

 _ 



 r 2 π

 π

 

2

 

(4)

半波损失。

反射点为波节，表明入射波与反射波在该点反相。

(3)

以

B

为坐标原点求合成波，并分析波节，波腹的位置坐标。

(1)

以

D

为原点，写出波函数；

平面简谐波

t

时刻的波形如图，此波波速为

u

，沿

x

方 向传播，振幅为

A

，频率为

v

_。

(2)

以

B

为反射点，且为波节，若以

B

为

x

轴坐标原点

，写出入射波，反射波函数；

] π )

( π

2 cos[

) ,

(   

u t x

ν A

t x y

2 ] ) π

( π

2 cos[

) ,

(   

u t x

ν A

t x y

_入

2 ] ) π

( π

2 cos[

) ,

(   

u t x

ν A

t x y

_反

例

解

(1) (2)

求

B D

u 

  x

y

(3) ν t u

ν x A

y y

t x

y ) cos 2 π

2 π π

2 cos 2

) ,

( 

_入

＋

_反

＝ （ ＋

t u ν

ν x

A sin 2 π cos 2 π

 2

＝

1 π

2

sin 

u

ν x π

2 1 π 2

2  k 

u ν x 4 

1 2

4 1

2    

 k

ν u x k

波腹

波节

,  3 , 2 ,

1  



 k

0 π

2

sin 

u

ν x 2 π k π

u ν x 

2  2

k ν

u

x  k   k  0 ,  1 ,  2 ,  3 , _

13.7 多普勒效应



多普勒效应

由于观察者（接收器）或波源、或二者同时相对媒质运动，

而使观察者接收到的频率与波源发出的频率不同的现象。

) 0

1

( ν

ν   v u ^o



波源静止，观察者运动

/ ν 0

u u

ν  u  v ^o   v ^o

 _S



0  0 v



远离

v ₀  0

v 0

v 0

u

u

靠近

v 0

v 0 ^u

观察者



ν 0

u u ν u

v S

 

 





观察者静止，波源运动

S

运动的前方波长变短

'

v u

 ^o ν  



波源和观察者同时运动

远离

v _s  0

靠近

v _s  0 ;

( 符号正负的选择与上述相同 )

 ^

s T v

ν 0

T u

uT _s v ^s

v  



 





S

uT

u

S

v s

 ^

观察者

ν 0 S

o

v - u

v u 



多普勒效应的应用 :

监测车辆行驶速度 测量血液流速

一频率为

1 kHz

的声源

,

以

v s =34 m/s

的速率向右运动

.

在 声源的右方有一反射面

,

以

v 1 =68 m/s

的速率向左运动

.

设 声波的速度为

u =340m/s.

例

(1)

声源所发出的声波在空气中的波长

.

求

(2)

每秒内到达反射面的波数

; (3)

反射波在空气中的波长

.

0

' 1 



v s

- u

 u

(1)

在声源的右侧

,

相对空气静止的观察者接收到的频率 解

) m ( 306 .

10 0 1

34 340

' ' ₃

0 1

1 

 



 u _s -



  ^{u - v}

在声源的左侧声波在空气中的波长

:

0

' 2 



v s

u u

  0 . 374 ( m )

' '

0 2

2  



  

 ^{u u v s}

· S

v _{s v 1}

(2)

反射面作为接收者测到的频率：

) kHz (

3 . 1 34 10

340

80

' ₂ ¹ ₀ 340  ³ 



 

  ν v s

- u

v

 u

(3)

反射波在空气中的频率：

2 1

3 '

' 

 u - v

 u ₀

1 1 0

1 1

) )(

(

)

( ν

u u

u ν u

u

s

s v v

v v

- u v

- u

v u





 

 



反射波在空气中的波长

:

3

3 '

' 

  ^u 0 . 20 (m) )

(

) )(

(

0 1

1 





 

ν u

u u _s

v

v v

Hz 1700 ' ₃ 

